Свойства матрицы специального вида

[vatrushka]

Здравствуйте
У меня есть один вопрос, но я не могу найти на него ответ
Вопрос заключается в следующем:
Какие хорошие свойства есть у матрицы :
$\begin{equation*} A = \left( \begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cccc} b_{1}, b_{2}, \dots , b_{n} \end{array} \right) \end{equation*} $
, ну или хотя бы

$\begin{equation*} B = \left( \begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cccc} a_{1}, a_{2}, \dots , a_{n} \end{array} \right) \end{equation*} $
Всем спасибо

[StaticZero]

$$ \det = 0 $$

[nnosipov]

vatrushka в сообщении #1499379 писал(а):

Какие хорошие свойства есть у матрицы ...

Если столбец $a$ и строка $b$ ненулевые, то это в точности все матрицы ранга 1.

[vatrushka]

Ну это понятно, что строки линейно зависимы -> det A = 0
Да, а еще ранг равен единице, это тоже довольно очевидно
А что то про собственные числа, например?

[Mikhail_K]

vatrushka в сообщении #1499384 писал(а):

А что то про собственные числа, например?

Пусть $\lambda$ - собственное число Вашей матрицы $A=ab^T$.
(Здесь $a$ и $b$ - вектор-столбцы с соответствующими компонентами, $b^T$ - вектор-строка).
Тогда существует ненулевой вектор $x$ такой, что $Ax=\lambda x$.
С другой стороны, $Ax=ab^Tx=a(b,x)=(b,x)a$ (умножение вектор-строки на вектор-столбец - это стандартное скалярное произведение соответствующих вектор-столбцов).
Итак, $\lambda x=(b,x)a$. Продолжите рассуждение, что отсюда можно извлечь про $x$ и/или $\lambda$.

[nnosipov]

vatrushka в сообщении #1499384 писал(а):

А что то про собственные числа, например?

А чего только про собственные числа? Давайте уж сразу и про собственные векторы. Ваши версии каковы?

[ewert]

vatrushka в сообщении #1499384 писал(а):

Да, а еще ранг равен единице, это тоже довольно очевидно
А что то про собственные числа, например?

Так ведь из первой фразы почти всё следует и для второй (не считая уточнения Mikhail_K
).

[StaticZero]

(Оффтоп)

vatrushka в сообщении #1499384 писал(а):

Да, а еще ранг равен единице, это тоже довольно очевидно
А что то про собственные числа, например?

Сразу вопрос, а где именно попытки догадаться о связи ранга с собственными числами?

[vatrushka]

Не знаю, пока не уверен что ранг связан с собственными числами
Например у единичной матрицы ранг равен числу строк, а вот собственные числа все равны

[ewert]

vatrushka в сообщении #1499403 писал(а):

Не знаю, пока не уверен что ранг связан с собственными числами

С собственными числами вообще -- естественно, не связан. Но вот с нулевым собственным числом -- связан довольно непосредственно.

Правда, для этого надо иметь хоть какое-то представление о кратности собственного числа. У Вас оно есть?

[vatrushka]

Ну если с.ч. равно нулю, то определитель равен нулю, значит ранг как минимум на 1 меньше числа строк

[ewert]

vatrushka в сообщении #1499410 писал(а):

Ну если с.ч. равно нулю, то определитель равен нулю, значит ранг как минимум на 1 меньше числа строк

Это правда (хотя и чересчур вычурно сказано). Но этого категорически мало: понятие кратности с.ч., как я понял, прошло мимо Вас.

[lel0lel]

Представьте, что вы привели матрицу к диагональному виду, меняются ли при этом ранг и определитель? Чему теперь эквивалентна линейная независимость строк матрицы? Правда эти рассуждения проходят для диагонализируемых матриц.

Ещё лучше -- решите задачу на с.в и с.з. для матриц маленьких размерностей, а затем попробуйте угадать ответ в общем случае. Через это должно прийти осознание общей картины. Потом попытайтесь обосновать угаданный ответ используя сообщение Mikhail_K

[vatrushka]

Ну понятно, что при приведении к диагональному виду ранг и определитель не меняются
Тогда линейная независимость эквивалентна тому что на диагонали не нули
Вообще есть спектральное разложение матрицы, возможно оно должно помочь
Но в спектральное разложение не всегда можно раскладывать даже

[lel0lel]

vatrushka в сообщении #1499419 писал(а):

Тогда линейная независимость эквивалентна тому что на диагонали не нули

Это хорошо. Ещё кое-что нужно помнить про диагональ, кто её населяет? Также почитайте про жорданову нормальную форму, к ней прийти сможем всегда.