2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение07.11.2020, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
807
vicvolf в сообщении #1491032 писал(а):
ведь теорема Штольца допускает случай, когда предел последовательности $x(n)$ равен бесконечности.
Да, но в отличие от конечных пределов, которые просто совпадают, здесь могут получаться две разные бесконечности (разные асимптотики ухода на бесконечность), и деление одной на другую не дает единицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение07.11.2020, 12:46 


23/02/12
2233
alisa-lebovski в сообщении #1491035 писал(а):
Да, но в отличие от конечных пределов, которые просто совпадают, здесь могут получаться две разные бесконечности (разные асимптотики ухода на бесконечность), и деление одной на другую не дает единицу.
На основании теоремы Штольца справедиво $\lim_{n \to \infty} \frac{x(n)}{y(n)}=\lim_{n \to \infty} \frac{x(n)-x(n-1))}{y(n)-y(n-1)}$ (1), если существует предел справа (конечный или бесконечный).
Возьмем в качестве $y(n)=n, x(n)=\sum_{i=1}^n x(i)$.
Тогда на основании (1) справедливо $E[x,n]=\lim_{n \to \infty} {\frac {\sum_{i=1}^n x(i)}{n}}=\lim_{n \to \infty} {x(n)}$ (2), если существует предел справа (конечный или бесконечный).
В (2), если $\lim_{n \to \infty} {x(n)}$ не равен нулю, то разделим на него и получим: $\frac {\lim_{n \to \infty}E[x,n]}{\lim_{n \to \infty} x(n)}=\lim_{n \to \infty} \frac {E[x,n]}{x(n)}=1$. (3)
Из определения эквивалентности на основании (3) получаем $E[x,n] \sim  x(n)$. Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение07.11.2020, 13:07 
Заслуженный участник


20/12/10
7481
vicvolf в сообщении #1491047 писал(а):
если $\lim_{n \to \infty} {x(n)}$ не равен нулю, то разделим на него
А Вы умеете делить на бесконечность? Я вот не умею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение07.11.2020, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
807
vicvolf в сообщении #1491047 писал(а):
$\lim_{n \to \infty} {\frac {\sum_{i=1}^n x(i)}{n}}=\lim_{n \to \infty} {x(n)}$, если существует предел справа (конечный или бесконечный).

Здесь знак "равно" имеет разный смысл в зависимости от того, конечный предел или бесконечный. Если конечный, то просто равенство чисел, если бесконечный, то и то, и другое в пределе бесконечность, но не обязательно с одинаковой асимптотикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение07.11.2020, 16:14 


23/02/12
2233
nnosipov alisa-lebovski Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение20.11.2020, 11:07 


23/02/12
2233
Выше мы рассмотрели сильно-аддитивные арифметические функции $f(m),m=1,...,n$, которые удовлетворяют условиям (12) и (13).

Данным условиям удовлетворяет только сильно аддитивные арифметические функции, которые при всех простых числах $p$ принимают либо значение $f(p)=0$ , либо значение $f(p)=1$ и отличается от этих значений только на множестве меры 0.

Сейчас мы значительно расширим класс рассматриваемых сильно аддитивных арифметических функций $f(m),m=1,...,n$, для которых укажем метод нахождения асимптотик центральных моментов более высоких порядков.

Для начала мы рассмотрим сильно аддитивные арифметические функции $f(m),m=1,...,n$, которые удовлетворяют условиям, что для всех простых значений $p$ выполняется $0 \leq f(p) \leq 1$ и среднее значение арифметической функции $A_n \to \infty,n \to \infty$.

Как мы уже говорили выше, что при выполнении данных условий сильно аддитивная арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ имеет предельным нормальное распределение. С другой стороны, в данном случае, дисперсия $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна среднему значению, т.е $A_n=D_n$.

Ранее мы получили, что для среднего значения сильно аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$:

$E[f,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$. (17)

Поэтому в этом случае для дисперсии $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ также выполняется:

$D[f,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$. (18)

Теперь докажем следующее утверждение.

