(Оффтоп)
Прошу прощения за мое исчезновение. Просто нужно было написать длинный ответ и. пока я его писал, мы переехали на съемную квартиру. Но теперь мы 2 месяца точно никуда не будем переезжать.
Начиная с того, что
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
и
![$R$ $R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e438235ef9ec72fc51ac5025516017c82.png)
это не предикаты, поэтому импликаций к ним применять нельзя.
Да, тут вы правы, но
вы все-таки что-то не то и/или не так учили и по матлогике,
тут вы немного погорячились, уверяю вас! Неужели вы думаете, что я на таком серьезном форуме, как этот, позволил бы себе наглость утверждать, что я о чем-то имею представление, не располагая ресурсами это подтвердить? Хотя, возможно, до моего исчезновения с форума вы недостаточно плотно общались со мной и потому знаете меня недостаточно. Хорошо, чтобы подтвердить, что я действительно немного разбираюсь в матлогике, я вижу, что мне нужно продемонстрировать что-то, что я умею в этом разделе математики
(Оффтоп)
Я буду материал брать из изученной мной достаточно неплохо книги "Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики.". Итак, я хочу показать, как я выводил в исчислении предикатов, имеющим следующие аксиомы (стр. 62):
![Изображение](http://images.vfl.ru/ii/1613490689/c60533df/33358276_m.jpg)
следующую формулу формальной арифметики:
![$\forall x(0+x=x)$ $\forall x(0+x=x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/b/f4be87ca7c7325298b98e6a42ba945c882.png)
Аксиомы формальной арифметики следующие (стр. 77):
![Изображение](http://images.vfl.ru/ii/1613491162/784cf6fa/33358320_m.jpg)
Вывод. Так. Для вывода этой формулы нам потребуется доказать 2 леммы.
Лемма 1. 0+0=0.
Док-во.
1.
![$\forall x(x+0=x)$ $\forall x(x+0=x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/7/6a7c73c49d8cf980b437350b6639cbf682.png)
(A3);
2.
![$\forall x(x+0=x)\supset(0+0=0)$ $\forall x(x+0=x)\supset(0+0=0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/7/7d79cd02e10b5eaf534b9803b5b9643f82.png)
(а3);
3.
![$0+0=0$ $0+0=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/5/e552ae465abb8f89d9667827ee0bc50e82.png)
(МР, п. 1, п. 2)
Лемма 2.
![$(0+x=x)\supset(0+S(x)=S(x))$ $(0+x=x)\supset(0+S(x)=S(x))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/4/e6451e133ca4d43144550ca77f4d59a382.png)
Док-во. В силу теоремы о дедукции достаточно показать, что
![$(0+x=x)\vdash(0+S(x)=S(x))$ $(0+x=x)\vdash(0+S(x)=S(x))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/6/89647d9b2f87b5f30ac823ae65921c1d82.png)
. Имеем:
1.
![$0+x=x$ $0+x=x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/4/514285739fae829defc87738b401c30682.png)
(гип.)
2.
![$(0+x=x)\supset(S(0+x)=Sx)$ $(0+x=x)\supset(S(0+x)=Sx)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/9/fd95d9cace00b13654faee975d84701282.png)
(а9);
3.
![$S(0+x)=Sx$ $S(0+x)=Sx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/a/faa607ae8481795d743667417d91303582.png)
(МР, п. 1, п. 2);
4.
![$\forall x\forall y(x+Sy=S(x+y))$ $\forall x\forall y(x+Sy=S(x+y))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/1/12169180d7eaae94b493bd5952fa28d482.png)
(A4);
5.
![$\forall x\forall y(x+Sy=S(x+y))\supset\forall y(0+Sy=S(0+y))$ $\forall x\forall y(x+Sy=S(x+y))\supset\forall y(0+Sy=S(0+y))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/6/ac6a283d0474739d88870ff8e61014bc82.png)
(а3)
6.
![$\forall y(0+Sy=S(0+y))$ $\forall y(0+Sy=S(0+y))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/9/db9e751bfc5b11647f1d61f7534f794682.png)
(МР, п. 4, п. 5);
7.
![$\forall y(0+Sy=S(0+y))\supset(0+Sx=S(0+x))$ $\forall y(0+Sy=S(0+y))\supset(0+Sx=S(0+x))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/5/685c0d246f9f9888319f564723f71e6b82.png)
(а3);
8.
![$0+Sx=S(0+x)$ $0+Sx=S(0+x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/b/0bb638ae79112444bf85f54d855d824282.png)
(МР, п. 6, п. 7);
9.
