2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение15.02.2021, 22:40 


22/11/19
21
Имеются две полуплоскости, касающиеся на оси $z$. Угол между ними $2\theta$. По каждой течет ток $j$ в направлении оси, на которой накапливается заряд. Найти магнитное поле во всем пространстве.
Магнитное поле в этой задаче имеет только z компоненту, а решение стоит проводить в цилиндрической системе. Я пытался сначала решить задачу для одной полуплоскости: найти ток смещения и составить дифференциальное уравнение из уравнения максвелла
$$\operatorname{rot\mathbf{B}} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}$$
Ток смещения тут объемный, так что с его включением в уравнение нет вопросов, а как записать поверхностный ток? Тем более в цилиндрических координатах? Через дельта функцию, может быть? Так же у меня есть подозрение, что тут можно как-то применить условие на скачек нормальной составляющей поля на поверхности, но я не понимаю как(

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.02.2021, 22:50 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение16.02.2021, 21:25 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение17.02.2021, 04:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
finn_parnichka2 в сообщении #1505176 писал(а):
Магнитное поле в этой задаче имеет только z компоненту, а решение стоит проводить в цилиндрической системе.
Это правильно.
finn_parnichka2 в сообщении #1505176 писал(а):
Я пытался сначала решить задачу для одной полуплоскости
И это правильно. Удобно задать эту полуплоскость условием $\varphi=\pi$ (или $\varphi=-\pi$, что то же).
finn_parnichka2 в сообщении #1505176 писал(а):
найти ток смещения и составить дифференциальное уравнение из уравнения максвелла
$$\operatorname{rot\mathbf{B}} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}$$
Так а где ж ток смещения-то? Он ненулевой, он должен входить именно в это уравнение Максвелла, но я его тут не вижу.
Также имейте в виду, что в это уравнение входит объёмная плотность тока, а по условию дана поверхностная. Хотя всё равно решать уравнение придётся лишь в области, где нет тока — ток будет учтён через скачок $\mathbf B$ на полуплоскости.
finn_parnichka2 в сообщении #1505176 писал(а):
как записать поверхностный ток? Тем более в цилиндрических координатах? Через дельта функцию, может быть?
Дельта-функция не нужна. При выбранном расположении полуплоскости поверхностный ток равен $-j\mathbf e_\rho$ всюду на полуплоскости, где $\mathbf e_\rho$ — один из ортов цилиндрического базиса. Через поверхностный ток выражается скачок магнитного поля на полуплоскости. Только не нормальной его составляющей $B_\varphi$ (она у нас нулевая, кроме того, нормальная составляющая $\mathbf B$ всегда непрерывна), а тангенциальной $B_z$.

Как Вы считаете, какие ненулевые компоненты (или, может быть, одну компоненту) имеет электрическое поле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение18.02.2021, 14:16 


22/11/19
21
svv

Цитата:
Так а где ж ток смещения-то? Он ненулевой, он должен входить именно в это уравнение Максвелла, но я его тут не вижу.

Под ${\mathbf{j}}$ подразумевалась сумма стороннего тока, текущего по поверхности, и тока смещения $$\frac{1}{4 \pi}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \frac{j}{2 \pi r^2}\mathbf{r_0}$$.

Цитата:
Как Вы считаете, какие ненулевые компоненты (или, может быть, одну компоненту) имеет электрическое поле?

Только по ${\mathbf{r_0}}$.

Цитата:
Также имейте в виду, что в это уравнение входит объёмная плотность тока, а по условию дана поверхностная. Хотя всё равно решать уравнение придётся лишь в области, где нет тока — ток будет учтён через скачок $\mathbf B$ на полуплоскости.

То есть получаем уравнение на магнитное поле в области вне плоскости в виде $$\operatorname{rot\mathbf{B}} = \frac{2 j}{c r^2}\mathbf{r_0}$$
Решаем его в этой области, а дальше пользуемся граничным условием?

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение18.02.2021, 16:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
finn_parnichka2 в сообщении #1505568 писал(а):
Под ${\mathbf{j}}$ подразумевалась сумма стороннего тока, текущего по поверхности, и тока смещения
А, понятно.
Я бы только не обозначал через $\mathbf j$ сумму тока проводимости и тока смещения. Буковка $j$ уже дважды занята.

(del)

Я не сразу оценил, но теперь вижу, что Ваш подход — хороший. Сумма тока проводимости и тока смещения удовлетворяет условию неразрывности. Этот суммарный ток сначала идёт по полуплоскости к оси (в виде тока проводимости), а потом расходится осесимметрично от оси, уже в виде тока смещения.

Да, уравнение составлено правильно и надо его решить.

