2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение28.04.2019, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71855
Чтобы разобраться со сложными понятиями, можно сначала их рассмотреть на самых простых примерах.

Мотивация, слишком масштабная для сделанного

(Оффтоп)

Посмотрим на примере матриц $2\times 2$ над $\mathbb{R}$ - $\mathrm{M}(2,\mathbb{R})$ - такие понятия:
- матрицы невырожденные, вырожденные, рангов $0,1,\ldots n$
- группы, перечисленные на диаграмме
$$\xymatrix{
   \mathrm{SZ}(\mathbb{R}^2)\cong \{\pm 1\}         \ar@{^(->}[r]                      \ar@{^(->}[d]
 & \mathrm{Z}(\mathbb{R}^2)\cong \mathbb{R}^* \ar@{->>}[r]^{\det \cong z^2}  \ar@{^(->}[d]
 & (\mathbb{R}^*)^2\cong \mathbb{R}^+                                                   \ar@{^(->}[d] \\
   \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})         \ar@{^(->}[r]                  \ar@{->>}[d]
 & \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})         \ar@{->>}[r]^{\det}            \ar@{->>}[d]
 & \mathbb{R}^*                                                   \ar@{->>}[d] \\
   \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})        \ar@{^(->}[r]
 & \mathrm{PGL}(2,\mathbb{R})        \ar@{->>}[r]
 & \mathbb{R}^*/(\mathbb{R}^*)^2\cong \{\pm 1\}
}$$
    - $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ - полная линейная группа - группа невырожденных матриц;
    - $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ - специальная линейная группа - группа матриц с $\det=1$;
    - $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{R})$ - проективная группа - группа проективных преобразований проективной прямой $\mathbb{RP}^1$;
    - $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ - проективная специальная линейная группа;
    возможно, $\mathrm{P\Gamma L}(2,\mathbb{R}),\mathrm{P\Sigma L}(2,\mathbb{R})$

Также на диаграмме:
    $G\cong H$ - изоморфизм групп;     $G\hookrightarrow H$ - мономорфизм = инъективный гомоморфизм групп;     $G\twoheadrightarrow H$ - эпиморфизм = сюръективный гомоморфизм групп;
    $F\hookrightarrow G\twoheadrightarrow H$ (по прямой линии) - короткая точная последовательность, то есть наложено условие, что образ первого гомоморфизма равен ядру второго гомоморфизма; частные случаи короткой точной последовательности - прямое и полупрямое произведения;
    - $\mathrm{Z}(\mathbb{R}^2)$ - центр группы $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ - группа всех скалярных преобразований в $\mathbb{R}^2,$ то есть матриц, пропорциональных единичной;
      центр группы есть та её часть, которая коммутирует со всей группой;
    - $\mathrm{SZ}(\mathbb{R}^2)$ - центр группы $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ - группа всех скалярных преобразований с $\det=1$; она изоморфна группе всех корней 2-й степени из единицы в $\mathbb{R}$;
    - $\mathbb{R}^*$ - мультипликативная группа $\mathbb{R}$ (группа обратимых действительных чисел), а $\mathbb{R}^+$ - подгруппа положительных чисел;
    - $(\mathbb{R}^*)^2$ - квадраты действительных чисел, то есть в данном случае, опять положительные числа.

также интерес представляют
- $\mathrm{O}(2)$ и $\mathrm{O}(1,1)$ - ортогональные группы - группы, сохраняющие евклидово и минковское скалярное произведение;
- $\mathrm{SO}(2)$ и $\mathrm{SO}(1,1)$ - специальные ортогональные группы - с $\det=1$;
возможно, $\mathrm{Sp, PSp, GSp, PO, PSO, \Omega, S\Omega, P\Omega, PS\Omega, Pin, Spin, GO}$ и алгебра(ы) $C\ell$
(многовато как-то для начала, это всё скорее благие пожелания, записанные, чтобы не забыть; ну и приоритеты надо будет расставить).

Дальше эти выводы можно будет попытаться расширить на размерность 3 и на поле $\mathbb{C}.$


----------------

Матрицы $\mathrm{M}(2,\mathbb{R})$ задаются четырьмя действительными числами
$$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$$ - и таким образом, образуют 4-мерное действительное пространство. Бо́льшие размерности и бо́льшие поля вряд ли возможно будет визуализовать.

