Свойства матрицы специального вида

[ewert]

Не надо про жорданову, это пока что вредно. Пока что достаточно базовых понятий о кратностях.

[vatrushka]

ну диагональ это след, след это сумма собственных чисел

[ewert]

vatrushka в сообщении #1499426 писал(а):

ну диагональ это след,

Смотря чей это след: лисицы или её хвоста, распластавшегося по холсту?

Ваша проблема в том, что Вы тщательно стараетесь выдавать максимально неосмысленные формулировки.

[vatrushka]

Ну вы наверное ожидали услышать что то другое, но сумма чисел на диагонали это след, и он равен сумме собственных значений матрицы

[ewert]

vatrushka в сообщении #1499431 писал(а):

но сумма чисел на диагонали это след, и он равен сумме собственных значений матрицы

Да, это Вы зазубрили. Но ведь что такое собственное число -- Вы явно не имеете понятия. Тем более что такое собственный вектор (или элемент -- в данном случае не важно).

А в задачке нужно именно понимание определений. Коего у Вас не прослеживается. Что ж, аминь.

[lel0lel]

vatrushka в сообщении #1499426 писал(а):

ну диагональ это след, след это сумма собственных чисел

Правильнее так: диагональ это диагональ, след это сумма диагональных элементов; да, он равен сумме с.з. матрицы, не изменяется при переходе к новому базису, который всегда можно выбрать так (обязательно выясните как), что на главной диагонали будут все с.з. матрицы. Это нам важно. Теперь попробуйте найти связь между нулевыми с.з. и рангом диагонализируемой матрицы.

[vatrushka]

Как я понял, любую матрицу можно привести к жордановой
А у нее на диагонали собственные значения стоят

Ну да, а оказывается матрицы $A$ и $C^{-1}AC$ имеют одинаковые ранги, определители и следы
Ну, правда я пока не очень понимаю откуда это следует, просто прочитал в учебнике
Равенство следов и определителей следует из того что у жордановой матрицы на диагонали стоят собственные числа, а вот равенство рангов....

[Утундрий]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1499424 писал(а):

Не надо про жорданову, это пока что вредно.

Интересно, а когда - надо?

[StaticZero]

vatrushka, вы зря проигнорировали это сообщение

ewert в сообщении #1499424 писал(а):

Не надо про жорданову, это пока что вредно. Пока что достаточно базовых понятий о кратностях.

Пока что именно с кратностями вам и надо разобраться по-честному. Вот какие вы вообще знаете кратности у матрицы? Чему они равны для матрицы $\left(\begin{smallmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$?

[vatrushka]

Вероятно, мне надо разобраться с жорадновой формой, потому что я думал что жорданова клетка всегда выглядят как с.ч. на диагонали и над ними справа сверху единицы, но построив в вольфраме жораднову форму матрицы из единиц я понял что ошибался

[Mikhail_K]

Mikhail_K в сообщении #1499386 писал(а):

Пусть $\lambda$ - собственное число Вашей матрицы $A=ab^T$.
(Здесь $a$ и $b$ - вектор-столбцы с соответствующими компонентами, $b^T$ - вектор-строка).
Тогда существует ненулевой вектор $x$ такой, что $Ax=\lambda x$.
С другой стороны, $Ax=ab^Tx=a(b,x)=(b,x)a$ (умножение вектор-строки на вектор-столбец - это стандартное скалярное произведение соответствующих вектор-столбцов).
Итак, $\lambda x=(b,x)a$. Продолжите рассуждение, что отсюда можно извлечь про $x$ и/или $\lambda$.

vatrushka
Ну же, попробуйте, это рассуждение несложно продолжить.
Здесь в конце получено, что вектор $\lambda x$ (где $\lambda$ - собственное значение, а $x$ - соответствующий ему собственный вектор) всегда получается из вектора $a$ умножением на некоторое число (а именно, на $(b,x)$).
Отсюда можно вывести всё интересующее и про собственные значения, и про соответствующие им собственные векторы.
Если в рассуждении какие-то шаги непонятны, спрашивайте.

[vatrushka]

Да, действительно, выходит как то просто
Пусть

$$ \begin{equation*} C = \left( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \vdots \\ c_n \end{array} \right) \end{equation*} $$

- собственный вектор, тогда

$$ \begin{equation*} \left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \vdots \\ a_n \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cссс} b_1 b_2 \dots b_n \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \vdots \\ c_n \end{array} \right) = \alpha \left( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \vdots \\ c_n \end{array} \right) \end{equation*} $$

это равносильно

$$ \begin{equation*} \left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \vdots \\ a_n \end{array} \right) \cdot \sum (b_i \cdot c_i) = \alpha \left( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \vdots \\ c_n \end{array} \right) \end{equation*} $$

-- 08.01.2021, 03:27 --

А, я понял, попробуем на B домножить слева

$$ \begin{equation*} \left( \begin{array}{cссс} b_1 b_2 \dots b_n \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \vdots \\ a_n \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cссс} b_1 b_2 \dots b_n \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \vdots \\ c_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cссс} b_1 b_2 \dots b_n \end{array} \right) \alpha \left( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \vdots \\ c_n \end{array} \right) \end{equation*} $$

Выходит
$\sum a_i b_i \cdot \sum b_i c_i = \alpha \sum b_i c_i
или
$ \sum b_i c_i \cdot (\sum a_i b_i - \alpha) = 0

[vatrushka]

А если $\sum b_i c_i = 0$, то либо $\alpha = 0$, либо $C=0$, но собственный вектор нулевым быть не может
То подходит только $\alpha = 0$,либо $\alpha = \sum b_i c_i$

[vatrushka]

Но дальше что то не идет
Получается что вектор $C$ пропорционален вектору $A$
$C = \sum b_i \frac{c_i}{a_i} \cdot A $

[nnosipov]

А Вы какую задачу пытаетесь решить? Четко сформулируйте.