Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства

[george66]

Вот тут

topic133413-45.html

я обосновал, что 2-мерную плоскость в пространстве кватернионов, проходящую через ноль (она же большая окружность трёхмерной сферы) всегда можно задать парой $u,v$ чисто мнимых кватернионов одинаковой длины

$\{x\mid ux=xv\}$

(и любая пара чисто мнимых кватернионов одинаковой длины задаёт плоскость таким способом). Пара $u,v$ определена с точностью до общего не нулевого действительного множителя, поэтому можно их нормировать в норму единица и переписать так (с учётом $vv=-1$)

$\{x\mid uxv=-x\}$

Заметим, что для эллиптического пространства (где мы факторизуем по $\{1,-1\}$) получается как раз особый случай поворота на 180 градусов.
Дальше я вывел ряд формул (некоторые есть по ссылке, но не все):
для точки пересечения прямой (заданной таким способом) и плоскости в эллиптическом пространстве;
для точки пересечения двух компланарных прямых;
для прямой, проходящей через две заданные точки;
условия компланарности и ортогональности прямых.
Но всё это на языке кватернионов с использованием сложения и умножения.

[Munin]

В старой теме нашёл задачку, которую, как мне кажется, там решили неправильно. Если она тут не в тему, скажите. Мне показалось, что в тему.

Есть матрица поворота 4-мерного пространства

$$\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}$$

Довольно просто её получить композицией двух отражений. Можно ли её получить чистыми простыми поворотами, и как? (Указать плоскости и углы, если композиция - то для каждого элемента композиции.)

[george66]

Пытаюсь разобраться в адских немецких доказательствах из книги Бахмана и перевести на язык груды. Введём отношение трёх точек $a,b,c$

$ab^{-1}c=cb^{-1}a$

Оно рефлексивно (выполнено, если любые две из трёх совпадают) и симметрично - симметрия точек $a,c$ непосредственно видна, но и точки $a,b$ тоже равноправны, легко вывести

$ba^{-1}c=ca^{-1}b$

В книге Бахмана несколько аксиоматик (проективно-алгебраическая, которую я излагал, и чисто алгебраическая). Одна из аксиом алгебраической аксиоматики утверждает, что это отношение (обозначим его $P(a,b,c)$) транзитивно в таком смысле: если $a\neq b$, то

$P(a,b,c)\wedge P(a,b,d)\Rightarrow P(a,c,d)$

С геометрической точки зрения $P(a,b,c)$ означает, что точки $a,b,c$ лежат на одной прямой (кроме некоторых особых случаев) и транзитивность очевидна. А нельзя ли его алгебраически как-то упростить? Свести к чему-нибудь попроще? Если вдруг кто-то в алгебре силён.

[george66]

Вот теоремку доказал. Напомню, что равенства

$ab^{-1}a=b$

$ba^{-1}b=a$

равносильны между собой и равносильны равенству (в группе)

$ab^{-1}=ba^{-1}$

Если к тому же $a\neq b$, такие точки называются полярными.
Теорема: пусть даны три попарно полярных точки $a,b,c$. Тогда точка $ab^{-1}c$ будет полярной ко всем трём. Проверяется несложным вычислением. Например, полярны между собой точки $1,i,j,k$ (если факторизовать по $\{1,-1\}$)
Теперь хочу обратную теорему: если точки $a,b,c,d$ попарно полярные, то $d=ab^{-1}c$. В произвольной группе это не верно, нужна какая-то дополнительная аксиома. Кто в алгебре силён?

[alcoholist]

А часто ли

george66 в сообщении #1406026 писал(а):

точка $ab^{-1}c$

совпадает с $b$?

[george66]

alcoholist в сообщении #1406102 писал(а):

А часто ли

george66 в сообщении #1406026 писал(а):

точка $ab^{-1}c$

совпадает с $b$?

