Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства

[george66]

Подумав, заменил rar на zip, потому что некоторые люди говорят, что в Америке нет rar!
https://mega.nz/#!Pk5wDKhJ!5X7sU6Uw6GPA ... rGUo-oCecI

[Pphantom]

george66, все-таки выберите какую-нибудь одну тему, в которой вы будете обсуждать программу (и напишите мне об этом в ЛС). Дублировать сообщения в двух разных ветках совершенно незачем.

[Pphantom]

george66 в сообщении #1412508 писал(а):

Если кто-то попробует собрать под другими ОС, сообщите мне, что получилось.

В качестве утешения собрал под Linux (openSUSE 15.1), работает. Скриншот в качестве подтверждения прилагаю.

[george66]

Спасибо!

[Mental]

george66 в сообщении #1412508 писал(а):

Демо-демо-версия геометрической программы.

Небольшое мерцание экрана в Win10, но в остальном всё нормально работает:
https://rutube.ru/list/video/5c77f0ec1a05b5f203656a51072dbb52/

[george66]

Да, мерцание от сглаживание краёв методом MLAA. Сейчас ещё помудрю и сглажу хорошо. Там целая наука оказалась, как рисовать прямые линии на экране, состоящем из квадратных пикселей.

[george66]

Небольшой отчёт, как идёт написание геометрической программы (для построений в эллиптическом пространстве)

Картинки для смеха, называются "очень жирная точка делится на две". А так, сделал всю линейную часть (рисование плоскости, проходящей через три точки, через точку и прямую, прямой через две точки, прямой пересечения двух плоскостей и т.д.), а также полярные плоскости, точки и прямые и параллели Клиффорда. Запинка возникла при рисовании плоскости, вращающейся вокруг лежащей на ней точки. Плоскость, имеющая вид "пузыря" (сферы с дыркой), вращается вокруг точки, но узор на пузыре вращается независимо и невпопад, получается вырви глаз. От кватернионов устал, отдохну, после Нового года доделаю.

[Munin]

Можете показать, как у вас рисуется $ad-bc=0$ («Матрицы 2×2 над ℝ»)?
И вот эти картинки: post1381872.html#p1381872

[george66]

Не совсем понял вопрос, но расскажу, как рисуются плоскости эллиптического пространства (они имеют вид сфер с дырками). Эллиптическое пространство - это трёхмерная сфера кватернионов нормы единица с отождествлёнными диаметрально противоположными точками. Её проектируем стереографической проекцией на трёхмерное пространство чисто мнимых кватернионов (совершенно так же, как обычную сферу можно спроектировать на обычную плоскость стереографической проекцией). То, что рисует программа - это именно трёхмерное пространство, на которое спроектирована картинка трёхмерной сферы. Картинка конформная, углы настоящие (как в трёхмерной сфере). Эллиптическое пространство устроено как проективное, плоскость задаётся четвёркой проективных координат, определённых с точностью до множителя (точка тоже). Если плоскость задана четвёркой $(scalar, a, b, c)$, сопоставляем ей кватернион $scalar + ai + bj +ck$. Рисуем единичную сферу, точки её поверхности воспринимаем как чисто мнимые кватернионы нормы единица $xi + yj +zk$. Сфера триангулируется и приближается многогранником (это стандартный метод рисования чего угодно в компьютерной графике). Единичной сфере соответствует единичный кватернион. Затем умножаем точки единичной сферы на кватернион $(scalar, a, b, c)$ и получаем "выпученную сферу", которая и есть плоскость с кватернионом $(scalar, a, b, c)$. И нужно ещё сделать стереографическую проекцию, которая переводит точку с координатами $(w, x, y, z)$ в пространстве кватернионов в точку $(x / (1+w), y / (1+w), z / (1+w))$ в трёхмерном пространстве, которое мы видим на экране. Чтобы получилась сфера с дыркой, надо начинать не с единичной сферы, а с полусферы и тут возникает пакость (полусферу надо правильно развернуть, иначе дырка глядит не туда).