Утверждение 1

Пусть для сильно-аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,...,n$ для всех простых значений $p$ выполняется $0 \leq f(p) \leq 1$ и среднее значение $A_n \to \infty,n \to \infty$. Тогда асимптотики всех центральных моментов более высоких порядков для сильно-аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,...,n$ равны:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)$. (19)

Доказательство

Пусть случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=1$ с вероятностью $P(X_p=1)=\frac {f(p)}{p}$ и $X_p=0$ с вероятностью $P(X_p=0)=1-\frac {f(p)}{p}$. Обратим внимание, что $0 \leq \frac {f(p)}{p}<1$.

Тогда среднее значение и дисперсия $X_p$ соответственно равны: $E[X_p]=\frac {f(p)}{p},D[X_p]=\frac {f(p)}{p}-\frac {f^2(p)}{p^2}$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимы. Тогда среднее значение и дисперсия $S_n$ соответственно равны: $E[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p},D[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}-\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p^2}$.

На основании Центральной предельной теоремы случайная величина $S_n$ имеет предельным нормальное распределение.

Учитывая, что $0 \leq f(p) \leq 1$, то ряд $\sum_{p=2}^{\infty} \frac {f^2(p)}{p^2} \leq \sum_{p=2}^{\infty} \frac {1}{p^2}$ - сходится. Поэтому $D[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)$.

Следовательно, при $n \to \infty$ получаем $A_n \to E[S,n],D_n \to D[S,n]$, поэтому совпадают предельные нормальные распределения сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$.

Отсюда вытекает, что совпадают все остальные вероятностные характеристики (в том числе центральные моменты более высоких порядков) сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$. Поэтому для нахождения центральных моментов более высоких порядков для сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ достаточно найти центральные моменты для случайной величины $S_n$, чем мы и займемся.

Сначала определим центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $X_p$:

$E[(X_p- \frac {f(p)}{p})^k]=E[{X_p}^k]-\frac {kf(p)}{p}E[{X_p}^{k-1}]+...+(-1)^k \frac {f^k(p)}{p^k}=$$\frac {f(p)}{p}-\frac {kf^2(p)}{p^2}+...+(-1)^k\frac {f^k(p)}{p^k}=\frac {f(p)}{p}+O(\frac {f^2(p)}{p^2})$.

Поэтому центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $S_n$ и соответственно $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равны:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(\sum_{p \leq n}\frac {f^2(p)}{p^2})=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)$,

что соответствует (19).

Анализ асимптотики (19) приведен в [ сообщении #1492774"]

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение26.11.2020, 16:37 


23/02/12
2233
Теперь мы рассмотрим сильно аддитивные арифметические функции $g(m),m=1,...,n$, которые удовлетворяют условиям, что для всех простых значений $p$ выполняется $-1 \leq g(p) < 0$ и дисперсия арифметической функции $D_n \to \infty,n \to \infty$.

Напомним, что при выполнении условий: $|g(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty,n \to \infty$ сильно аддитивная арифметическая функция $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ имеет предельным нормальное распределение.

Нам известно (17), что для среднего значения любой сильно аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ выполняется:

$A_n \sim \sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}$.

Учитывая, что $-1 \leq g(p) < 0$, в данном случае значение $A_n <0$.

Теперь определим дисперсию $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$.

Для $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$, если $0 < f(p) \leq 1$ выполняется:

$D_n \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$.

Так как $g(p)=-f(p)$, то дисперсия $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ на основании свойств дисперсии:

$D_n[g] \sim -\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}$. (20)


Теперь докажем следующее утверждение.

Утверждение 2

Пусть для сильно-аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ для всех простых значений $p$ выполняется $-1 \leq g(p) < 0$ и дисперсия $D_n[g] \to \infty,n \to \infty$. Тогда асимптотики всех нечетных центральных моментов для сильно-аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ равны:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}+O(1)$, (21)

а асимптотики всех четных центральных моментов для сильно-аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ равны:

$\sum_{p \leq n} -\frac {g(p)}{p}+O(1)$. (22)

Доказательство

Пусть случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=-1$ с вероятностью $P(X_p=-1)=\frac {|g(p)|}{p}$ и $X_p=0$ с вероятностью $P(X_p=0)=1-\frac {|g(p)|}{p}$.