![$(0+Sx=S(0+x))\supset((S(0+x)=Sx)\supset(0+Sx=S(0+x))\wedge(S(0+x)=Sx))$ $(0+Sx=S(0+x))\supset((S(0+x)=Sx)\supset(0+Sx=S(0+x))\wedge(S(0+x)=Sx))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/0/620ede62f861221fbb2c572137732a7d82.png)
(а1, в силу тавтологии
![$A\supset(B\supset A\wedge B)$ $A\supset(B\supset A\wedge B)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/5/e15d1ae2bcd745d0b8c893446cfbd6bc82.png)
);
10.
![$(S(0+x)=Sx)\supset(0+Sx=S(0+x))\wedge(S(0+x)=Sx)$ $(S(0+x)=Sx)\supset(0+Sx=S(0+x))\wedge(S(0+x)=Sx)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/7/a57751c5031b741dfa669e4923b54dbc82.png)
(МР, п. 8, п. 9);
11.
![$(0+Sx=S(0+x))\wedge(S(0+x)=Sx)$ $(0+Sx=S(0+x))\wedge(S(0+x)=Sx)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/c/36c6172f28bcd80dcfb04ce2e0d63d4282.png)
(МР, п. 3, п. 10);
12.
![$(0+Sx=S(0+x))\wedge(S(0+x)=Sx)\supset(0+Sx=Sx)$ $(0+Sx=S(0+x))\wedge(S(0+x)=Sx)\supset(0+Sx=Sx)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/b/62b04530c9957df6e1ae6572ef8db9ed82.png)
(а8);
13.
![$0+Sx=Sx$ $0+Sx=Sx$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/8/578a4e324b5cc734a724ab87d332882082.png)
(МР, п. 11, п. 12).
Наконец, все готово для вывода заявленной формулы:
1.
![$0+0=0$ $0+0=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/5/e552ae465abb8f89d9667827ee0bc50e82.png)
(лемма 1);
2.
![$(0+x=x)\supset(0+Sx=Sx)$ $(0+x=x)\supset(0+Sx=Sx)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/8058798b4e4d55621dbddb5897d2bbc482.png)
(лемма 2);
3.
![$\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))$ $\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/96129b2c3eedbb321844b3c042f4fc7c82.png)
(Gen, п. 2);
4.
![$(0+0=0)\supset(_{1}\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))\supset(0+0=0)\wedge\forall x(_{2}(0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))_{2})_{1}$ $(0+0=0)\supset(_{1}\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))\supset(0+0=0)\wedge\forall x(_{2}(0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))_{2})_{1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/2/9d25b796d8fa960c591b66c6368449cb82.png)
(а1, в силу тавтологии
![$A\supset(B\supset A\wedge B)$ $A\supset(B\supset A\wedge B)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/5/e15d1ae2bcd745d0b8c893446cfbd6bc82.png)
; здесь цифры внизу означают, что открывающая и закрывающая скобки, стоящие перед одинаковыми скобками, относятся к одной и той же паре открывающей и закрывающей скобок);
5.
![$\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))\supset(0+0=0)\wedge\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))$ $\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))\supset(0+0=0)\wedge\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/b/62b290f05c18ebcee0ab43c672a7412982.png)
(МР, п. 1, п. 4);
6.
![$(0+0=0)\wedge\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))$ $(0+0=0)\wedge\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/5/3e595786fd45397e15fc9145c9667a4f82.png)
(МР; п. 3, п. 5);
7.
![$(0+0=0)\wedge\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))\supset\forall x(0+x=x)$ $(0+0=0)\wedge\forall x((0+x=x)\supset(0+Sx=Sx))\supset\forall x(0+x=x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/7/057c061920386d820baa33515c190abe82.png)
(А7);
8.
![$\forall x(0+x=x)$ $\forall x(0+x=x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/b/f4be87ca7c7325298b98e6a42ba945c882.png)
(МР, п, 6, п. 7).
Скажите, пожалуйста, по приведенным в оффтопе выкладкам можно сказать, что я хоть что-то понимаю в матлогике? Я еще могу показать решение других задач из той же книги.
Так писать не стоит. Это не утверждения. Отделять кванторы нельзя.