[Munin]

Я хотел не теоретические объяснения, а результат рисования в вашей программе. Текст прочту потом, извините.

-- 30.12.2019 19:44:26 --

Если ваша программа умеет рисовать пока только плоскости, то мой первый вопрос снимаю. У меня там квадрика.
А вот второй - там только прямые. И общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Два общих перпендикуляра.

[george66]

Поверхности Клиффорда надеюсь в ближайшее время нарисовать (кажется, это нетрудно). А чтобы нарисовать общий перпендикуляр, надо объяснить, как рисуются прямые. Вот пока картинка "очень толстая прямая и её поляра"

и те же самые прямые, но потоньше

[Munin]

george66 в сообщении #1432747 писал(а):

...плоскости эллиптического пространства (они имеют вид сфер с дырками).

Не понимаю, почему с дырками.

george66 в сообщении #1432747 писал(а):

...трёхмерная сфера кватернионов нормы единица с отождествлёнными диаметрально противоположными точками. Её проектируем стереографической проекцией на трёхмерное пространство...

Не люблю стереографическую проекцию. Вам сильно сложно добавить в программу возможность проекции типа "развёртки сферы"?
Она отличается от стереографической только на радиальную координату, и может быть получена преобразованием $r\to 2\arctg(r/2).$

george66 в сообщении #1432747 писал(а):

Эллиптическое пространство устроено как проективное

Вот только у него ещё метрика есть, и группа движений более узкая.

george66 в сообщении #1432747 писал(а):

Если плоскость задана четвёркой $(scalar, a, b, c)$

Уточните, как плоскость задаётся этой четвёркой.

[george66]

Эллиптическое пространство можно представлять как шар с отождествлёнными диаметрально противоположными точками сферы. Плоскости представляются частями сфер, пересекающими поверхность шара по большим окружностям. Можно брать части сфер внутри шара, можно брать вне шара (будет картинка, полученная инверсией), у меня там есть переключатель In/Out. На картинках выше Out, так эффектнее. Прямые представляются частями окружностей, пересекающих шар в диаметрально противоположных точках. Плоскость в трёхмерной сфере - это плоскость в четырёхмерном пространстве кватернионов, проходящая через ноль, если её координаты $(scalar, a, b ,c)$, то ей принадлежат точки (кватернионы) $(w,x,y,z)$, для которых
$scalar\cdot w + a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z = 0$

-- 31.12.2019, 00:09 --

Эллиптическое пространство - это "половина" трёхмерной сферы.

[Munin]

Ясно. Ну, мне больше нравится "In" - он менее искажает картину.

Кроме того, я понимаю идею, что "эллиптическое пространство - это половина сферы $S^3$", но мне также нравится и "эллиптическое пространство - это полная сфера $S^3,$ однако с отождествлёнными диаметрально противоположными точками".

Кстати, это объясняет и вашу "дырку в сфере": на самом деле, её нет, просто вы отрезаете при визуализации половину сферы, тождественную другой половине. Я привык её не отрезать (чтобы не воображать особенностей там, где их нет), а просто "учитывать в уме" отождествление точек.

-- 31.12.2019 02:37:44 --

george66 в сообщении #1432799 писал(а):

Плоскость в трёхмерной сфере - это плоскость в четырёхмерном пространстве кватернионов, проходящая через ноль, если её координаты $(scalar, a, b ,c)$, то ей принадлежат точки (кватернионы) $(w,x,y,z)$, для которых
$scalar\cdot w + a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z = 0$

То есть, на языке обычной аналитической геометрии / линейной алгебры, $(scalar, a, b ,c)$ - это координаты вектора нормали к плоскости.

[george66]

Программа для интерактивных построений в эллиптическом пространстве готова, но не могу сгладить края. Если края сглажены, то при движении мерцают. Картинку можно кликать, на ней изображены две прямые на плоскости и точка их пересечения (края не сглажены). Буду думать до нового года, потом выложу в любом случае.