2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ранг произведения матрицы на транспонируемую не меняется
Сообщение20.01.2021, 00:28 


11/02/20
8
Добрый день! Не могу найти доказательство и самому не удается уже второй день доказать это тождество, а именно вне зависимости от размера прямоугольной матрицы $$ Rg(AA^T) = Rg(A^TA) = Rg(A) $$

Особых идей найти не могу, максимум что достиг так это путем представления матрицы $A$ как произведения двух невырожденных матриц $R$ и $S$ на матрицу $J$ - теорема об эквивалентных матрицах $ A = RJS $ в итоге можно
прийти к заключению, что $ Rg(AA^T) $ равен рангу главного минора порядка $r$ (ранг A) матрицы $ SS^T $ . И по идее если бы доказать что это невырожденная матрица то ее ранг как раз будет $r$.
Но доказать это не удалось, точнее есть задача у Воеводина, что все главные миноры произведения матрицы на нее же транспонированную неотрицательны, но этого мало т.к. не исключаются нули.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.01.2021, 00:37 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
11210
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение20.01.2021, 23:24 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
11210
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг произведения матрицы на транспонируемую не меняется
Сообщение20.01.2021, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2091
/dev/zero
Zeratul, можете доказать, что ранг матрицы Грама некоторой системы векторов равен $\operatorname{dim} \operatorname{span}$ этой системы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг произведения матрицы на транспонируемую не меняется
Сообщение21.01.2021, 00:33 


11/02/20
8
Да вроде похоже на правду, идея док-ва понятна если размерность векторов меньше кол-ва векторов, то вычитая из матрицы Г соответствующие линейные комбинации строк обнулим эти строки и при этом ранг матрицы не изменится, в итоге останутся только линейно независимые строки и их ранг будет равен размерности системы векторов.
И как это применить к моему вопросу? Намекаете что можно произведение матрицы на транспонированную представить в виде матрицы Грама соответствующей системы векторов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг произведения матрицы на транспонируемую не меняется
Сообщение21.01.2021, 10:29 


14/02/20
280
Zeratul в сообщении #1502115 писал(а):
И как это применить к моему вопросу? Намекаете что можно произведение матрицы на транспонированную представить в виде матрицы Грама соответствующей системы векторов?

А как связаны $A^TA$ и матрица Грама столбцов матрицы $A$ в смысле стандартного для арифметических векторов скалярного произведения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ранг произведения матрицы на транспонируемую не меняется
Сообщение21.01.2021, 11:02 


11/02/20
8
Да, я понял уже хотел отписать, спасибо Вам друзья за идею

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group