Уважаемые участники форума!
Я опубликую здесь некоторые утверждения на данную тему, в которых возможны ошибки. Буду благодарен за замечания.
Утверждение 1
Пусть арифметическая функция

при

принимает хотя бы два различных значения.
Обозначим среднее значение

-

и дисперсию

.
Пусть

- положительная неограниченно возрастающая функция при

и

, где

- монотонная функция.
Тогда, почти всюду, для

и

выполняется асимптотика:

.
Доказательство
Так как

принимает хотя бы два различных значения, то

не равно нулю и справедливо неравенство Чебышева:

, где

.
Поэтому для любой положительной неограниченно возрастающей функции

при

выполняется:

.
Учитывая, что

, получим, что, почти всюду, для

и

:

.
В качестве

можно взять любую медленно растущую функцию

, где

- малое положительное число.
Поэтому, почти всюду, для

и

выполняется асимптотика:

. ч.т.д.
Утверждение 2
Пусть арифметическая функция имеет асимптотику:

,
где

- главный член асимптотики,

- монотонная функция и

.
Обозначим

- среднее значение арифметической функции -

и дисперсию

.
Тогда выполняются асимптотики:

и

, где

.
Доказательство
Пусть для арифметической функции выполняется асимптотика:

.
Рассмотрим теперь формулу из утверждения 1:

.
Подставим в эту формулу асимптотику арифметической функции

:

.
Подставим в формулу значение асимптотики

из условий утверждения:

.
Данная формула будет справедлива, если взять

и

, где

ч.т.д.
В качестве примера 1 использования утверждения 2 возьмем арифметическую функцию

.
В теме ранее была получена асимптотика данной арифметической функции:

.
В данном случае

.
Поэтому

,

, где

.
Пример 2. Проблема делителей Дирихле. Вороной доказал асимптотику:

.
Следовательно,

. Тогда

,

, где

.
Пример 3. Известна асимптотика:

.
Поэтому

. Тогда

,

, где

.