Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1491032 писал(а):

ведь теорема Штольца допускает случай, когда предел последовательности $x(n)$ равен бесконечности.

Да, но в отличие от конечных пределов, которые просто совпадают, здесь могут получаться две разные бесконечности (разные асимптотики ухода на бесконечность), и деление одной на другую не дает единицу.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1491035 писал(а):

Да, но в отличие от конечных пределов, которые просто совпадают, здесь могут получаться две разные бесконечности (разные асимптотики ухода на бесконечность), и деление одной на другую не дает единицу.

На основании теоремы Штольца справедиво $\lim_{n \to \infty} \frac{x(n)}{y(n)}=\lim_{n \to \infty} \frac{x(n)-x(n-1))}{y(n)-y(n-1)}$ (1), если существует предел справа (конечный или бесконечный).
Возьмем в качестве $y(n)=n, x(n)=\sum_{i=1}^n x(i)$.
Тогда на основании (1) справедливо $E[x,n]=\lim_{n \to \infty} {\frac {\sum_{i=1}^n x(i)}{n}}=\lim_{n \to \infty} {x(n)}$ (2), если существует предел справа (конечный или бесконечный).
В (2), если $\lim_{n \to \infty} {x(n)}$ не равен нулю, то разделим на него и получим: $\frac {\lim_{n \to \infty}E[x,n]}{\lim_{n \to \infty} x(n)}=\lim_{n \to \infty} \frac {E[x,n]}{x(n)}=1$. (3)
Из определения эквивалентности на основании (3) получаем $E[x,n] \sim x(n)$. Где ошибка?

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1491047 писал(а):

если $\lim_{n \to \infty} {x(n)}$ не равен нулю, то разделим на него

А Вы умеете делить на бесконечность? Я вот не умею.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1491047 писал(а):

$\lim_{n \to \infty} {\frac {\sum_{i=1}^n x(i)}{n}}=\lim_{n \to \infty} {x(n)}$, если существует предел справа (конечный или бесконечный).

Здесь знак "равно" имеет разный смысл в зависимости от того, конечный предел или бесконечный. Если конечный, то просто равенство чисел, если бесконечный, то и то, и другое в пределе бесконечность, но не обязательно с одинаковой асимптотикой.

[vicvolf]

nnosipov alisa-lebovski Спасибо!

[vicvolf]

Выше мы рассмотрели сильно-аддитивные арифметические функции $f(m),m=1,...,n$, которые удовлетворяют условиям (12) и (13).

Данным условиям удовлетворяет только сильно аддитивные арифметические функции, которые при всех простых числах $p$ принимают либо значение $f(p)=0$ , либо значение $f(p)=1$ и отличается от этих значений только на множестве меры 0.

Сейчас мы значительно расширим класс рассматриваемых сильно аддитивных арифметических функций $f(m),m=1,...,n$, для которых укажем метод нахождения асимптотик центральных моментов более высоких порядков.

Для начала мы рассмотрим сильно аддитивные арифметические функции $f(m),m=1,...,n$, которые удовлетворяют условиям, что для всех простых значений $p$ выполняется $0 \leq f(p) \leq 1$ и среднее значение арифметической функции $A_n \to \infty,n \to \infty$.

Как мы уже говорили выше, что при выполнении данных условий сильно аддитивная арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ имеет предельным нормальное распределение. С другой стороны, в данном случае, дисперсия $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна среднему значению, т.е $A_n=D_n$.

Ранее мы получили, что для среднего значения сильно аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$:

$E[f,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$. (17)

Поэтому в этом случае для дисперсии $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ также выполняется:

$D[f,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$. (18)

Теперь докажем следующее утверждение.

Утверждение 1

Пусть для сильно-аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,...,n$ для всех простых значений $p$ выполняется $0 \leq f(p) \leq 1$ и среднее значение $A_n \to \infty,n \to \infty$. Тогда асимптотики всех центральных моментов более высоких порядков для сильно-аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,...,n$ равны:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)$. (19)

Доказательство

Пусть случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=1$ с вероятностью $P(X_p=1)=\frac {f(p)}{p}$ и $X_p=0$ с вероятностью $P(X_p=0)=1-\frac {f(p)}{p}$. Обратим внимание, что $0 \leq \frac {f(p)}{p}<1$.

Тогда среднее значение и дисперсия $X_p$ соответственно равны: $E[X_p]=\frac {f(p)}{p},D[X_p]=\frac {f(p)}{p}-\frac {f^2(p)}{p^2}$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимы. Тогда среднее значение и дисперсия $S_n$ соответственно равны: $E[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p},D[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}-\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p^2}$.

На основании Центральной предельной теоремы случайная величина $S_n$ имеет предельным нормальное распределение.

Учитывая, что $0 \leq f(p) \leq 1$, то ряд $\sum_{p=2}^{\infty} \frac {f^2(p)}{p^2} \leq \sum_{p=2}^{\infty} \frac {1}{p^2}$ - сходится. Поэтому $D[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)$.

