2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12  След.
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение07.11.2020, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
vicvolf в сообщении #1491032 писал(а):
ведь теорема Штольца допускает случай, когда предел последовательности $x(n)$ равен бесконечности.
Да, но в отличие от конечных пределов, которые просто совпадают, здесь могут получаться две разные бесконечности (разные асимптотики ухода на бесконечность), и деление одной на другую не дает единицу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение07.11.2020, 12:46 


23/02/12
3112
alisa-lebovski в сообщении #1491035 писал(а):
Да, но в отличие от конечных пределов, которые просто совпадают, здесь могут получаться две разные бесконечности (разные асимптотики ухода на бесконечность), и деление одной на другую не дает единицу.
На основании теоремы Штольца справедиво $\lim_{n \to \infty} \frac{x(n)}{y(n)}=\lim_{n \to \infty} \frac{x(n)-x(n-1))}{y(n)-y(n-1)}$ (1), если существует предел справа (конечный или бесконечный).
Возьмем в качестве $y(n)=n, x(n)=\sum_{i=1}^n x(i)$.
Тогда на основании (1) справедливо $E[x,n]=\lim_{n \to \infty} {\frac {\sum_{i=1}^n x(i)}{n}}=\lim_{n \to \infty} {x(n)}$ (2), если существует предел справа (конечный или бесконечный).
В (2), если $\lim_{n \to \infty} {x(n)}$ не равен нулю, то разделим на него и получим: $\frac {\lim_{n \to \infty}E[x,n]}{\lim_{n \to \infty} x(n)}=\lim_{n \to \infty} \frac {E[x,n]}{x(n)}=1$. (3)
Из определения эквивалентности на основании (3) получаем $E[x,n] \sim  x(n)$. Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение07.11.2020, 13:07 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
vicvolf в сообщении #1491047 писал(а):
если $\lim_{n \to \infty} {x(n)}$ не равен нулю, то разделим на него
А Вы умеете делить на бесконечность? Я вот не умею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение07.11.2020, 14:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
vicvolf в сообщении #1491047 писал(а):
$\lim_{n \to \infty} {\frac {\sum_{i=1}^n x(i)}{n}}=\lim_{n \to \infty} {x(n)}$, если существует предел справа (конечный или бесконечный).

Здесь знак "равно" имеет разный смысл в зависимости от того, конечный предел или бесконечный. Если конечный, то просто равенство чисел, если бесконечный, то и то, и другое в пределе бесконечность, но не обязательно с одинаковой асимптотикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение07.11.2020, 16:14 


23/02/12
3112
nnosipov alisa-lebovski Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение20.11.2020, 11:07 


23/02/12
3112
Выше мы рассмотрели сильно-аддитивные арифметические функции $f(m),m=1,...,n$, которые удовлетворяют условиям (12) и (13).

Данным условиям удовлетворяет только сильно аддитивные арифметические функции, которые при всех простых числах $p$ принимают либо значение $f(p)=0$ , либо значение $f(p)=1$ и отличается от этих значений только на множестве меры 0.

Сейчас мы значительно расширим класс рассматриваемых сильно аддитивных арифметических функций $f(m),m=1,...,n$, для которых укажем метод нахождения асимптотик центральных моментов более высоких порядков.

Для начала мы рассмотрим сильно аддитивные арифметические функции $f(m),m=1,...,n$, которые удовлетворяют условиям, что для всех простых значений $p$ выполняется $0 \leq f(p) \leq 1$ и среднее значение арифметической функции $A_n \to \infty,n \to \infty$.

Как мы уже говорили выше, что при выполнении данных условий сильно аддитивная арифметическая функция $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ имеет предельным нормальное распределение. С другой стороны, в данном случае, дисперсия $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна среднему значению, т.е $A_n=D_n$.

Ранее мы получили, что для среднего значения сильно аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$:

$E[f,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$. (17)

Поэтому в этом случае для дисперсии $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ также выполняется:

$D[f,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$. (18)

Теперь докажем следующее утверждение.

Утверждение 1

Пусть для сильно-аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,...,n$ для всех простых значений $p$ выполняется $0 \leq f(p) \leq 1$ и среднее значение $A_n \to \infty,n \to \infty$. Тогда асимптотики всех центральных моментов более высоких порядков для сильно-аддитивной арифметической функции $f(m),m=1,...,n$ равны:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)$. (19)

Доказательство

Пусть случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=1$ с вероятностью $P(X_p=1)=\frac {f(p)}{p}$ и $X_p=0$ с вероятностью $P(X_p=0)=1-\frac {f(p)}{p}$. Обратим внимание, что $0 \leq \frac {f(p)}{p}<1$.

Тогда среднее значение и дисперсия $X_p$ соответственно равны: $E[X_p]=\frac {f(p)}{p},D[X_p]=\frac {f(p)}{p}-\frac {f^2(p)}{p^2}$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимы. Тогда среднее значение и дисперсия $S_n$ соответственно равны: $E[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p},D[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}-\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p^2}$.

На основании Центральной предельной теоремы случайная величина $S_n$ имеет предельным нормальное распределение.