Я прекрасно понимаю, о чем вы говорите: вот я написал высказывательную форму (предикат)
![$P(x)\rightarrow Q(x)$ $P(x)\rightarrow Q(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/c/d9c87e50b76967497506ac936517e39482.png)
(я сейчас рассматриваю случай, когда носитель интерпретации задан). Это еще не высказывание. Высказывание сделает из нее или подстановка вместо
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
какого-нибудь конкретного значения, принадлежащего носителю интерпретации, или замыкание ее каким-нибудь квантором, например,
![$\forall$ $\forall$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/e/ecea226b5977d1a327732124dccb896982.png)
:
![$\forall x(P(x)\rightarrow Q(x))$ $\forall x(P(x)\rightarrow Q(x))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/5/ed5ee3841051604704dbeeda0af0fea782.png)
. В этом случае формула
![$P(x)\rightarrow Q(x)$ $P(x)\rightarrow Q(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/c/d9c87e50b76967497506ac936517e39482.png)
будет называться областью действия употребленного квантора:
Именно это - предварительно написать область действия квантора (а, возможно, квантороа) - я и пытался сделать тут:
Для этого расчленим приведенное определение на следующие части:
1.
![$P$ $P$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df5a289587a2f0247a5b97c1e8ac58ca82.png)
: «функция
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
называется непрерывной в точке
![$x_0$ $x_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/1/e714a3139958da04b41e3e607a54445582.png)
»
2.
![$Q$ $Q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/f/1afcdb0f704394b16fe85fb40c45ca7a82.png)
: «сколь бы мало ни было
![$\epsilon>0$ $\epsilon>0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/9/0e94fb14b258c4271bf6b32b072b902d82.png)
, существует такое
![$\delta>0$ $\delta>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/1/e61806b0d92d6e5141f65dbe7f6a038e82.png)
»
3.
![$R$ $R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e438235ef9ec72fc51ac5025516017c82.png)
: «при любом
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
, по абсолютной величине не превосходящем
![$\delta$ $\delta$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/f/38f1e2a089e53d5c990a82f28494895382.png)
»
4.
![$\left|f(a+h)-f(a)\right|<\epsilon$ $\left|f(a+h)-f(a)\right|<\epsilon$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/9/9b946ce4bef7522ec5d750864f1b0a3282.png)
Тогда приведенное определение формулой можно записать так:
![$((Q\rightarrow R)\rightarrow S)\rightarrow P$ $((Q\rightarrow R)\rightarrow S)\rightarrow P$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/4/ec4ca356b2422089a5ee20e445ad95cc82.png)
. Правильно?
Я еще и переменную(-ые)-то, по которой(-ым) буду замыкать, не знаю, не думал еще над этим. И почему это - предварительное написание области действия квантора - вызвало такую острую реакцию:
Sinoid Боюсь, вы все-таки что-то не то и/или не так учили и по матлогике
я, если честно, плохо понимаю.
Напоследок я аижу, что для того, чтобы не быть голословным, мне не обойтись-таки без того. чтобы указать некоторые из найденных мной опечаток в учебниках. из которых 1 или 2 будет настолько критичными, что использовать тот учебник, в котором она содержится, для изучения соответствующего материала мне представляется не только нецелесообразным, но и вредным.
(Примеры опечаток, недоговоренностей в учебниках)
Итак, после нескольких попыток найти учебник матлогики, который был бы мне под силам, я, следуя советам, полученным на этом форуме, попробовал Игошина. Результатом этой попытки явился, во-первых,
огромный список опечаток, обнаруженных в его задачнике, а, во-вторых, когда я на обсуждении очередного запутавшего меня места в его учебнике, сказал, что он, помимо прочего, пишет, что может быть и наподобие такого:
на стр. 67 формулируются 2 теоремы, обратные к данной.
, мне 1 из ЗУ настоятельно начал говорить, чтобы я отказался от идеи использования этой книги для изучения матлогики. Далее,
вот пример опечатки в книге Шмидт О. Ю. "Абстрактная теория групп" и она там неединственна, уверяю вас! И это еще далеко не все, что я могу сказать по этому поводу. Просто мне кажется, что мы сильно отклонились от нашей основной темы.
-- 20.02.2021, 23:09 --Попробуйте использовать индексы.
![$I_{A_{1}\triangle A_{2}\triangle\ldots\triangle A_{n}}(x)=\frac{1-(-1)^{l_x}}{2}$ $I_{A_{1}\triangle A_{2}\triangle\ldots\triangle A_{n}}(x)=\frac{1-(-1)^{l_x}}{2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/1/7d120837eeffb9e81465b594d41e6b5482.png)
, где
![$l_x$ $l_x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/4/3845b3b95914566a2f5f2b7bd912a37782.png)
- количество множеств в которые входит
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
.
Очевидно, это связано с тем, что в симметрическую разность данных
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
множеств входят те и только те элементы их объединения, которые входят в пересечение этих множеств, взятых в любых нечетных количествах. А можно это как-то вывести из определения симметрической разности?