Следовательно, при $n \to \infty$ получаем $A_n \to E[S,n],D_n \to D[S,n]$, поэтому совпадают предельные нормальные распределения сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$.

Отсюда вытекает, что совпадают все остальные вероятностные характеристики (в том числе центральные моменты более высоких порядков) сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$. Поэтому для нахождения центральных моментов более высоких порядков для сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ достаточно найти центральные моменты для случайной величины $S_n$, чем мы и займемся.

Сначала определим центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $X_p$:

$E[(X_p- \frac {f(p)}{p})^k]=E[{X_p}^k]-\frac {kf(p)}{p}E[{X_p}^{k-1}]+...+(-1)^k \frac {f^k(p)}{p^k}=$$\frac {f(p)}{p}-\frac {kf^2(p)}{p^2}+...+(-1)^k\frac {f^k(p)}{p^k}=\frac {f(p)}{p}+O(\frac {f^2(p)}{p^2})$.

Поэтому центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $S_n$ и соответственно $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равны:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(\sum_{p \leq n}\frac {f^2(p)}{p^2})=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)$,

что соответствует (19).

Анализ асимптотики (19) приведен в [ сообщении #1492774"]

[vicvolf]

Теперь мы рассмотрим сильно аддитивные арифметические функции $g(m),m=1,...,n$, которые удовлетворяют условиям, что для всех простых значений $p$ выполняется $-1 \leq g(p) < 0$ и дисперсия арифметической функции $D_n \to \infty,n \to \infty$.

Напомним, что при выполнении условий: $|g(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty,n \to \infty$ сильно аддитивная арифметическая функция $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ имеет предельным нормальное распределение.

Нам известно (17), что для среднего значения любой сильно аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ выполняется:

$A_n \sim \sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}$.

Учитывая, что $-1 \leq g(p) < 0$, в данном случае значение $A_n <0$.

Теперь определим дисперсию $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$.

Для $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$, если $0 < f(p) \leq 1$ выполняется:

$D_n \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$.

Так как $g(p)=-f(p)$, то дисперсия $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ на основании свойств дисперсии:

$D_n[g] \sim -\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}$. (20)


Теперь докажем следующее утверждение.

Утверждение 2

Пусть для сильно-аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ для всех простых значений $p$ выполняется $-1 \leq g(p) < 0$ и дисперсия $D_n[g] \to \infty,n \to \infty$. Тогда асимптотики всех нечетных центральных моментов для сильно-аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ равны:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}+O(1)$, (21)

а асимптотики всех четных центральных моментов для сильно-аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ равны:

$\sum_{p \leq n} -\frac {g(p)}{p}+O(1)$. (22)

Доказательство

Пусть случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=-1$ с вероятностью $P(X_p=-1)=\frac {|g(p)|}{p}$ и $X_p=0$ с вероятностью $P(X_p=0)=1-\frac {|g(p)|}{p}$.

Тогда среднее значение и дисперсия $X_p$ соответственно равны: $E[X_p]=\frac {g(p)}{p},D[X_p]=\frac {|g(p)|}{p}-\frac {g^2(p)}{p^2}=-\frac {g(p)}{p}-\frac {g^2(p)}{p^2}$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимы. Тогда среднее значение и дисперсия $S_n$ соответственно равны: $E[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p},D[S,n]=-\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}-\sum_{p \leq n} \frac {g^2(p)}{p^2}$.

На основании Центральной предельной теоремы случайная величина $S_n$ имеет предельным нормальное распределение.

Учитывая, что $|g(p)| \leq 1$, то ряд $\sum_{p=2}^{\infty} \frac {g^2(p)}{p^2} \leq \sum_{p=2}^{\infty} \frac {1}{p^2}$ - сходится. Поэтому $D[S,n]=-\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}+O(1)$.

Следовательно, при $n \to \infty$ получаем $A_n \to E[S,n],D_n \to D[S,n]$, поэтому совпадают предельные нормальные распределения сильно аддитивной арифметической функции $g(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$.

Отсюда вытекает, что совпадают все остальные вероятностные характеристики (в том числе центральные моменты более высоких порядков) сильно аддитивной арифметической функции $g(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$. Поэтому для нахождения центральных моментов более высоких порядков для сильно аддитивной арифметической функции $g(m), m=1,...,n$ достаточно найти центральные моменты для случайной величины $S_n$, чем мы и займемся.

Сначала определим центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $X_p$:

$E[(X_p- \frac {g(p)}{p})^k]=E[{X_p}^k]-\frac {kg(p)}{p}E[{X_p}^{k-1}]+...+(-1)^k \frac {g^k(p)}{p^k}=$$(-1)^k\frac {|g(p)|}{p}-(-1)^{k-1}\frac {kg(p)|g(p)|}{p^2}+...+(-1)^k\frac {|g^k(p)|}{p^k}=(-1)^k\frac {|g(p)|}{p}+O(\frac {g^2(p)}{p^2})$.