Например, если $b$ середина отрезка $[a,c]$. Точка $ab^{-1}c$ это как бы "сумма векторов $ba$ и $bc$, если точку $b$ принять за нулевую" (но только группа не коммутативная, так что лучше середину записывать как среднее геометрическое $b=\sqrt{ac}$). Например, серединой отрезка $[1,i]$ будет $\sqrt{i}$, у него два значения $(1+i)/\sqrt{2}$ и $(1-i)/\sqrt{2}$

[george66]

Сейчас попробую доказать, что прямая замкнута относительно операции $xy^{-1}z$. Пусть даны три точки $x,y,z$ на одной прямой. Пусть $x\neq z$ (случай $x=z$ надо разбирать отдельно, но там просто). Возьмём произвольную плоскость $A$ проходящую через $x,y,z$ (такая существует по проективным аксиомам)

$A=\{u\mid au^{-1}a=u\wedge u\neq a\}$

$ax^{-1}a=x$

$ay^{-1}a=y$

$az^{-1}a=z$

Возьмём две вспомогательные плоскости $B,C$

$B=\{u\mid bu^{-1}b=u\wedge u\neq b\}$ где $b=xa^{-1}z$

$C=\{u\mid cu^{-1}c=u\wedge u\neq c\}$ где $c=za^{-1}x$

Проверим, что $b\neq a, c\neq a$ (из этого следует $B\neq A, C\neq A$). Из $b=a$ сейчас выведу $x=z$

$b=a$

$xa^{-1}z=a$

$xa^{-1}=az^{-1}=za^{-1}$ (поскольку $az^{-1}a=z$)

$x=z$

Проверим, что $x,z\in B$ а также $x,z\in C$

$bx^{-1}b=(xa^{-1}z)x^{-1}(xa^{-1}z)=xa^{-1}za^{-1}z=xa^{-1}a=x$ (тут использую $za^{-1}z=a$, что равносильно $az^{-1}a=z$)

$bz^{-1}b=(xa^{-1}z)z^{-1}(xa^{-1}z)=xa^{-1}xa^{-1}z=aa^{-1}z=z$ (тут использую $xa^{-1}x=a$)

и так же для $C$. Далее, получаем $y\in B,C$ поскольку $x,y,z$ лежат на одной прямой (тут используем проективные аксиомы). Теперь докажем, что

$y\in A\Leftrightarrow xy^{-1}z\in B$

$y\in C\Leftrightarrow xy^{-1}z\in A$

Поскольку $y\in A,C$ мы получим $xy^{-1}z\in B,A$ и поэтому $xy^{-1}z$ лежит на одной прямой с $x,z$ (эта прямая будет пересечением плоскостей $B,A$)
Начнём с $xy^{-1}z\in B$ и преобразуем к $y\in A$

$b(xy^{-1}z)^{-1}b=xy^{-1}z$

$b(z^{-1}yx^{-1})b=xy^{-1}z$

$(xa^{-1}z)(z^{-1}yx^{-1})(xa^{-1}z)=xy^{-1}z$

$xa^{-1}ya^{-1}z=xy^{-1}z$

$a^{-1}ya^{-1}=y^{-1}$

$ay^{-1}a=y$

Теперь начнём с $xy^{-1}z\in A$ и преобразуем к $y\in C$

$a(xy^{-1}z)^{-1}a=xy^{-1}z$

$a(z^{-1}yx^{-1})a=xy^{-1}z$

$(az^{-1})y(x^{-1}a)=xy^{-1}z$

$y=(za^{-1}x)y^{-1}(za^{-1}x)$

$y=cy^{-1}c$

[george66]

И теперь рассмотрим случай $x=z$. В этом случае $xy^{-1}z$ превращается в $xy^{-1}x$. Это отражение точки $y$ относительно точки $x$, оно лежит на той же прямой, потому что лежит вообще в любой плоскости, содержащей $x,y$. Проверим. Возьмём произвольную плоскость $A$ содержащую $x,y$

