Магнитное поле в этой задаче имеет только z компоненту, а решение стоит проводить в цилиндрической системе.
Это правильно.
Я пытался сначала решить задачу для одной полуплоскости
И это правильно. Удобно задать эту полуплоскость условием

(или

, что то же).
найти ток смещения и составить дифференциальное уравнение из уравнения максвелла

Так а где ж ток смещения-то? Он ненулевой, он должен входить именно в это уравнение Максвелла, но я его тут не вижу.
Также имейте в виду, что в это уравнение входит объёмная плотность тока, а по условию дана поверхностная. Хотя всё равно решать уравнение придётся лишь в области, где нет тока — ток будет учтён через скачок

на полуплоскости.
как записать поверхностный ток? Тем более в цилиндрических координатах? Через дельта функцию, может быть?
Дельта-функция не нужна. При выбранном расположении полуплоскости поверхностный ток равен

всюду на полуплоскости, где

— один из ортов цилиндрического базиса. Через поверхностный ток выражается скачок магнитного поля на полуплоскости. Только не нормальной его составляющей

(она у нас нулевая, кроме того, нормальная составляющая

всегда непрерывна), а тангенциальной

.
Как Вы считаете, какие ненулевые компоненты (или, может быть, одну компоненту) имеет электрическое поле?