Рассмотрим вырожденные матрицы - $\det=ad-bc=0.$ Заодно, это множество матриц $\mathrm{rk}<2,$ причём $\mathrm{rk}=0$ - единственная точка $a=b=c=d=0.$ Множество $ad-bc=0$ - это 3-мерная гиперповерхность, коразмерности 1.

Изображение множеств в 4-мерном пространстве непросто. Попробуем зафиксировать 4-ю координату $d=\mathrm{const},$ и взять несколько сечений. Они будут $a=\tfrac{1}{d}bc$ - седловидными поверхностями, либо при $d=0$ - двумя плоскостями $bc=0.$

    Изображение Изображение Изображение Изображение Изображение Изображение Изображение
    $d=2,1,1/2,0,-1/2,-1,-2$

Из этого списка поверхностей пока не совсем ясно устройство 3-поверхности. Заметим, что $ad-bc=0$ - однородное уравнение, и потому 3-поверхность представляет собой конус с вершиной в нуле координат. Чтобы обрисовать "основание" конуса, возьмём предыдущие сечения при $d=\mathrm{const},$ и отметим на них "края" - линии пересечения этих поверхностей с 3-сферой $a^2+b^2+c^2+d^2=R^2.$ Это будут сферы $a^2+b^2+c^2=R^2-d^2.$ То есть, сферы разных радиусов для разных поверхностей. Конкретное значение $R$ безразлично, поскольку, вспоминаем, $ad-bc=0$ - однородное уравнение. И пройдёмся по разным уровням $d\in[-R,R].$

    Изображение Изображение Изображение Изображение Изображение

И потом, из этих "краёв" надо собрать нечто целое на 3-сфере. 3-сфера сама по себе четырёхмерна. Её придётся как-то отобразить в нашем пространстве. Например, в шаре (в "стеклянном шаре"). Радиальная координата внутри шара соответствует угловой координате "от полюса $d=R$" на 3-сфере (то есть, "широте, считая от полюса"). А обычные сферические угловые координаты внутри шара - соответствуют "координатам долготы" на 3-сфере. (https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Spherical_coordinates) И в целом, "стеклянный шар" собирается из 2-сфер возрастающего радиуса, но внешняя сфера должна быть стянута в точку. Так что, приведённую последовательность линий надо "собирать изнутри наружу", масштабируя (каждая линия уже находится на 2-сфере в 3-мерном пространстве). Покажу процесс по стадиям, обратите внимание на середину процесса, соответствующую "переходу экватора $d=0$":

    Изображение Изображение Изображение Изображение Изображение Изображение

Здесь подразумевается, что на конечной стадии всё опять сошлось в точку - "в полюс $d=-R$". Так что, край получившейся фигуры надо понимать как склеенную точку. Надеюсь, видно, что получился тор. Вот он, красавчик, немного с другого ракурса:

    Изображение

Полная же поверхность $ad-bc=0$ представляет собой конус над этим тором. Надеюсь, теперь это можно себе представить. (Каждая пара противоположных точек на этом торе соответствует прямой, проходящей через начало координат.)

Полная линейная группа - группа невырожденных матриц $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ делится на две несвязные компоненты: над тором и под тором.

(черновики)

где единичная матрица?

повернём оси координат в e=a+d, f=a-d, g=b+c, h=d-c. Поверхность $ad-bc=0$ приводится к главным осям:
$e^2-f^2-g^2+h^2=0,$ сигнатура $(2+,2-)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5651
Конкретно про визуализацию не знаю, но по детерминантным многообразиям (determinantal varieties) есть достаточно большое количество литературы, в том числе и учебной.

Тор можно увидеть немного проще, приведя к главным осям: как Вы написали, $e^2+h^2=f^2+g^2=1$ (последнее равенство можно считать верным не умаляя общности, из однородности), получаем два независимых уравнения окружности, т. е. прямое произведение двух окружностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 01:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71855
К главным осям привести собирался, но здесь мне нравится, что остаются в явном виде конкретные элементы матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 13:18 
Аватара пользователя


31/10/08
1244
Munin в сообщении #1390120 писал(а):
Матрицы $\mathrm{M}(2,\mathbb{R})$ задаются четырьмя действительными числами
$$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$$ - и таким образом, образуют 4-мерное действительное пространство.

:facepalm:

Munin в сообщении #1390120 писал(а):
где единичная матрица?