Учитывая, что $0 \leq f(p) \leq 1$, то ряд $\sum_{p=2}^{\infty} \frac {f^2(p)}{p^2} \leq \sum_{p=2}^{\infty} \frac {1}{p^2}$ - сходится. Поэтому $D[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)$.

Следовательно, при $n \to \infty$ получаем $A_n \to E[S,n],D_n \to D[S,n]$, поэтому совпадают предельные нормальные распределения сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$.

Отсюда вытекает, что совпадают все остальные вероятностные характеристики (в том числе центральные моменты более высоких порядков) сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$. Поэтому для нахождения центральных моментов более высоких порядков для сильно аддитивной арифметической функции $f(m), m=1,...,n$ достаточно найти центральные моменты для случайной величины $S_n$, чем мы и займемся.

Сначала определим центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $X_p$:

$E[(X_p- \frac {f(p)}{p})^k]=E[{X_p}^k]-\frac {kf(p)}{p}E[{X_p}^{k-1}]+...+(-1)^k \frac {f^k(p)}{p^k}=$$\frac {f(p)}{p}-\frac {kf^2(p)}{p^2}+...+(-1)^k\frac {f^k(p)}{p^k}=\frac {f(p)}{p}+O(\frac {f^2(p)}{p^2})$.

Поэтому центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $S_n$ и соответственно $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равны:

$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(\sum_{p \leq n}\frac {f^2(p)}{p^2})=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)$,

что соответствует (19).

Анализ асимптотики (19) приведен в [ сообщении #1492774"]

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение26.11.2020, 16:37 


23/02/12
3112
Теперь мы рассмотрим сильно аддитивные арифметические функции $g(m),m=1,...,n$, которые удовлетворяют условиям, что для всех простых значений $p$ выполняется $-1 \leq g(p) < 0$ и дисперсия арифметической функции $D_n \to \infty,n \to \infty$.

Напомним, что при выполнении условий: $|g(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty,n \to \infty$ сильно аддитивная арифметическая функция $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ имеет предельным нормальное распределение.

Нам известно (17), что для среднего значения любой сильно аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ выполняется:

$A_n \sim \sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}$.

Учитывая, что $-1 \leq g(p) < 0$, в данном случае значение $A_n <0$.

Теперь определим дисперсию $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$.

Для $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$, если $0 < f(p) \leq 1$ выполняется:

$D_n \sim \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$.

Так как $g(p)=-f(p)$, то дисперсия $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ на основании свойств дисперсии:

$D_n[g] \sim -\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}$. (20)


Теперь докажем следующее утверждение.

Утверждение 2

Пусть для сильно-аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ для всех простых значений $p$ выполняется $-1 \leq g(p) < 0$ и дисперсия $D_n[g] \to \infty,n \to \infty$. Тогда асимптотики всех нечетных центральных моментов для сильно-аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ равны:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}+O(1)$, (21)

а асимптотики всех четных центральных моментов для сильно-аддитивной арифметической функции $g(m),m=1,...,n$ равны:

$\sum_{p \leq n} -\frac {g(p)}{p}+O(1)$. (22)

Доказательство

Пусть случайная величина $X_p$ принимает два значения: $X_p=-1$ с вероятностью $P(X_p=-1)=\frac {|g(p)|}{p}$ и $X_p=0$ с вероятностью $P(X_p=0)=1-\frac {|g(p)|}{p}$.

Тогда среднее значение и дисперсия $X_p$ соответственно равны: $E[X_p]=\frac {g(p)}{p},D[X_p]=\frac {|g(p)|}{p}-\frac {g^2(p)}{p^2}=-\frac {g(p)}{p}-\frac {g^2(p)}{p^2}$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимы. Тогда среднее значение и дисперсия $S_n$ соответственно равны: $E[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p},D[S,n]=-\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}-\sum_{p \leq n} \frac {g^2(p)}{p^2}$.

На основании Центральной предельной теоремы случайная величина $S_n$ имеет предельным нормальное распределение.

Учитывая, что $|g(p)| \leq 1$, то ряд $\sum_{p=2}^{\infty} \frac {g^2(p)}{p^2} \leq \sum_{p=2}^{\infty} \frac {1}{p^2}$ - сходится. Поэтому $D[S,n]=-\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}+O(1)$.

Следовательно, при $n \to \infty$ получаем $A_n \to E[S,n],D_n \to D[S,n]$, поэтому совпадают предельные нормальные распределения сильно аддитивной арифметической функции $g(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$.

Отсюда вытекает, что совпадают все остальные вероятностные характеристики (в том числе центральные моменты более высоких порядков) сильно аддитивной арифметической функции $g(m), m=1,...,n$ и случайной величины $S_n$. Поэтому для нахождения центральных моментов более высоких порядков для сильно аддитивной арифметической функции $g(m), m=1,...,n$ достаточно найти центральные моменты для случайной величины $S_n$, чем мы и займемся.