Поэтому центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $S_n$ и соответственно $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равны:

$\sum_{p \leq n}(-1)^k \frac {|g(p)|}{p}+O(\sum_{p \leq n}\frac {g^2(p)}{p^2})=(-1)^k\sum_{p \leq n} \frac {|g(p)|}{p}+O(1)$.

При нечетном $k$, так как $g(p)<0$, то получим: $\sum_{p \leq n}\frac {g(p)}{p}+O(1)$, что соответствует (21).

При четном $k$, так как $g(p)<0$, то получим: $-\sum_{p \leq n}\frac {g(p)}{p}+O(1)$, что соответствует (22).


На основании материалов темы об асимптотике сумм функций простых чисел приведем анализ асимптотики выражения $\sum_{p \leq n}\frac {g(p)}{p}$ при условии, что $-1 \leq g(p) <0$.


1. Если $g(p)=C$, где $-1 \leq C < 0$, то асимптотика суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \sim C\ln\ln(n)$.

2. Если $g(p)$ монотонно убывает и $\lim_{p \to \infty} {g(p)}=C$, то асимптотика суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \sim C\ln\ln(n)$.

3. Если $g(p)$ монотонно возрастает, как $\frac {C}{\ln\ln(p)}$ или медленнее, то асимптотика суммы равна:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \sim C\ln\ln\ln(n)$

или убывает медленнее.

4. Если $g(p)$ монотонно возрастает, как $\frac {C}{\ln(p)}$ или быстрее, то ряд:

$\sum_{p=p_0}^{\infty} \frac {g(p)}{p} (p_o \geq 2)$ - сходится.

Поэтому условиям $|g(p)| \leq 1$ и $D_n[g]=-\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \to \infty,n \to \infty$ удовлетворяют случаи 1-3.

alisa-lebovski в сообщении #1485376 писал(а):

Ваши новые посты сложноваты для проверки, но вполне возможно, по сути верны. Хотя, возможно, требуют более строгих доказательств.

Мне кажется, что последние сообщения не являются сложными с точки зрения теории вероятностей и утверждения доказаны строго. Здесь главное идея метода оценки моментов арифметических функций.

[vicvolf]

Теперь рассмотрим случай, когда функция $f(p)$ меняет знак и докажем следующее утверждение.

Утверждение 3

Пусть $f(m),m=1,...,n$ - сильно аддитивная арифметическая функция и $|f(p)| \leq 1$. При этом при $n \to \infty$ среднее значение $A_n \to 0$, а дисперсия $D_n \sim \sum_{p \leq n}\frac {|f(p)|} {p}$ и стремится к бесконечности. Тогда для $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$ асимптотика всех нечетных центральных моментов более высоких порядков равна 0, а четных моментов равна $O(1)$.

Доказательство

Введем случайную величину $X_p$, принимающую два значения. $X_p=\sqrt {\frac {|f(p)|}{p}}$ с вероятностью равной $1/2$ и $X_p=-\sqrt {\frac {|f(p)|}{p}}$ с вероятностью равной $1/2$.
Тогда среднее значение $X_p$ равно $E[X_p]=1/2\sqrt {\frac {|f(p)|}{p}}-1/2\sqrt {\frac {|f(p)|}{p}}=0$, а дисперсия $X_p$ равна $D[X_p]=1/2 \frac {|f(p)|}{p}+1/2\frac {|f(p)|}{p}=\frac {|f(p)|}{p}$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимые случайные величины.

Тогда среднее значение $S_n$ равно $E[S,n]=0$, а дисперсия $S_n$ равна $D[S,n] \sim \sum_{p \leq n}\frac {|f(p)|} {p}$.

Обратим внимание, что арифметическая функция $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$ имеет среднее значение $A_n \to 0$ и дисперсию $D_n \sim \sum_{p \leq n}\frac {|f(p)|} {p}$, т.е. совпадающие с соответствующими значениями для случайной величины $S_n$.

Так как по условию для $f(m),m=1,...,n$ значение $|f(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty, n \to \infty$, то на основании сказанного выше предельным для $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ является нормальное распределение.

С другой стороны, на основании ЦПТ для последовательности случайных величин: $S_1,S_2,...$ предельным при $n \to \infty$ является нормальное распределение с аналогичным средним значением и дисперсией, как у $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$, т.е. совпадают предельные распределения, поэтому совпадают все центральные моменты более высоких порядков.

Определим указанные центральные моменты. Сначала для случайной величины $X_p$:

$E[(X_p)^k]=1/2\left(\frac{|f(p)|}{p}\right)^{k/2}+1/2\left(-\frac{|f(p)|}{p}\right)^{k/2}$.

