Ранг произведения матрицы на транспонируемую не меняется

[Zeratul]

Добрый день! Не могу найти доказательство и самому не удается уже второй день доказать это тождество, а именно вне зависимости от размера прямоугольной матрицы

$$ Rg(AA^T) = Rg(A^TA) = Rg(A) $$

Особых идей найти не могу, максимум что достиг так это путем представления матрицы $A$ как произведения двух невырожденных матриц $R$ и $S$ на матрицу $J$ - теорема об эквивалентных матрицах $ A = RJS $ в итоге можно
прийти к заключению, что $ Rg(AA^T) $ равен рангу главного минора порядка $r$ (ранг A) матрицы $ SS^T $ . И по идее если бы доказать что это невырожденная матрица то ее ранг как раз будет $r$.
Но доказать это не удалось, точнее есть задача у Воеводина, что все главные миноры произведения матрицы на нее же транспонированную неотрицательны, но этого мало т.к. не исключаются нули.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[StaticZero]

Zeratul, можете доказать, что ранг матрицы Грама некоторой системы векторов равен $\operatorname{dim} \operatorname{span}$ этой системы?

[Zeratul]

Да вроде похоже на правду, идея док-ва понятна если размерность векторов меньше кол-ва векторов, то вычитая из матрицы Г соответствующие линейные комбинации строк обнулим эти строки и при этом ранг матрицы не изменится, в итоге останутся только линейно независимые строки и их ранг будет равен размерности системы векторов.
И как это применить к моему вопросу? Намекаете что можно произведение матрицы на транспонированную представить в виде матрицы Грама соответствующей системы векторов?

[artempalkin]

Zeratul в сообщении #1502115 писал(а):

И как это применить к моему вопросу? Намекаете что можно произведение матрицы на транспонированную представить в виде матрицы Грама соответствующей системы векторов?

А как связаны $A^TA$ и матрица Грама столбцов матрицы $A$ в смысле стандартного для арифметических векторов скалярного произведения?

[Zeratul]

Да, я понял уже хотел отписать, спасибо Вам друзья за идею