Сначала определим центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $X_p$:

$E[(X_p- \frac {g(p)}{p})^k]=E[{X_p}^k]-\frac {kg(p)}{p}E[{X_p}^{k-1}]+...+(-1)^k \frac {g^k(p)}{p^k}=$$(-1)^k\frac {|g(p)|}{p}-(-1)^{k-1}\frac {kg(p)|g(p)|}{p^2}+...+(-1)^k\frac {|g^k(p)|}{p^k}=(-1)^k\frac {|g(p)|}{p}+O(\frac {g^2(p)}{p^2})$.

Поэтому центральные моменты $k$-ого порядка для случайной величины $S_n$ и соответственно $g(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равны:

$\sum_{p \leq n}(-1)^k \frac {|g(p)|}{p}+O(\sum_{p \leq n}\frac {g^2(p)}{p^2})=(-1)^k\sum_{p \leq n} \frac {|g(p)|}{p}+O(1)$.

При нечетном $k$, так как $g(p)<0$, то получим: $\sum_{p \leq n}\frac {g(p)}{p}+O(1)$, что соответствует (21).

При четном $k$, так как $g(p)<0$, то получим: $-\sum_{p \leq n}\frac {g(p)}{p}+O(1)$, что соответствует (22).


На основании материалов темы об асимптотике сумм функций простых чисел приведем анализ асимптотики выражения $\sum_{p \leq n}\frac {g(p)}{p}$ при условии, что $-1 \leq g(p) <0$.


1. Если $g(p)=C$, где $-1 \leq C < 0$, то асимптотика суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \sim C\ln\ln(n)$.

2. Если $g(p)$ монотонно убывает и $\lim_{p \to \infty} {g(p)}=C$, то асимптотика суммы:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \sim C\ln\ln(n)$.

3. Если $g(p)$ монотонно возрастает, как $\frac {C}{\ln\ln(p)}$ или медленнее, то асимптотика суммы равна:

$\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \sim C\ln\ln\ln(n)$

или убывает медленнее.

4. Если $g(p)$ монотонно возрастает, как $\frac {C}{\ln(p)}$ или быстрее, то ряд:

$\sum_{p=p_0}^{\infty} \frac {g(p)}{p} (p_o \geq 2)$ - сходится.

Поэтому условиям $|g(p)| \leq 1$ и $D_n[g]=-\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p} \to \infty,n \to \infty$ удовлетворяют случаи 1-3.


alisa-lebovski в сообщении #1485376 писал(а):
Ваши новые посты сложноваты для проверки, но вполне возможно, по сути верны. Хотя, возможно, требуют более строгих доказательств.

Мне кажется, что последние сообщения не являются сложными с точки зрения теории вероятностей и утверждения доказаны строго. Здесь главное идея метода оценки моментов арифметических функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение05.12.2020, 19:37 


23/02/12
3112
Теперь рассмотрим случай, когда функция $f(p)$ меняет знак и докажем следующее утверждение.

Утверждение 3

Пусть $f(m),m=1,...,n$ - сильно аддитивная арифметическая функция и $|f(p)| \leq 1$. При этом при $n \to \infty$ среднее значение $A_n \to 0$, а дисперсия $D_n \sim \sum_{p \leq n}\frac {|f(p)|} {p}$ и стремится к бесконечности. Тогда для $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$ асимптотика всех нечетных центральных моментов более высоких порядков равна 0, а четных моментов равна $O(1)$.

Доказательство

Введем случайную величину $X_p$, принимающую два значения. $X_p=\sqrt {\frac {|f(p)|}{p}}$ с вероятностью равной $1/2$ и $X_p=-\sqrt {\frac {|f(p)|}{p}}$ с вероятностью равной $1/2$.
Тогда среднее значение $X_p$ равно $E[X_p]=1/2\sqrt {\frac {|f(p)|}{p}}-1/2\sqrt {\frac {|f(p)|}{p}}=0$, а дисперсия $X_p$ равна $D[X_p]=1/2 \frac {|f(p)|}{p}+1/2\frac {|f(p)|}{p}=\frac {|f(p)|}{p}$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимые случайные величины.

Тогда среднее значение $S_n$ равно $E[S,n]=0$, а дисперсия $S_n$ равна $D[S,n] \sim \sum_{p \leq n}\frac {|f(p)|} {p}$.

Обратим внимание, что арифметическая функция $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$ имеет среднее значение $A_n \to 0$ и дисперсию $D_n \sim \sum_{p \leq n}\frac {|f(p)|} {p}$, т.е. совпадающие с соответствующими значениями для случайной величины $S_n$.

Так как по условию для $f(m),m=1,...,n$ значение $|f(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty, n \to \infty$, то на основании сказанного выше предельным для $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ является нормальное распределение.

С другой стороны, на основании ЦПТ для последовательности случайных величин: $S_1,S_2,...$ предельным при $n \to \infty$ является нормальное распределение с аналогичным средним значением и дисперсией, как у $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$, т.е. совпадают предельные распределения, поэтому совпадают все центральные моменты более высоких порядков.

Определим указанные центральные моменты. Сначала для случайной величины $X_p$:

$E[(X_p)^k]=1/2\left(\frac{|f(p)|}{p}\right)^{k/2}+1/2\left(-\frac{|f(p)|}{p}\right)^{k/2}$.