Тогда среднее значение и дисперсия $X_p$ соответственно равны: $E[X_p]=\frac {g(p)}{p},D[X_p]=\frac {|g(p)|}{p}-\frac {g^2(p)}{p^2}=-\frac {g(p)}{p}-\frac {g^2(p)}{p^2}$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимы. Тогда среднее значение и дисперсия $S_n$ соответственно равны: $E[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p},D[S,n]=-\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}-\sum_{p \leq n} \frac {g^2(p)}{p^2}$.

На основании Центральной предельной теоремы случайная величина $S_n$ имеет предельным нормальное распределение.

Учитывая, что $|g(p)| \leq 1$, то ряд $\sum_{p=2}^{\infty} \frac {g^2(p)}{p^2} \leq \sum_{p=2}^{\infty} \frac {1}{p^2}$ - сходится. Поэтому $D[S,n]=-\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}+O(1)$.

Следовательно, при $n \to \infty$ получаем $A_n \to E[S,n],D_n \to D[S,n]$, поэтому совпадают предельные нормальные распределения сильно аддитивной арифметической функции $g(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$.

Отсюда вытекает, что совпадают все остальные вероятностные характеристики (в том числе центральные моменты более высоких порядков) сильно аддитивной арифметической функции $g(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$. Поэтому для нахождения центральных моментов более высоких порядков для сильно аддитивной арифметической функции $g(m), m=1,...,n$ достаточно найти центральные моменты для случайной величины $S_n$, чем мы и займемся.

Сначала определим центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $X_p$:

$E[(X_p- \frac {g(p)}{p})^k]=E[{X_p}^k]-\frac {kg(p)}{p}E[{X_p}^{k-1}]+...+(-1)^k \frac {g^k(p)}{p^k}=$$(-1)^k\frac {|g(p)|}{p}-(-1)^{k-1}\frac {kg(p)|g(p)|}{p^2}+...+(-1)^k\frac {|g^k(p)|}{p^k}=(-1)^k\frac {|g(p)|}{p}+O(\frac {g^2(p)}{p^2})$.

Поэтому центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $S_n$ и соответственно $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равны:

$\sum_{p \leq n}(-1)^k \frac {|g(p)|}{p}+O(\sum_{p \leq n}\frac {g^2(p)}{p^2})=(-1)^k\sum_{p \leq n} \frac {|g(p)|}{p}+O(1)$.

При нечетном $k$, так как $g(p)<0$, то получим: $\sum_{p \leq n}\frac {g(p)}{p}+O(1)$, что соответствует (21).

При четном $k$, так как $g(p)<0$, то получим: $-\sum_{p \leq n}\frac {g(p)}{p}+O(1)$, что соответствует (22).


На основании материалов темы об асимптотике сумм функций простых чисел приведем анализ асимптотики выражения $\sum_{p \leq n}\frac {g(p)}{p}$ при условии, что $-1 \leq g(p) <0$.


1. Если $g(p)=C$, где $-1 \leq C < 0$, то асимптотика суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \sim C\ln\ln(n)$.

2. Если $g(p)$ монотонно убывает и $\lim_{p \to \infty} {g(p)}=C$, то асимптотика суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \sim C\ln\ln(n)$.

3. Если $g(p)$ монотонно возрастает, как $\frac {C}{\ln\ln(p)}$ или медленнее, то асимптотика суммы равна:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \sim C\ln\ln\ln(n)$

или убывает медленнее.

4. Если $g(p)$ монотонно возрастает, как $\frac {C}{\ln(p)}$ или быстрее, то ряд:

$\sum_{p=p_0}^{\infty} \frac {g(p)}{p} (p_o \geq 2)$ - сходится.

Поэтому условиям $|g(p)| \leq 1$ и $D_n[g]=-\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \to \infty,n \to \infty$ удовлетворяют случаи 1-3.


alisa-lebovski в сообщении #1485376 писал(а):
Ваши новые посты сложноваты для проверки, но вполне возможно, по сути верны. Хотя, возможно, требуют более строгих доказательств.

Мне кажется, что последние сообщения не являются сложными с точки зрения теории вероятностей и утверждения доказаны строго. Здесь главное идея метода оценки моментов арифметических функций.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 157 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group