Я решал иначе — через уравнения Максвелла с электрическим и магнитным полем, но у Вас проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение19.02.2021, 10:17 


22/11/19
21
svv
Я все еще не понимаю, как действовать в одном месте: из уравнения максвелла получим $$\frac{1}{r}\frac{\partial{B_z}}{\partial{\varphi}} = \frac{2j}{cr}$$, тогда $${B_z}=\frac{2j}{c}\varphi+C$$ Очевидно, из граничного условия не можем получить значение $C$. И вообще, условие скачка тангенциальной составляющей будет выполняться при любом $C$, если считать, что при прохождении через полярную ось $\varphi$ снова принимает значение $0$. Как быть?
Мне кажется, поле должно обращаться в ноль на $\varphi = \pi$, но чем обосновать это утверждение не понимаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение19.02.2021, 13:54 
Заслуженный участник


21/09/15
998
От константы здесь не избавиться. В конце концов это все можно поместить внутрь большого соленоида и ничего не изменится.
Двоечка нигде не потеряна? Что-то мне кажется, что потеряна.
А $j$ предполагается константой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение19.02.2021, 15:26 
Аватара пользователя


11/12/16
13834
уездный город Н
Вот это
finn_parnichka2 в сообщении #1505680 писал(а):
$${B_z}=\frac{2j}{c}\varphi+C$$


Нагляднее переписать так:
$${B_z}=\frac{2j}{c}(\varphi+C)$$

Тогда видно:
а) $B_z=0$, если $j=0$. То есть "внешних" полей нет.
б) $C$ - это константа, связанная с выбором полярной оси.

Если полярную ось выбрать как ось симметрии (в условиях так и предлагается), тогда $B_z(0) = B_z(\pi)=0$. Откуда
а) $C=0$
б) А скачок при переходе через проводящую плоскость обязан быть $\Delta B_z = \frac{2j}{c} \pi$

-- 19.02.2021, 15:27 --

UPD: предположительно потерянную двойку не искал \ не проверял

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение19.02.2021, 18:29 


22/11/19
21
EUgeneUS
А откуда следует, что $B_z(\pi)=0$?? Из-за того, что поле должно сменить направление и симметрии задачи?

AnatolyBa
Цитата:
А $j$ предполагается константой?

Да $j$ константа.
Цитата:
Двоечка нигде не потеряна?

Честно говоря, я не нашел той двоечки

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение19.02.2021, 20:44 
Аватара пользователя


11/12/16
13834
уездный город Н
finn_parnichka2 в сообщении #1505731 писал(а):
А откуда следует, что $B_z(\pi)=0$?? Из-за того, что поле должно сменить направление и симметрии задачи?


Для простоты - да. Но можно исходя из симметрии решить задачу с одной полуплоскостью, а потом решать со сколько угодно полуплосткостями и несимметричные.

А двоечку Вы всё таки потеряли.

Суммарный скачок через две полуплоскости должен быть равен (если верить Вашему выводу) $\Delta_{2} B_z = \frac{2j}{c} 2 \pi = \frac{4 \pi j}{c}$
А исходя из уравнений Максвелла такой скачок будет при переходе через одну полуплоскость.
Видимо Вы не учли, что линия соприкосновения полуплоскостей заряжается двойной плотностью тока, от двух полуплоскостей.

-- 19.02.2021, 21:10 --

UPD:
finn_parnichka2 в сообщении #1505680 писал(а):
условие скачка тангенциальной составляющей будет выполняться при любом $C$, если считать, что при прохождении через полярную ось $\varphi$ снова принимает значение $0$.


Если откуда-то знать, что $B_z(0)=0$, то $B_z(\pi)=0$ следует автоматически, так как скачки $B_z$ при переходе через пластины одинаковые по (модулю), так как плотности тока одинаковые.
Вопрос: откуда знаем, что $B_z(0)=0$? Тут или соображения симметрии сразу (что проще), или решать задачу с одной полуплоскостью и складывать поля от двух полуплоскостей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение19.02.2021, 22:27 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Если бы $j$ не было постоянным а, скажем, начиналось с нуля, то это была бы более корректная постановка задачи, и можно было бы использовать нулевые начальные условия. Но такая задача намного сложнее, я не вижу как ее решать.
Если же $j$ постоянно, то эта задача не очень-то физична, скорее учебное упражнение на решение уравнений Максвелла.
Да, в таком случае разумно использовать соображения симметрии. Мне кажется, наиболее разумно предполагать симметрию относительно биссектрисы между плоскостями

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение19.02.2021, 22:41 
Аватара пользователя


11/12/16
13834
уездный город Н
AnatolyBa

(физичный вариант)

1. Пусть у нас по одной полуплоскости ток втекает с угол, а по другой - вытекает. Тогда задача будет физичной и с постоянной плотностью тока.
2. Можем решить "нефизичную задачу" с одной полуплоскостью и накоплением заряда на крае.
3. И посчитать суперпозцию от двух полуплоскостей.
Нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение19.02.2021, 22:54 
Заслуженный участник


21/09/15
998

(Оффтоп)

Первый вариант - да это физичная задача, но тока смещения не будет, а я так понял, что ток смещения здесь важный компонент.
2, 3 - конечно можно, я разве против. В этом случае симметрия как-то уж совсем естественно получается. Но и в исходной задаче симметрия относительно биссектрисы тоже вполне естественна

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение19.02.2021, 23:21 
Аватара пользователя


11/12/16
13834
уездный город Н
AnatolyBa

(Оффтоп)

AnatolyBa в сообщении #1505757 писал(а):
Но и в исходной задаче симметрия относительно биссектрисы тоже вполне естественна

Кстати, в исходной задаче $B_z(0)=B_z(\pi) = 0$ следует из симметрии и Закона Био-Савара-Лапласа. Так как для точек на биссектрисе для каждой площадки с током из одной полуплоскости найдет площадка на другой плоскости, которая создает противоположное поле.
И никакой неопределенности не возникает. Вроде бы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group