Если $k$ - нечетно, то:

$E[(X_p)^k]=1/2\left(\sqrt {\frac{|f(p)|}{p}}\right)^{k}-1/2\left(\sqrt{\frac{|f(p)|}{p}}\right)^{k}=0$.

Если $k$ - четно, то:

$E[(X_p)^k]=1/2\left(\sqrt {\frac{|f(p)|}{p}}\right)^{k}+1/2\left(\sqrt{\frac{|f(p)|}{p}}\right)^{k}=(\frac {|f(p)|}{p})^{k/2}$.

Теперь определим центральные моменты для $S_n$.

Если $k$ нечетно:

$E[(S_n)^k]=\sum_{p \leq n} E[(X_p)^k]=0$.

Если $k$ четно:

1. При $k=2$ значение $E[(S_n)^2]=\sum_{p \leq n} {\frac {|f(p)|}{p}}$.

2. При $k>2$ значение $E[(S_n)^k]=O(1)$, так как $|f(p)| \leq 1$ и ряд $\sum_{p=2}^{\infty} \left(\frac {|f(p)|}{p}\right)^{k/2} \leq \sum_{p=2}^{\infty} \frac{1}{p^{k/2}}$ - сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.12.2020, 19:13 


23/02/12
3112
Обобщим утверждение 3 на случай общего значения дисперсии для сильно аддитивной арифметической функции, стремящейся к бесконечности.

Утверждение 4

Пусть $f(m),m=1,...,n$ - сильно аддитивная арифметическая функция и $|f(p)| \leq 1$. При этом при $n \to \infty$ среднее значение $A_n \to 0$, а дисперсия $D_n  \to \infty$. Тогда для $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$ асимптотика всех нечетных центральных моментов более высоких порядков равна 0, а четных моментов (кроме дисперсии) равна $O(1)$.

Доказательство

На основании Кубилюса "Вероятностные методы в теории чисел" для дисперсии сильно аддитивной арифметической функции, в общем случае, выполняется: $D_n \to \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$.

Введем случайную величину $X_p$, принимающую два значения: $X_p=\frac {f(p)}{\sqrt {p}}$ с вероятностью равной $1/2$ и $X_p=-\frac {f(p)}{\sqrt {p }}$ с вероятностью равной $1/2$.
Тогда среднее значение $X_p$ равно $E[X_p]=0$, а дисперсия $X_p$ равна $D[X_p]=1/2 \frac {f^2(p)}{p}}+1/2\frac {f^2(p)}{p}}=\frac {f^2(p)}{p}$.

Построим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимые случайные величины.

Тогда среднее значение $S_n$ равно $E[S,n]=0$, а дисперсия $S_n$ равна $D[S,n] \sim \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)} {p}$.

Обратим внимание, что арифметическая функция $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$ имеет среднее значение $A_n \to 0$ и дисперсию $D_n \sim \sum_{p \leq n}\frac {f^2(p)} {p}$, т.е. совпадающие с соответствующими значениями для случайной величины $S_n$.

Так как по условию для $f(m),m=1,...,n$ значение $|f(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty, n \to \infty$, то на основании сказанного выше предельным для $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ является нормальное распределение.

С другой стороны, на основании ЦПТ для последовательности случайных величин: $S_1,S_2,...$ предельным при $n \to \infty$ является нормальное распределение с аналогичным средним значением и дисперсией, как у $f(m),m=1,...,n, n \to \infty$, т.е. совпадают предельные распределения, поэтому совпадают все центральные моменты более высоких порядков.

Определим указанные центральные моменты. Сначала для случайной величины $X_p$:

$E[(X_p)^k]=1/2\left(\frac{f(p}{\sqrt{p}}\right)^{k}+1/2\left(-\frac{f(p)}{\sqrt{p}}\right)^{k}$.

Если $k$ - нечетно, то:

$E[(X_p)^k]=0$.

Если $k$ - четно, то:

$E[(X_p)^k]=(\frac {f(p)}{\sqrt{p}})^{k}$.

Теперь определим центральные моменты для $S_n$.

Если $k$ нечетно:

$E[(S_n)^k]=\sum_{p \leq n} E[(X_p)^k]=0$.

Если $k$ четно:

1. При $k=2$ значение $E[(S_n)^2]=\sum_{p \leq n} {\frac {f^2(p)}{p}}$.

2. При $k>2$ значение $E[(S_n)^k]=O(1)$, так как $|f(p)| \leq 1$ и ряд $\sum_{p=2}^{\infty} \frac {f^{k}(p)}{p^{k/2}} \leq \sum_{p=2}^{\infty} \frac{1}{p^{k/2}}$ - сходится.

Теперь рассмотрим пример на использование утверждения 4.

Пусть для сильно аддитивной арифметической функции для простых чисел с четными номерами выполняется: $f(p_{2k})=1-1/p_{2k}$, а для простых чисел с нечетными номерами: $f(p_{2k+1})=-(1-1/p_{2k+1})$.

$A_n \to \sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}=\sum_{p_{2k} \leq n} \frac {1-1/p_{2k}}{p_{2k}}-\sum_{p_{2k+1} \leq n} \frac {1-1/p_{2k+1}}{p_{2k+1}}=0$.