$A=\{u\mid au^{-1}a=u\wedge u\neq a\}$

$ax^{-1}a=x$ что равносильно $ax^{-1}=xa^{-1}$ а также $x^{-1}a=a^{-1}x$

$ay^{-1}a=y$ что равносильно $a^{-1}ya^{-1}=y^{-1}$

Покажем, что $xy^{-1}x\in A$

$a(xy^{-1}x)^{-1}a=ax^{-1}yx^{-1}a=xa^{-1}ya^{-1}x=xy^{-1}x$

[george66]

И теперь докажем, что если точки $x,y,z$ лежат на одной прямой, то

$xy^{-1}z=zy^{-1}x$

Возьмём произвольную плоскость $A$, содержащую точки $x,y,z$

$A=\{u\mid au^{-1}a=u\wedge u\neq a\}$

$ax^{-1}a=x$ что равносильно $ax^{-1}=xa^{-1}$

$ay^{-1}a=y$ что равносильно $a^{-1}y=y^{-1}a$

$az^{-1}a=z$ что равносильно $az^{-1}=za^{-1}$

По предыдущей теореме точка $xy^{-1}z$ принадлежит той же прямой, что $x,y,z$ и поэтому тоже принадлежит плоскости $A$

$a(xy^{-1}z)^{-1}a=xy^{-1}z$

Вычислим левую часть этого равенства

$a(xy^{-1}z)^{-1}a=az^{-1}yx^{-1}a=za^{-1}yx^{-1}a=zy^{-1}ax^{-1}a=zy^{-1}xa^{-1}a$
$=zy^{-1}x$

[Munin]

Мне тут пришло в голову, что хорошо бы составить небольшой задачник по элементарной 4-мерной стереометрии, для выработки надлежащей геометрической интуиции.

Например, это пригодилось бы для понимания простейших вопросов в $\mathbb{C}^2,$ которая тоже уже внезапно 4-мерна над $\mathbb{R}.$

[arseniiv]

Согласен. (Заодно апаю эту неплохую тему.) Я как-то немного разбирался со взаимным расположением аффинных подпространств и вот с ортогональными преобразованиями (ну и баловался известными штуками типа сечений и чего ещё там), но этого мало.

[george66]

Демо-демо-версия геометрической программы.
https://mega.nz/#!W4o3mQyT!Ks_c1hs5BNxl ... NSjuBCKs6w
Там готовая сборка для Win10 x64 и папка sources (можно собрать самостоятельно с помощью Qt). Если кто-то попробует собрать под другими ОС, сообщите мне, что получилось. Можно и нужно двигать ползунки и ставить-убирать галочки в чекбоксах. Можно менять масштаб колёсиком мыши. Можно вращать картинку левой кнопкой мыши (нажать на картинку и потянуть). При нажатии на картинку правой кнопкой мыши вылезает полезная информация (пока только номер фигуры).

[arseniiv]

Работает в Win7 x64 без перекомпиляции. Покрутил. Не додумался пока что изображено.

[george66]

Изображены две плоскости в эллиптическом пространстве (сферы с дырками) и прямая их пересечения (окружность с дыркой). В центре композиции надо представить невидимый шар радиуса единица. Плоскости эллиптического пространства представляются сферами, пересекающими этот шар по большим окружностям. Притом можно брать только внешнюю часть, а можно только внутреннюю, внешняя эффектнее. Как общее впечатление? Что нравится, что не нравится в дизайне? В перспективе будет панель инструментов, можно будет ставить точки в пространстве, проводить прямую через две точки и плоскость через три, находить пересечения и т.д. Это всё в уме готово, но есть проблемы со сглаживанием краёв (если убрать обе плоскости, видно, что прямая мерцает, это проблема).

[arseniiv]

Надо дождаться может быть ещё того же Munin, я не знаю что посоветовать. Ну разве заменить поля с кнопочками прибавления-убавления слайдерами. Или не заменить, а добавить к ним слайдеры — так и ввести число можно, и менять его настолько быстро или медленно, насколько хочется, что кнопочки не дают из-за фиксированного шага.