2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение20.02.2021, 02:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
В первом сообщении автор предложил для начала решить задачу с одной полуплоскостью. К этой задаче и относятся его результаты. К основной задаче мы пока не возвращались.

Я предложил задавать полуплоскость с током условием $\varphi=(\pm)\pi$. На этой полуплоскости компонента $B_z=\frac{2j}c\varphi+C$ имеет скачок $\frac{4\pi j}c$, как и требуется, так что двойка не потеряна. Никакого скачка на полуплоскости $\varphi=0$ не должно быть.

Положение полуплоскости с током в этой вспомогательной задаче уже выбрано, и изменение константы $C$ соответствует добавлению постоянного однородного магнитного поля без источников, параллельного оси $z$. С учетом симметрии задачи, естественный выбор $C$ — такой, при котором поле антисимметрично, в смысле $B_z(-\varphi)=-B_z(\varphi).$ Это будет при $C=0$. Итак,
$B_z=\frac{2j}c\varphi$
Положение полуплоскости и было выбрано так, чтобы получалась эта простейшая формула.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение20.02.2021, 07:26 
Аватара пользователя


11/12/16
13874
уездный город Н
svv в сообщении #1505781 писал(а):
К этой задаче и относятся его результаты. К основной задаче мы пока не возвращались.

Приношу извинения, был невнимателен.
Однако, тогда не имеют смысла рассуждения автора про величину поля при $\varphi = \pi$, так как там расположена полуплоскость с током и происходит скачок поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение20.02.2021, 08:48 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Да, если это вспомогательная задача, то двоечка не потеряна, согласен.
И использовать закон Био-... вместо соображений симметрии для обоснования значения $C$ - хороший вариант. Тоже согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение21.02.2021, 19:12 


22/11/19
21
Я придумал вот что:
Рассмотрим аналогичную задачу для одной плоскости. Пусть плоскость совпадает с полярной осью. Если рядом с первой плоскостью бесконечно близко разместить еще одну, по которой течет ток $j$ с оси, то тока в пространстве не станет вовсе, значит, и поля не будет. Следовательно, поле по разные стороны первой плоскости должно быть антисимметрично по полярному углу $\varphi$. Тогда получаем для постоянной уравнение $$\frac{2j}{c}\varphi +C = - \frac{2j}{c}(2\pi - \varphi) - C$$
откуда $$C=-\frac{2j}{c}\pi$$ тогда $${B_z}=\frac{2j}{c}(\varphi-\pi).$$
Далее перейдем к задаче с двумя плоскостями. Совместим первую полуплоскость с полярной осью, вторая, таким образов, имеет положение $\varphi = 2\theta$. Решение будет суперпозицией полей каждой плоскости $$B_z=B_1+B_2=\frac{2j}{c}(\varphi-\pi)+\frac{2j}{c}(\psi-\pi)$$, где $\psi$ - угол между радиус-вектором в точке и второй плоскостью в направлении по часовой стрелке, т.е. в положительном для $\varphi$.
Для $\varphi $ в интервале $(2\theta; 2\pi)$ имеем $\psi = \varphi - 2\theta$, для $\varphi $ в интервале $(0;2\theta)$ будет $\psi = 2\pi- 2\theta +\varphi $.
Так правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение21.02.2021, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Такой способ определения $C$ мне не кажется корректным. По-моему, Вы при выводе неявно пользуетесь либо откуда-то уже известной симметрией поля, либо независимостью $C$ от поля.
Но Вы можете достаточно просто получить свойство $B_z(-\varphi)=-B_z(\varphi)$ (при выборе полуплоскости $\varphi=\pi$) из закона Био-Савара-Лапласа для случая поверхностного тока. Для этого не нужно брать входящий в формулу интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение22.02.2021, 09:05 
Аватара пользователя


11/12/16
13874
уездный город Н
svv в сообщении #1505916 писал(а):
Такой способ определения $C$ мне не кажется корректным. По-моему, Вы при выводе неявно пользуетесь либо откуда-то уже известной симметрией поля, либо независимостью $C$ от поля.


ИМХО, способ определения $C$ вполне годный, используется известная (анти)симметрия поля, (вообще говоря, которая следует как раз из закона Бои-Савара-Лапласа).

finn_parnichka2 в сообщении #1505907 писал(а):
Так правильно?

Правильно, но не совсем.

1. $\psi$ же надо подставить и получить окончательные ответы. Получится так:
а) для $\varphi \in (0, 2\theta)$, $B_z = \frac{4j}{c}(\varphi - \theta)$
б) для $\varphi \in (2\theta, 2 \pi)$, $B_z = \frac{4j}{c}(\varphi - \theta - \pi)$

2. Вообще говоря, уже давно понятно, что ответ в обще виде для будет выглядеть так:
$B_z = \frac{2 \sum\limits_{}^{}j}{c} (\varphi + C_k)$, где
$\sum\limits_{}^{}j$ - суммарный ток, приходящий в угол, $C_k$ - некий постоянный коэффициент, зависящий системы координат: от выбора полярной оси и диапазона $\varphi$, и в каждой связанной области свой.
При этом $\sum\limits_{}^{}C_k = -\frac{4\pi \sum\limits_{}^{}j}{c}$

3. В условиях плоскости расположены в углах $\theta$ и в $-\theta$. То есть задана такая система координат: "полярная ось" (полуплоскость $\varphi=0$) располагается на биссектрисе между плоскостями, а полярный угол меняется в пределах $\varphi \in [-\pi, \pi]$
Вот для такой системы координат и надо пересчитать константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Магнитное поле проводящей полуплоскости
Сообщение22.02.2021, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Ну я ж тоже за
svv в сообщении #1505916 писал(а):
Но Вы можете достаточно просто получить свойство $B_z(-\varphi)=-B_z(\varphi)$ (при выборе полуплоскости $\varphi=\pi$) из закона Био-Савара-Лапласа для случая поверхностного тока. Для этого не нужно брать входящий в формулу интеграл.

Только после этого уже не нужны никакие построения вроде такого:
finn_parnichka2 в сообщении #1505907 писал(а):
Рассмотрим аналогичную задачу для одной плоскости. Пусть плоскость совпадает с полярной осью. Если рядом с первой плоскостью бесконечно близко разместить еще одну, по которой течет ток $j$ с оси, то тока в пространстве не станет вовсе, значит, и поля не будет. Следовательно, поле по разные стороны первой плоскости должно быть антисимметрично по полярному углу $\varphi$. Тогда получаем для постоянной уравнение $$\frac{2j}{c}\varphi +C = - \frac{2j}{c}(2\pi - \varphi) - C$$
Ведь если $B_z=\frac{2j}c\varphi+C$ и $B_z(-\varphi)=-B_z(\varphi)$, то $C=0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group