$D_n \to \sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}=\sum_{p_{2k} \leq n} \frac {(1-1/p_{2k})^2}{p_{2k}}+\sum_{p_{2k+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2k+1})^2}{p_{2k+1}}=$$\sum_{p_{2k} \leq n} \frac {1}{p_{2k}}+\sum_{p_{2k+1} \leq n} \frac {1}{p_{2k+1}}+O(1)=\ln\ln(n)+O(1)$

Таким образом, при $n \to \infty, D_n \to \infty$ и выполняются все условия утверждения 4, поэтому все нечетные моменты равны $0$, а четные (кроме дисперсии) равны $O(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение30.12.2020, 18:23 


23/02/12
3112
Следующее утверждение не будет требовать условий, чтобы $A_n \to \infty$ и $f(p)$ может менять знак, оставаясь в пределах $|f(p)| \leq 1$.

Утверждение 5
Пусть $f(m)$ сильно аддитивная арифметическая функция и $|f(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty$ при $n \to \infty$.
Тогда:
1. Всегда можно построить случвйную величину, имеющую нормальное распределение, среднее значение и дисперсию равную асимптотике среднего значения и дисперсии $f(m)$.
2. Асимптотика центрального момента $k$ -ого порядка $f(m)$ равна:
$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(1)$.

Доказательство
На основании Кубилюса асимптотика среднего значения и дисперсии данной $f(m)$ при $n \to \infty$ соответственно равны асимптотики: $\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$ и $\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}$.
Построим случайную величину $X_p$, принимающую два значения: $X_p=f(p)$ с вероятностью $1/p$ и $X_p=0$ с вероятностью $1-1/p$. Тогда среднее значение $X_p$ будет равно $E[X_p]=\frac {f(p)}{p}$, а дисперсия $X_p$ будет равна $D[X_p]= \frac {f^2(p)}{p}}$.
Рассмотрим случайную величину $S_n=\sum_{p \leq n} X_p$, где $X_p$ - независимые случайные величины.
Тогда среднее значение $S_n$ равно $E[S,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}$, а дисперсия $S_n$ равна $D[S,n] =\sum_{p \leq n} \frac{f^2 (p)} {p}$, что соответствует асимптотике среднего значения и дисперсии данной $f(m)$.
На основании ЦПТ случайная величина $S_n$ имеет нормальное распределение. Таким образом, мы доказали первую часть утверждения.

Обратим внимание, что если $|f(p)| \leq 1$ и $D_n \to \infty$ при $n \to \infty$, то арифметическая функция $f(m)$ также имеет предельным нормальное распределение с аналогичными асимптотиками среднего значения и дисперсии. Следовательно совпадают предельные распределения $S_n$ и $f(m)$ при $n \to \infty$, а следовательно совпадают все центральные моменты $k$ -ого порядка, к вычислению которых мы перейдем.

Сначала определим центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$:

$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=E[X_p]^k - kE[X_p^{k-1}\frac{f (p)} {p}] + \frac{k(k-1)}{2}E[X_p^{k-2}\frac{f ^2(p)} {p}]-...+(-1)^k\frac{f^k (p)} {p}=\frac{f^k (p)} {p}-k\frac{f^{k-1}(p)}{p}\frac{f (p)} {p} +\frac{k(k-1)}{2}\frac{f^{k-2}(p)}{p}\frac{f^2 (p)} {p^2}+...(-1)^k\frac{f^k (p)} {p}$

Таким образом, центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$ равен:

$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=\frac{f^k (p)} {p}+O(\frac{f^k (p)} {p^2})$.

Учитывая, что $|f(p)| \leq 1$ получаем,что центральный момент $k$ -ого порядка для $S_n$:

$E[S^k,n]=\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(1)$.

Следовательно, мы доказали вторую часть утверждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение02.01.2021, 17:37 


23/02/12
3112
Исправлю описку.

Сначала определим центральный момент $k$ -ого порядка для $X_p$:
$E[(X_p-\frac{f (p)} {p})^k]=E[X_p]^k - kE[X_p^{k-1}\frac{f (p)} {p}] + \frac{k(k-1)}{2}E[X_p^{k-2}\frac{f ^2(p)} {p}]-...+(-1)^k\frac{f^k (p)} {p}=\frac{f^k (p)} {p}-k\frac{f^{k-1}(p)}{p}\frac{f (p)} {p} +\frac{k(k-1)}{2}\frac{f^{k-2}(p)}{p}\frac{f^2 (p)} {p^2}+...(-1)^k\frac{f^k (p)} {p^k}$

Хочу обратить внимание, что если в утверждении 5 значение $|f(p)| \leq 1$, то выполняется $|f^k(p)| \leq 1$, поэтому исследование суммы вида $\sum_{p \leq n} \frac {g(p)}{p}$, если $|g(p)| \leq 1$, может быть использовано и в этом случае.