Если $k$ - нечетно, то:

$E[(X_p)^k]=1/2\left(\sqrt {\frac{|f(p)|}{p}}\right)^{k}-1/2\left(\sqrt{\frac{|f(p)|}{p}}\right)^{k}=0$.

Если $k$ - четно, то:

$E[(X_p)^k]=1/2\left(\sqrt {\frac{|f(p)|}{p}}\right)^{k}+1/2\left(\sqrt{\frac{|f(p)|}{p}}\right)^{k}=(\frac {|f(p)|}{p})^{k/2}$.

Теперь определим центральные моменты для $S_n$.

Если $k$ нечетно:

$E[(S_n)^k]=\sum_{p \leq n} E[(X_p)^k]=0$.

Если $k$ четно:

1. При $k=2$ значение $E[(S_n)^2]=\sum_{p \leq n} {\frac {|f(p)|}{p}}$.

2. При $k>2$ значение $E[(S_n)^k]=O(1)$, так как $|f(p)| \leq 1$ и ряд $\sum_{p=2}^{\infty} \left(\frac {|f(p)|}{p}\right)^{k/2} \leq \sum_{p=2}^{\infty} \frac{1}{p^{k/2}}$ - сходится.

[vicvolf]

Обобщим утверждение 3 на случай общего значения дисперсии для сильно аддитивной арифметической функции, стремящейся к бесконечности.

Утверждение 4

Пусть $f(m),m=1,...,n$ - сильно аддитивная арифметическая функция и $|f(p)| \leq 1$. При этом при $n \to \infty$ среднее значение $A_n \to 0$, а дисперсия $D_n \to \infty$. Тогда для $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$ асимптотика всех нечетных центральных моментов более высоких порядков равна 0, а четных моментов (кроме дисперсии) равна $O(1)$.

Доказательство

На основании Кубилюса "Вероятностные методы в теории чисел" для дисперсии сильно аддитивной арифметической функции, в общем случае, выполняется: $D_n \to \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$.

Введем случайную величину $X_p$, принимающую два значения: $X_p=\frac {f(p)}{\sqrt {p}}$ с вероятностью равной $1/2$ и $X_p=-\frac {f(p)}{\sqrt {p }}$ с вероятностью равной $1/2$.
Тогда среднее значение $X_p$ равно $E[X_p]=0$, а дисперсия $X_p$ равна $D[X_p]=1/2 \frac {f^2(p)}{p}}+1/2\frac {f^2(p)}{p}}=\frac {f^2(p)}{p}$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимые случайные величины.

Тогда среднее значение $S_n$ равно $E[S,n]=0$, а дисперсия $S_n$ равна $D[S,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)} {p}$.

Обратим внимание, что арифметическая функция $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$ имеет среднее значение $A_n \to 0$ и дисперсию $D_n \sim \sum_{p \leq n}\frac {f^2(p)} {p}$, т.е. совпадающие с соответствующими значениями для случайной величины $S_n$.

Так как по условию для $f(m),m=1,...,n$ значение $|f(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty, n \to \infty$, то на основании сказанного выше предельным для $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ является нормальное распределение.

С другой стороны, на основании ЦПТ для последовательности случайных величин: $S_1,S_2,...$ предельным при $n \to \infty$ является нормальное распределение с аналогичным средним значением и дисперсией, как у $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$, т.е. совпадают предельные распределения, поэтому совпадают все центральные моменты более высоких порядков.

Определим указанные центральные моменты. Сначала для случайной величины $X_p$:

$E[(X_p)^k]=1/2\left(\frac{f(p}{\sqrt{p}}\right)^{k}+1/2\left(-\frac{f(p)}{\sqrt{p}}\right)^{k}$.

Если $k$ - нечетно, то:

$E[(X_p)^k]=0$.

Если $k$ - четно, то:

$E[(X_p)^k]=(\frac {f(p)}{\sqrt{p}})^{k}$.

Теперь определим центральные моменты для $S_n$.

Если $k$ нечетно:

$E[(S_n)^k]=\sum_{p \leq n} E[(X_p)^k]=0$.

Если $k$ четно:

1. При $k=2$ значение $E[(S_n)^2]=\sum_{p \leq n} {\frac {f^2(p)}{p}}$.

2. При $k>2$ значение $E[(S_n)^k]=O(1)$, так как $|f(p)| \leq 1$ и ряд $\sum_{p=2}^{\infty} \frac {f^{k}(p)}{p^{k/2}} \leq \sum_{p=2}^{\infty} \frac{1}{p^{k/2}}$ - сходится.

Теперь рассмотрим пример на использование утверждения 4.

Пусть для сильно аддитивной арифметической функции для простых чисел с четными номерами выполняется: $f(p_{2k})=1-1/p_{2k}$, а для простых чисел с нечетными номерами: $f(p_{2k+1})=-(1-1/p_{2k+1})$.