повернём оси координат в e=a+d, f=a-d, g=b+c, h=d-c. Поверхность $ad-bc=0$ приводится к главным осям:
$e^2-f^2-g^2+h^2=0,$ сигнатура $(2+,2-)$

Единичная матрица при 0 детерминанте? Эти решения не совместимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71855
Pavia в сообщении #1390168 писал(а):
Единичная матрица при 0 детерминанте?

Разумеется, единичная матрица не лежит на этой поверхности. Вопрос другой: где расположена единичная матрица по отношению к этой поверхности. В 4-мерном пространстве $(a,b,c,d).$ Кажется, в середине "верхней трубы".

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26410

(Мимо проходил)

Там в списке пожеланий были алгебра $C\ell$ и группы $\mathrm{Spin}$ и $\mathrm{Pin}$, но если первую представлять матричной алгеброй, это будут уже матрицы 4×4, если там ничего потом нельзя оптимизировать (не помню), ну и без подобного же использования случайных изоморфизмов группа $\mathrm{Pin}$ будет тоже из таких матриц, а вот для группы $\mathrm{Spin}$ можно будет использовать матрицы 2×2, потому что она входит в подалгебру чётных элементов алгебры $C\ell$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 19:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71855
arseniiv
Можете ли написать, какими уравнениями на элементы матрицы $2\times 2$ задаётся группа $\mathrm{Spin}$? И/или ссылку на Wikipedia, где это почитать. (Желательно и то и другое.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 20:51 
Заслуженный участник


14/10/14
742
Munin в сообщении #1390254 писал(а):
Можете ли написать, какими уравнениями на элементы матрицы $2\times 2$ задаётся группа $\mathrm{Spin}$?
Она изоморфна $SO(2)$. (Это следует из того, что она связна и должна её двулистно накрывать.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71855
Пока не понял. Если двулистно накрывать - то как же изоморфна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 22:26 
Заслуженный участник


14/10/14
742
Munin в сообщении #1390272 писал(а):
Если двулистно накрывать - то как же изоморфна.
Рассмотрим отображение $SO(2)\to SO(2)$, которое поворот на угол $t$ переводит в поворот на угол $2t$. Это гладкое накрытие и гомоморфизм групп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71855
А, $\mathrm{SO}(2)$ же - это просто колечко! Я почему-то думал про $\mathrm{SO}(3),$ с которой такой фокус не проходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение29.04.2019, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5651
Я всегда думал, что $\mathrm{Spin}(n)$ -- это универсальная накрывающая группа $\mathrm{SO}(n)$. В случае $n\ge 3$ это, действительно, двулистное накрытие. Есть ли причины распространять именно двулистность на $n=2$ -- не знаю (универсальным накрытием будет $\mathbb R$).

Википедия определяет её для $n\neq 2$.

nLab определяет по-разному (или не уточняет, что при $n=2$ универсальным накрытием она не является).

https://ncatlab.org/nlab/show/spin+group
https://ncatlab.org/nlab/show/Spin%282%29

Но, видимо, общепринятое всё-таки двулистное. Не то что бы это важный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение30.04.2019, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26410
Munin
Собирался вывести что-то из общего клиффордского определения, но пока устанавливал ясность в голове (там одно условие по-разному выражается, но я так и не усвоил, для общего случая альтернативное условие годится или только, например, для евклидова; от этих немного по-разному идти к соотношениям), уже написали. Для нескольких небольших $n$ вам действительно должно хватить случайных изоморфизмов с более знакомыми группами.

-- Вт апр 30, 2019 20:20:22 --

Если бы я нормально ими занялся, наверняка бы всё быстренько расписал, и даже для характеристики 2, да всё лень сидеть над этим. :|

-- Вт апр 30, 2019 20:25:25 --

Кстати вот тут ещё кучка изоморфизмов выписана в двух смежных разделах и для евклидова случая, и для разных псевдоевклидовых: https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_group#Accidental_isomorphisms. В частности, оставшийся из интересующих здесь сейчас — $\mathrm{Spin}(1,1)\cong \mathrm{GL}(1,\mathbb R)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение30.04.2019, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71855
Спасибо!
Но как тут стало ясно, изоморфизмы подводят. Накрытия интересней, чем изоморфизмы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы 2×2 над ℝ
Сообщение02.05.2019, 22:59 
Заслуженный участник


31/12/15
790
Между прочим, три ненулевых кватерниона $a,b,c$ лежат в одном двумерном подпространстве (четырёхмерного пространства кватернионов) если и только если
$ab^{-1}c=cb^{-1}a$
Это решает вопрос проверки коллинеарности трёх точек в $P^3$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group