Рассмотрим пример. Пусть $f(m),m=1,...,n$ сильно аддитивная арифметическая функция, которая для простых чисел с четными номерами $p_{2l}$ принимает значение $f(p_{2l})=1/\ln\ln(p_{2l})$, а для простых чисел с нечетными номерами $p_{2l+1}$ принимает значение $f(p_{2l+1})=-(1-1/p_{2l+1})$. Требуется найти асимптотику моментов всех порядков для $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$.

Сначала найдем асимптотику среднего значения $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$:
$$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)=\sum_{p_{2l} \leq n} \frac {1}{\ln\ln(p_{2l})}-\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})}{p_{2l+1}}+O(1)$$

Для определения $\sum_{p_{2l} \leq n} \frac {1}{\ln\ln(p_{2l})}$ воспользуемся формулой темы topic140635.html :
$$\sum_{p \leq n} {g(p)}=\int_2^n {\frac {g(t)dt}{\ln(t)}}+O(|g(n)|n^{1/2}\ln(n))+O(\int_2^n {|g(t)|t^{1/2}\ln(t)dt}).$$
На основании этой формулы получим:
$$\sum_{p_{2l} \leq n} \frac {1}{\ln\ln(p_{2l})}=0,5\int_{11}^n {\frac {dt}{\ln(t)t\ln\ln(t)}}+O(\frac {\ln(n)n^{1/2}}{n\ln\ln(n)})=0,5\ln\ln\ln(n)+O(1)$$
Теперь определим:
$$\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})}{p_{2l+1}}=\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {1}{p_{2l+1}}-\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {1}{p^2_{2l+1}}=0,5\ln\ln(n)+O(1).$$
Поэтому асимптотика среднего значения $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна:
$$\sum_{p \leq n} \frac {f(p)}{p}+O(1)=0,5(\ln\ln\ln(n)-\ln\ln(n))+O(1)$$
Теперь найдем асимптотику дисперсии $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$:
$$\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}+O(1)=\sum_{p_{2l} \leq n} \frac {1}{p_{2l}(\ln\ln(p_{2l}))^2}-\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})^2}{p_{2l+1}}+O(1)$$
На основании сказанного выше, ряд $\sum_{p_{2l}}^{\infty}\frac {1}{{p_2l}(\ln\ln(p_{2l}))^2}$ -сходится, а
$$\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})^2}{p_{2l+1}}=\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {1}{p_{2l+1}}-\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {2}{(p_{2l+1})^2}+\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {1}{(p_{2l+1})^3}=0.5\ln\ln(n)+O(1)$$
Поэтому асимптотика дисперсии $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна:
$$\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}+O(1)=0.5\ln\ln(n)+O(1)$$

Далее найдем асимптотику $k$-ого центрального момента $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$:
$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(1)=\sum_{p_{2l} \leq n} \frac {1}{p_{2l}(\ln\ln(p_{2l}))^k}+\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(-1)^k(1-1/p_{2l+1})^k}{p_{2l+1}}+O(1)$$

Учитывая, что при $k>1$ ряд $\sum_{p_{2l}}^{\infty}\frac {1}{{p_2l}(\ln\ln(p_{2l}))^k}$ -сходится, при четном значении $k$ асимптотика $k$-ого центрального момента $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна:
$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(1)=\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})^k}{p_{2l+1}}+O(1)=0.5\ln\ln(n)+O(1)$$

При нечетном значении $k$ асимптотика $k$-ого центрального момента $f(m),m=1,...,n$ при $n \to \infty$ равна:
$$\sum_{p \leq n} \frac {f^k(p)}{p}+O(1)=-\sum_{p_{2l+1} \leq n} \frac {(1-1/p_{2l+1})^k}{p_{2l+1}}+O(1)=-0.5\ln\ln(n)+O(1)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение04.01.2021, 22:30 


23/02/12
3112
Напомню, что при изучении класса $H$ полезно воспользоваться следующим замечанием.

Пусть $f(m) \in H$ и $q^b$ - последовательность целых положительных степеней простых чисел, такая что: $\sum_b {1/q^b$ - сходится (6).

Определим другую аддитивную функцию $f^{*}(m)$, полагая $f(p^b)=f^{*}(p^a)$ для всех $p^a$, отличных от $q^b$. Для чисел $q^b$ пусть $f^{*}(q^b)$ - пробегает любые значения. Тогда предельные законы: $P_n(\frac {f(m)-A_n}{D_n}<x)$ и $P_n(\frac {f^{*}(m)-A_n}{D_n}<x)$ существуют и совпадают.

В частности в качестве $f^{*}(m)$ можно взять сильно аддитивную арифметическую функцию, связанную с $f(m)$ соотношением $f^{*}(p^a)=f(p)(a=1,2,...)$ для всех простых $p$ при $n \to \infty$.

Рассмотрим примеры действительных аддитивных функций класса $H$.

Арифметическая функция количества делителей числа $m$ с учетом кратности - $f(m)=\Omega(m)$. Данная арифметическая функция при всех простых значениях $p$ совпадает с сильно аддитивной функцией $f^{*}=\omega(m)$, т.е. $\Omega(p)=\omega(p)$. Поэтому совпадают асимптотики среднего значения и дисперсии $E[\Omega,n]=D[\Omega,n] \to \ln\ln(n)+O(1)$.