$A_n \to \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}=\sum_{p_{2k} \leq n} \frac {1-1/p_{2k}}{p_{2k}}-\sum_{p_{2k+1} \leq n} \frac {1-1/p_{2k+1}}{p_{2k+1}}=0$.

$D_n \to \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}=\sum_{p_{2k} \leq n} \frac {(1-1/p_{2k})^2}{p_{2k}}+\sum_{p_{2k+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2k+1})^2}{p_{2k+1}}=$$\sum_{p_{2k} \leq n} \frac {1}{p_{2k}}+\sum_{p_{2k+1} \leq n} \frac {1}{p_{2k+1}}+O(1)=\ln\ln(n)+O(1)$

Таким образом, при $n \to \infty, D_n \to \infty$ и выполняются все условия утверждения 4, поэтому все нечетные моменты равны $0$, а четные (кроме дисперсии) равны $O(1)$.

[vicvolf]

Следующее утверждение не будет требовать условий, чтобы $A_n \to \infty$ и $f(p)$ может менять знак, оставаясь в пределах $|f(p)| \leq 1$.

Утверждение 5
Пусть $f(m)$ сильно аддитивная арифметическая функция и $|f(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty$ при $n \to \infty$.
Тогда:
1. Всегда можно построить случвйную величину, имеющую нормальное распределение, среднее значение и дисперсию равную асимптотике среднего значения и дисперсии $f(m)$.
2. Асимптотика центрального момента $k$ -ого порядка $f(m)$ равна:
$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(1)$.

Доказательство
На основании Кубилюса асимптотика среднего значения и дисперсии данной $f(m)$ при $n \to \infty$ соответственно равны асимптотики: $\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$ и $\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$.
Построим случайную величину $X_p$, принимающую два значения: $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$. Тогда среднее значение $X_p$ будет равно $E[X_p]=\frac {f(p)}{p}$, а дисперсия $X_p$ будет равна $D[X_p]= \frac {f^2(p)}{p}}$.
Рассмотрим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимые случайные величины.
Тогда среднее значение $S_n$ равно $E[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$, а дисперсия $S_n$ равна $D[S,n] =\sum_{p \leq n} \frac{f^2 (p)} {p}$, что соответствует асимптотике среднего значения и дисперсии данной $f(m)$.
На основании ЦПТ случайная величина $S_n$ имеет нормальное распределение. Таким образом, мы доказали первую часть утверждения.

Обратим внимание, что если $|f(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty$ при $n \to \infty$, то арифметическая функция $f(m)$ также имеет предельным нормальное распределение с аналогичными асимптотиками среднего значения и дисперсии. Следовательно совпадают предельные распределения $S_n$ и $f(m)$ при $n \to \infty$, а следовательно совпадают все центральные моменты $k$ -ого порядка, к вычислению которых мы перейдем.

Сначала определим центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$:

$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=E[X_p]^k - kE[X_p^{k-1}\frac{f (p)} {p}] + \frac{k(k-1)}{2}E[X_p^{k-2}\frac{f ^2(p)} {p}]-...+(-1)^k\frac{f^k (p)} {p}=\frac{f^k (p)} {p}-k\frac{f^{k-1}(p)}{p}\frac{f (p)} {p} +\frac{k(k-1)}{2}\frac{f^{k-2}(p)}{p}\frac{f^2 (p)} {p^2}+...(-1)^k\frac{f^k (p)} {p}$

Таким образом, центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$ равен:

$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=\frac{f^k (p)} {p}+O(\frac{f^k (p)} {p^2})$.

Учитывая, что $|f(p)| \leq 1$ получаем,что центральный момент $k$ -ого порядка для $S_n$:

$E[S^k,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(1)$.

Следовательно, мы доказали вторую часть утверждения.

[vicvolf]

Исправлю описку.

Сначала определим центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$:
$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=E[X_p]^k - kE[X_p^{k-1}\frac{f (p)} {p}] + \frac{k(k-1)}{2}E[X_p^{k-2}\frac{f ^2(p)} {p}]-...+(-1)^k\frac{f^k (p)} {p}=\frac{f^k (p)} {p}-k\frac{f^{k-1}(p)}{p}\frac{f (p)} {p} +\frac{k(k-1)}{2}\frac{f^{k-2}(p)}{p}\frac{f^2 (p)} {p^2}+...(-1)^k\frac{f^k (p)} {p^k}$

Хочу обратить внимание, что если в утверждении 5 значение $|f(p)| \leq 1$, то выполняется $|f^k(p)| \leq 1$, поэтому исследование суммы вида $\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}$, если $|g(p)| \leq 1$, может быть использовано и в этом случае.

Рассмотрим пример. Пусть $f(m),m=1,...,n$ сильно аддитивная арифметическая функция, которая для простых чисел с четными номерами $p_{2l}$ принимает значение $f(p_{2l})=1/\ln\ln(p_{2l})$, а для простых чисел с нечетными номерами $p_{2l+1}$ принимает значение $f(p_{2l+1})=-(1-1/p_{2l+1})$. Требуется найти асимптотику моментов всех порядков для $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$.

