Свойства матрицы специального вида

[vatrushka]

Можно ли как то красиво выписать с.ч. и/или собственные вектора через $a_i, b_i$

[nnosipov]

Контрольный вопрос: сколько Вы нашли различных собственных значений? Огласите весь список.

[vatrushka]

Точно нашел $\lambda = \sum a_i b_i $
Так же точно есть $\lambda = 0$, т.к. определитель равен нулю
Так же ясно, что сумма не найденных равна нулю
Есть подозрение что просто ноль кратности $n - 1$, но я не уверен , сейчас пытаюсь додумать

[arseniiv]

Если бы вы продолжили с места, на котором остановился Mikhail_K, без расписывания в координатах, это могло бы выйти довольно быстро на инвариантную запись ответа, и с кратностью достаточно быстро разобраться.

Вот он остановился на том, что для собственного значения $\lambda$ и собственного вектора $x$ имеем $\lambda x = (b, x) a$. (Посчитаем, что $a$ вектор был нам дан ненулевой — обратный случай просто рассмотреть; $b$ пусть тоже ненулевой на будущее.) Если $\lambda = 0$, то значит $(b, x) = 0$, и наоборот, потому что $x$ тоже не нулевой. Так что это условие на все собственные векторы, имеющие $\lambda = 0$, и они образуют подпространство некоторой вполне определённой коразмерности и потому у $\lambda$ вполне определённая кратность. Если же $\lambda \ne 0$, то обязательно $(b, x)\ne 0$ (и наоборот) и $x = \mu a$ для какого-то скаляра $\mu$. Отсюда совсем недолго до полного ответа.

[nnosipov]

vatrushka в сообщении #1499940 писал(а):

Так же ясно, что сумма не найденных равна нулю

Не найденных нет, т.е. Вы нашли все собственные значения. Вот это нужно осознать.

-- Вс янв 10, 2021 00:36:33 --

vatrushka в сообщении #1499940 писал(а):

Есть подозрение что просто ноль кратности $n - 1$, но я не уверен , сейчас пытаюсь додумать

Найти характеристический многочлен матрицы --- это уже другая задача. Надо ли решать несколько задач одновременно? Я бы советовал решать их по одной.

[vatrushka]

А, ну может там только одно не нулевое значение потому что если бы там были другие, то в жордановой форме было бы видно что ранг не единица, а тут по виду матрицы ясно , что ранг единица

[nnosipov]

vatrushka в сообщении #1499946 писал(а):

то в жордановой форме

Какая жорданова форма, Вы еще с собственными векторами не разобрались.

[ewert]

vatrushka в сообщении #1499519 писал(а):

но построив в вольфраме жораднову форму матрицы из единиц я понял что ошибался

Ещё лучше будет, если Вы поймёте бессмысленность обращения к железякам до тех пор, пока не разберётесь в существе дела.

Ибо железяки -- они такие: примерно в половине случаев изо всех мыслимых вариантов решения они предпочитают выбирать решение максимально нелепое. Ну родовая травма у них такая.

-- Вс янв 10, 2021 22:08:23 --

Вот совсем недавнее наблюдение (в смысле я только пару недель назад просёк, что это было).

Я дрессирую студентов на применение правила Лопиталя.
Неоднократное, разумеется (иначе это неинтересно).

Там после первого дифференцирования и вверху, и внизу получаются дроби.
Так вот: примерно половина народонаселения тупо дифференцирует это ещё раз -- и легко получает результат.
Но другая половина предварительно приводит всё к общим знаменателям. И, соответственно, мучается.

На самом деле не мучается, конечно, а просто тупо переписывает дебильную железяку.
Железяке ведь плевать на соображения здравого смысла.
Ей предписано алгоритмом якобы упрощать. А то, что упрощение сведётся к крайнему усложнению -- ей это невдомёк.

Тем более невдомёк студиозусам, которым лишь бы спихнуть; думать же -- не царское это дело.
К сожалению, я сообразил это не сразу. (но в будущем буду реагировать на подобные оптимизации гораздо жёстче, конечно)

-- Вс янв 10, 2021 22:35:48 --

И, кстати, ещё пара признаков того, что товарищщь тупо пользовался железякой (совершенно не вникая в суть).

1. Перестановка слагаемых в случайном порядке (после преобразований).
Она, конечно, не случайна с точки зрения железяки -- у неё там на выходе какой-то алгоритм сортировки.
Однако никакому нормальному человеку этот алгоритм в голову не придёт.

2. Опускание в знаменатель экспоненты с минусом в показателе.
Но тут я, возможно, грешу на железяку; не исключено, что это результат дошедшего до совершенства безумия школьного преподавания.

[nnosipov]

Вообще, задача ТС полезная, именно что на понимание основных понятий. Она, конечно, есть в известных задачниках типа Фадеева, Соминского. Правда, дело ограничивается только поиском собственных значений и векторов, но до ЖНФ там уже рукой подать.

Но предлагать ее своим студентам на экзамене я бы не рискнул (разве что отъявленным отличникам).

[ewert]

nnosipov в сообщении #1500164 писал(а):

но до ЖНФ там уже рукой подать.

Нет, я всё же настаиваю, что ЖНФ там откровенно вредна. Вот то, что это более-менее проектор -- это святое.

(давать ли на экзамене -- совсем третий вопрос; нашим бы кадрам я, естественно, тоже не стал бы)

[nnosipov]

ewert в сообщении #1500167 писал(а):

ЖНФ там откровенно вредна

Так это на десерт, для особо желающих. Я бы ограничился выяснением вопроса диагонализируемости.

ewert в сообщении #1500167 писал(а):

Вот то, что это более-менее проектор -- это святое.

Вот кстати, можно было бы спросить, когда он является настоящим проектором.

[vatrushka]

Да, точно
При имплицации множество решений не сужается, а значит я нашел все собственные числа
Что то уже школу подзабыл)

-- 11.01.2021, 19:23 --

Итак, собственные числа это $\lambda = \sum a_i b_i $ и $\lambda = 0$.

[nnosipov]

vatrushka
Тем не менее, ответьте на вопрос: сколько имеется собственных значений?

(Мне эта задача сильно понравилась; хороший пример темы для беседы на экзамене.)

[vatrushka]

Ну, у характеристического многочлена $n$ корней с учетом кратности.
Т.к. след равен сумме собственных чисел, то единственный вариант это $\lambda = \sum a_ib_i$ кратности $1$ и $\lambda = 0$ кратности $n - 1$

[nnosipov]

Вообще-то, ответ на вопрос "Сколько ..." --- это число. Назовите же его.