Учитывая, что арифметическая функция $\Omega(m),m=1,2,...,n$ при $n \to \infty$ стремится к нормальному распределению с аналогичными характеристиками, как сильно аддитивная функцией $\omega(m)$, то совпадают все остальные характеристики арифметических функций. Поэтому асимптотики всех центральных моментов арифметической функции $\Omega(m),m=1,2,...,n$ также равны $\ln\ln(n)+O(1)$.

Другим примером арифметических функций класса $H$ являются теже функции $\Omega(m),m=1,2,...,n$ и $\omega(m)$, которые при конечном числе простых значений $q_1,q_2,..., q_k$ не совпадают, а при остальных простых $\Omega(p)=\omega(p)$.

Данные функции имеют также одинаковое предельное нормальное распределение и поэтому совпадают асимптотики всех моментов - $\ln\ln(n)+O(1)$.

Теперь рассмотрим более широкий класс действительных арифметических функций -V, к которому относятся не только действительные аддитивные арифметические, но любые действительные арифметические функции, которые имеют одинаковое предельное распределение. Таким образом, действительные арифметические функции $f(m)$ и $f^{*}(m)$ принадлежат классу $V$, если совпадают их предельные распреления $P_n(\frac {f(m)-A_n}{D_n}<x)$ и $P_n(\frac {f^{*}(m)-A_n}{D_n}<x)$.

Естественно класс $V$ включает в себя класс $H$ действительных аддитивных арифметических функций.

Приведем примеры класса $V$. Пусть $f(m)$ сильно аддитивная арифметическая $f(m)=0,5\omega(m)$, а $f^{*}(m)=\omega_1(m)$, где $\omega_1(m)$ - количество простых делителей натурального числа $m$ без учета их кратности, принадлежащих последовательности натуральных чисел $4k+1$. В этом случае обе арифметические функции имеют предельным одинаковое нормальное распределение и асимптотику моментов всех порядков - $0,5\ln\ln(n)+O(1)$.

Однако, эти две арифметические функции не равны ни при каких простых значениях $p$, так как $0,5\omega(p)=0,5$, а $\omega_1(p)$ принимает значение 1 или 0. Поэтому не относятся к классу $H$.

Естественно в качестве примеров класса $V$ относятся примеры арифметических функций класса $H$, приведенные выще.

Учитывая сказанное, следующее утверждение, которое мы сформулируем в отношении класса $V$ справедливо и для арифметических функций класса $H$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение10.01.2021, 16:09 


23/02/12
3112
Утверждение 6

1.Пусть $f^{*}(m)$ сильно аддитивная арифметическая функция и $f(m)$ действительная арифметическая функция, обе принадлежащие классу $V$. Тогда асимптотики моментов $f^{*}(m)$ и $f(m)$ равны и для $f(m)$ выполняются утверждения 1-5, как для $f^{*}(m)$.
2.Пусть $f^{*}(m)$ сильно аддитивная арифметическая функция и $f(m)$ действительная аддитивная арифметическая функция, обе принадлежащие классу $H$, т.е. $f(p^{\alpha})=f^{*}(p)$, кроме $q^b$ - последовательности целых положительных степеней простых чисел, такой что: $\sum_b {1/q^b$ - сходится. Тогда асимптотики моментов $f^{*}(m)$ и $f(m)$ равны и для $f(m)$ выполняются утверждения 1-5, как для $f^{*}(m)$.

Доказательство

На основании определения классов $V$ и $H$ арифметические функции $f^{*}(m)$ и $f(m)$ имеют одинаковое предельное распределение, поэтому у данных арифметических функций совпадают моменты всех порядков.
С другой стороны, так как арифметическая функция $f(m)$ имеет такое же предельное распределение, как сильно аддитивная арифметическая функция $f^{*}(m)$, то для $f(m)$ выполняются утверждения 1-5, как для $f^{*}(m)$.

Примеры на утверждение 6 приведены выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. фftyункции и ее вер. харак-ми
Сообщение17.01.2021, 19:47 


23/02/12
3112
До сих пор мы рассматривали сильно аддитивные арифметические функции $f(m),m=1,...,n$, имеющие предельным нормальное распределение при $n \to \infty$, для которых выполнялось условие $|f(p)| \leq 1$. Сейчас мы рассмотрим более общее требование к сильно аддитивным арифметическим функциям, чтобы они имели предельным нормальное распределение. Это некоторый аналог условия Линдеберга ЦПТ.

Теорема 4.2 (Кубилюс).

Пусть $f(m)$ сильно аддитивная арифметическая функция, а $A(n)$ ее среднее значение.
Если дисперсия $D(n)=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p} \to \infty, n \to \infty$ и для всякого фиксированного $\epsilon > 0$ выполняется:
$$\frac {1}{D(n)} \sum_{p \leq n, |f(p)|>\epsilon \sqrt{D(n)}} \frac {f^2(p)}{p} \to 0, n \to \infty,$$
то распределение: $P_n\{\frac{f(m)-A(n)}{\sqrt{D(n)}}<x\}$ является нормальным при $ n \to \infty$.