Сначала найдем асимптотику среднего значения $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)=\sum_{p_{2l} \leq n} \frac {1}{\ln\ln(p_{2l})}-\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})}{p_{2l+1}}+O(1)$$

Для определения $\sum_{p_{2l} \leq n} \frac {1}{\ln\ln(p_{2l})}$ воспользуемся формулой темы topic140635.html :

$$\sum_{p \leq n} {g(p)}=\int_2^n {\frac {g(t)dt}{\ln(t)}}+O(|g(n)|n^{1/2}\ln(n))+O(\int_2^n {|g(t)|t^{1/2}\ln(t)dt}).$$

На основании этой формулы получим:

$$\sum_{p_{2l} \leq n} \frac {1}{\ln\ln(p_{2l})}=0,5\int_{11}^n {\frac {dt}{\ln(t)t\ln\ln(t)}}+O(\frac {\ln(n)n^{1/2}}{n\ln\ln(n)})=0,5\ln\ln\ln(n)+O(1)$$

Теперь определим:

$$\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})}{p_{2l+1}}=\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {1}{p_{2l+1}}-\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {1}{p^2_{2l+1}}=0,5\ln\ln(n)+O(1).$$

Поэтому асимптотика среднего значения $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)=0,5(\ln\ln\ln(n)-\ln\ln(n))+O(1)$$

Теперь найдем асимптотику дисперсии $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}+O(1)=\sum_{p_{2l} \leq n} \frac {1}{p_{2l}(\ln\ln(p_{2l}))^2}-\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})^2}{p_{2l+1}}+O(1)$$

На основании сказанного выше, ряд $\sum_{p_{2l}}^{\infty}\frac {1}{{p_2l}(\ln\ln(p_{2l}))^2}$ -сходится, а

$$\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})^2}{p_{2l+1}}=\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {1}{p_{2l+1}}-\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {2}{(p_{2l+1})^2}+\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {1}{(p_{2l+1})^3}=0.5\ln\ln(n)+O(1)$$

Поэтому асимптотика дисперсии $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}+O(1)=0.5\ln\ln(n)+O(1)$$

Далее найдем асимптотику $k$-ого центрального момента $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(1)=\sum_{p_{2l} \leq n} \frac {1}{p_{2l}(\ln\ln(p_{2l}))^k}+\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(-1)^k(1-1/p_{2l+1})^k}{p_{2l+1}}+O(1)$$

Учитывая, что при $k>1$ ряд $\sum_{p_{2l}}^{\infty}\frac {1}{{p_2l}(\ln\ln(p_{2l}))^k}$ -сходится, при четном значении $k$ асимптотика $k$-ого центрального момента $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(1)=\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})^k}{p_{2l+1}}+O(1)=0.5\ln\ln(n)+O(1)$$

При нечетном значении $k$ асимптотика $k$-ого центрального момента $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна:

$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(1)=-\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})^k}{p_{2l+1}}+O(1)=-0.5\ln\ln(n)+O(1)$$

[vicvolf]

Напомню, что при изучении класса $H$ полезно воспользоваться следующим замечанием.

Пусть $f(m) \in H$ и $q^b$ - последовательность целых положительных степеней простых чисел, такая что: $\sum_b {1/q^b$ - сходится (6).

Определим другую аддитивную функцию $f^{*}(m)$, полагая $f(p^b)=f^{*}(p^a)$ для всех $p^a$, отличных от $q^b$. Для чисел $q^b$ пусть $f^{*}(q^b)$ - пробегает любые значения. Тогда предельные законы: $P_n(\frac {f(m)-A_n}{D_n}<x)$ и $P_n(\frac {f^{*}(m)-A_n}{D_n}<x)$ существуют и совпадают.

В частности в качестве $f^{*}(m)$ можно взять сильно аддитивную арифметическую функцию, связанную с $f(m)$ соотношением $f^{*}(p^a)=f(p)(a=1,2,...)$ для всех простых $p$ при $n \to \infty$.

Рассмотрим примеры действительных аддитивных функций класса $H$.

Арифметическая функция количества делителей числа $m$ с учетом кратности - $f(m)=\Omega(m)$. Данная арифметическая функция при всех простых значениях $p$ совпадает с сильно аддитивной функцией $f^{*}=\omega(m)$, т.е. $\Omega(p)=\omega(p)$. Поэтому совпадают асимптотики среднего значения и дисперсии $E[\Omega,n]=D[\Omega,n] \to \ln\ln(n)+O(1)$.

Учитывая, что арифметическая функция $\Omega(m),m=1,2,...,n$ при $n \to \infty$ стремится к нормальному распределению с аналогичными характеристиками, как сильно аддитивная функцией $\omega(m)$, то совпадают все остальные характеристики арифметических функций. Поэтому асимптотики всех центральных моментов арифметической функции $\Omega(m),m=1,2,...,n$ также равны $\ln\ln(n)+O(1)$.