Следствие

Если для сильно аддитивной арифметической функции $f(m)$, для которой $D(n) \to \infty$ и $\max_{p \leq n} |f(p)|=o(\sqrt{D(n)})$ при $n \to \infty$, то выполняются условия теоремы 4.2.


Рассмотрим пример на выполнение указанной теоремы для сильно аддитивной арифметической функции $f(m)$, в случае $|f(p)|>1$.

Пусть $f(p)=\sqrt {\ln\ln{p}}$. Тогда, используя результаты темы "Асимптотика сумматорных функций простого аргумента" получим:
$$D(n)=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}=\sum_{p \leq n}\frac {\ln\ln(p)}{p} \sim \sum_{k \leq n} \frac {\ln\ln(k)}{k\ln(k)}  \sim 0,5(\ln\ln(n))^2.$$

Так как $D(n) \to \infty$ и $\max_{p \leq n} |f(p)|=\sqrt {\ln\ln{n}}=o(\ln\ln(n))$, то в данном примере выполняются условия следствия и соответственно теоремы 4.2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение19.01.2021, 18:48 


23/02/12
3112
Я уже здесь говорил, что любую сильно аддитивную арифметическую функцию можно представить, как сумму случайных величин.
vicvolf в сообщении #1482685 писал(а):
Для каждого простого $p$ и натурального $a$ у сильно аддитивной функции $f(m)$ выполняется: $f(p^a)=f(p)$.
Поэтому для каждого простого $p(p \leq n)$ введем случайную величину $f^{(p)}(m)=f(p),p|m$ и $f^{(p)}(m)=0$ в противном случае.
Каждая случайная величина $f^{(p)}(m)$ принимает только два значения:$f^{(p)}(m)=f(p)$ с вероятностью $\frac {1}{n}[\frac {n}{p}]$ и $f^{(p)}(m)=0$ с вероятностью $1-\frac {1}{n}[\frac {n}{p}]$.
На основании сильной аддитивности: $f(m)=\sum_{p \leq n} {f^{(p)}(m)}$.

Возникает вопрос, в каком случае эти случайные величины будут асимптотически независимы? Это выполняется для так называемых Кубилюсом "урезанных" арифметических функций $f(m)_r$.

Пусть функция $r=r(n)$ растет медленнее любой положительной степени $n$ при $n \to \infty$. Обозначим среднее значение и дисперсию для $r=r(n)$ соответственно: $A(r),D(r)$.

Тогда доказано, что для вещественной аддитивной арифметической функции $f(m)$ со средним значением и дисперсией соответственно $A(n),D(n)$ при условии $D(n) \to \infty, n \to \infty$ существует такая неограниченно возрастающая $r(n)$, что $\ln r(n)/\ln n \to 0$, $D(r)/D(n) \to 1$ и предельные законы распределения:
$$P_n\{\frac{f(m)_r-A(r)}{D(r)}<x\},P_n\{\frac{f(m)-A(n)}{D(n)}<x\}$$
существуют только одновременно и в этом случае совпадают, т.е. $f(m)$ относится к классу $H$.

Кубилюс доказал, что для сильно аддитивных арифметических функций это выполняется, когда $\ln {D(n)}=o(\ln\ln(n))$, т.е. существуют сильно аддитивные функции, для которых это не выполняется. Приведем пример.

Я ранее показывал, что любую сильно аддитивную арифметическую функцию можно представить в виде: $f(m)=\sum_{p|m} f(p)$.

Рассмотрим сильно аддитивную арифметическую функцию $f(m)=\sum_{p|m} \ln(p)$, т.е. $f(p)=\ln(p)$.

Используя результаты темы "Асимптотика сумматорных функций простого аргумента" получим асимптотику дисперсии данной функции:
$$D(n)=\sum_{p \leq n} \frac {f^2(p)}{p}+O(1)=\sum_{p \leq n} \frac {\ln^2(p)}{p}+O(1) \sim \sum_{p \leq n} \frac {\ln(k)}{k} \sim 0,5 \ln^2(n).$$
Поэтому: $\ln D(n) \sim  2\ln\ln(n)$, не выполняется условие: $\ln {D(n)}=o(\ln\ln(n))$ и данная сильно аддитивная арифметическая функция не принадлежит классу $H$.

Кстати для примера из предыдущего сообщения: $f(p)=\sqrt {\ln\ln(n)}$ получим $\ln D(n) \sim 2\ln\ln\ln(n)$, поэтому выполняется условие $\ln {D(n)}=o(\ln\ln(n))$ и данная сильно аддитивная арифметическая функция принадлежит к классу $H$.

-- 19.01.2021, 19:17 --

vicvolf в сообщении #1486588 писал(а):
alisa-lebovski в сообщении #1486570 писал(а):
Как насчет Буфетова Алексея Игоревича - http://www.mathnet.ru/php/person.phtml? ... onid=52109
Очень бы хотелось бы пообщаться с таким знающим человеком. Но вряд ли он обратит внимание на незнакомца. Может Вы или кто-то форуме знает его?

Я написал тогда Буфетову. Прошло три месяцы, но ответа нет!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 169 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group