Другим примером арифметических функций класса $H$ являются теже функции $\Omega(m),m=1,2,...,n$ и $\omega(m)$, которые при конечном числе простых значений $q_1,q_2,..., q_k$ не совпадают, а при остальных простых $\Omega(p)=\omega(p)$.

Данные функции имеют также одинаковое предельное нормальное распределение и поэтому совпадают асимптотики всех моментов - $\ln\ln(n)+O(1)$.

Теперь рассмотрим более широкий класс действительных арифметических функций -V, к которому относятся не только действительные аддитивные арифметические, но любые действительные арифметические функции, которые имеют одинаковое предельное распределение. Таким образом, действительные арифметические функции $f(m)$ и $f^{*}(m)$ принадлежат классу $V$, если совпадают их предельные распреления $P_n(\frac {f(m)-A_n}{D_n}<x)$ и $P_n(\frac {f^{*}(m)-A_n}{D_n}<x)$.

Естественно класс $V$ включает в себя класс $H$ действительных аддитивных арифметических функций.

Приведем примеры класса $V$. Пусть $f(m)$ сильно аддитивная арифметическая $f(m)=0,5\omega(m)$, а $f^{*}(m)=\omega_1(m)$, где $\omega_1(m)$ - количество простых делителей натурального числа $m$ без учета их кратности, принадлежащих последовательности натуральных чисел $4k+1$. В этом случае обе арифметические функции имеют предельным одинаковое нормальное распределение и асимптотику моментов всех порядков - $0,5\ln\ln(n)+O(1)$.

Однако, эти две арифметические функции не равны ни при каких простых значениях $p$, так как $0,5\omega(p)=0,5$, а $\omega_1(p)$ принимает значение 1 или 0. Поэтому не относятся к классу $H$.

Естественно в качестве примеров класса $V$ относятся примеры арифметических функций класса $H$, приведенные выще.

Учитывая сказанное, следующее утверждение, которое мы сформулируем в отношении класса $V$ справедливо и для арифметических функций класса $H$.

[vicvolf]

Утверждение 6

1.Пусть $f^{*}(m)$ сильно аддитивная арифметическая функция и $f(m)$ действительная арифметическая функция, обе принадлежащие классу $V$. Тогда асимптотики моментов $f^{*}(m)$ и $f(m)$ равны и для $f(m)$ выполняются утверждения 1-5, как для $f^{*}(m)$.
2.Пусть $f^{*}(m)$ сильно аддитивная арифметическая функция и $f(m)$ действительная аддитивная арифметическая функция, обе принадлежащие классу $H$, т.е. $f(p^{\alpha})=f^{*}(p)$, кроме $q^b$ - последовательности целых положительных степеней простых чисел, такой что: $\sum_b {1/q^b$ - сходится. Тогда асимптотики моментов $f^{*}(m)$ и $f(m)$ равны и для $f(m)$ выполняются утверждения 1-5, как для $f^{*}(m)$.

Доказательство

На основании определения классов $V$ и $H$ арифметические функции $f^{*}(m)$ и $f(m)$ имеют одинаковое предельное распределение, поэтому у данных арифметических функций совпадают моменты всех порядков.
С другой стороны, так как арифметическая функция $f(m)$ имеет такое же предельное распределение, как сильно аддитивная арифметическая функция $f^{*}(m)$, то для $f(m)$ выполняются утверждения 1-5, как для $f^{*}(m)$.

Примеры на утверждение 6 приведены выше.

[vicvolf]

До сих пор мы рассматривали сильно аддитивные арифметические функции $f(m),m=1,...,n$, имеющие предельным нормальное распределение при $n \to \infty$, для которых выполнялось условие $|f(p)| \leq 1$. Сейчас мы рассмотрим более общее требование к сильно аддитивным арифметическим функциям, чтобы они имели предельным нормальное распределение. Это некоторый аналог условия Линдеберга ЦПТ.

Теорема 4.2 (Кубилюс).

Пусть $f(m)$ сильно аддитивная арифметическая функция, а $A(n)$ ее среднее значение.
Если дисперсия $D(n)=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p} \to \infty, n \to \infty$ и для всякого фиксированного $\epsilon > 0$ выполняется:

$$\frac {1}{D(n)} \sum_{p \leq n, |f(p)|>\epsilon \sqrt{D(n)}} \frac {f^2(p)}{p} \to 0, n \to \infty,$$

то распределение: $P_n\{\frac{f(m)-A(n)}{\sqrt{D(n)}}<x\}$ является нормальным при $ n \to \infty$.

Следствие

Если для сильно аддитивной арифметической функции $f(m)$, для которой $D(n) \to \infty$ и $\max_{p \leq n} |f(p)|=o(\sqrt{D(n)})$ при $n \to \infty$, то выполняются условия теоремы 4.2.


Рассмотрим пример на выполнение указанной теоремы для сильно аддитивной арифметической функции $f(m)$, в случае $|f(p)|>1$.

Пусть $f(p)=\sqrt {\ln\ln{p}}$. Тогда, используя результаты темы "Асимптотика сумматорных функций простого аргумента" получим:

$$D(n)=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}=\sum_{p \leq n}\frac {\ln\ln(p)}{p} \sim \sum_{k \leq n} \frac {\ln\ln(k)}{k\ln(k)} \sim 0,5(\ln\ln(n))^2.$$

Так как $D(n) \to \infty$ и $\max_{p \leq n} |f(p)|=\sqrt {\ln\ln{n}}=o(\ln\ln(n))$, то в данном примере выполняются условия следствия и соответственно теоремы 4.2.

[vicvolf]

Я уже здесь говорил, что любую сильно аддитивную арифметическую функцию можно представить, как сумму случайных величин.

vicvolf в сообщении #1482685 писал(а):

Для каждого простого $p$ и натурального $a$ у сильно аддитивной функции $f(m)$ выполняется: $f(p^a)=f(p)$.
Поэтому для каждого простого $p(p \leq n)$ введем случайную величину $f^{(p)}(m)=f(p),p|m$ и $f^{(p)}(m)=0$ в противном случае.
Каждая случайная величина $f^{(p)}(m)$ принимает только два значения:$f^{(p)}(m)=f(p)$ с вероятностью $\frac {1}{n}[\frac {n}{p}]$ и $f^{(p)}(m)=0$ с вероятностью $1-\frac {1}{n}[\frac {n}{p}]$.
На основании сильной аддитивности: $f(m)=\sum_{p \leq n} {f^{(p)}(m)}$.

Возникает вопрос, в каком случае эти случайные величины будут асимптотически независимы? Это выполняется для так называемых Кубилюсом "урезанных" арифметических функций $f(m)_r$.

Пусть функция $r=r(n)$ растет медленнее любой положительной степени $n$ при $n \to \infty$. Обозначим среднее значение и дисперсию для $r=r(n)$ соответственно: $A(r),D(r)$.

Тогда доказано, что для вещественной аддитивной арифметической функции $f(m)$ со средним значением и дисперсией соответственно $A(n),D(n)$ при условии $D(n) \to \infty, n \to \infty$ существует такая неограниченно возрастающая $r(n)$, что $\ln r(n)/\ln n \to 0$, $D(r)/D(n) \to 1$ и предельные законы распределения:

$$P_n\{\frac{f(m)_r-A(r)}{D(r)}<x\},P_n\{\frac{f(m)-A(n)}{D(n)}<x\}$$

существуют только одновременно и в этом случае совпадают, т.е. $f(m)$ относится к классу $H$.

Кубилюс доказал, что для сильно аддитивных арифметических функций это выполняется, когда $\ln {D(n)}=o(\ln\ln(n))$, т.е. существуют сильно аддитивные функции, для которых это не выполняется. Приведем пример.

Я ранее показывал, что любую сильно аддитивную арифметическую функцию можно представить в виде: $f(m)=\sum_{p|m} f(p)$.

Рассмотрим сильно аддитивную арифметическую функцию $f(m)=\sum_{p|m} \ln(p)$, т.е. $f(p)=\ln(p)$.

Используя результаты темы "Асимптотика сумматорных функций простого аргумента" получим асимптотику дисперсии данной функции:

$$D(n)=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}+O(1)=\sum_{p \leq n} \frac {\ln^2(p)}{p}+O(1) \sim \sum_{p \leq n} \frac {\ln(k)}{k} \sim 0,5 \ln^2(n).$$

Поэтому: $\ln D(n) \sim 2\ln\ln(n)$, не выполняется условие: $\ln {D(n)}=o(\ln\ln(n))$ и данная сильно аддитивная арифметическая функция не принадлежит классу $H$.

Кстати для примера из предыдущего сообщения: $f(p)=\sqrt {\ln\ln(n)}$ получим $\ln D(n) \sim 2\ln\ln\ln(n)$, поэтому выполняется условие $\ln {D(n)}=o(\ln\ln(n))$ и данная сильно аддитивная арифметическая функция принадлежит к классу $H$.

-- 19.01.2021, 19:17 --

vicvolf в сообщении #1486588 писал(а):

alisa-lebovski в сообщении #1486570 писал(а):

Как насчет Буфетова Алексея Игоревича - http://www.mathnet.ru/php/person.phtml? ... onid=52109

Очень бы хотелось бы пообщаться с таким знающим человеком. Но вряд ли он обратит внимание на незнакомца. Может Вы или кто-то форуме знает его?

Я написал тогда Буфетову. Прошло три месяцы, но ответа нет!