Матрицы 2×2 над ℝ

[Munin]

Чтобы разобраться со сложными понятиями, можно сначала их рассмотреть на самых простых примерах.

Мотивация, слишком масштабная для сделанного

(Оффтоп)

Посмотрим на примере матриц $2\times 2$ над $\mathbb{R}$ - $\mathrm{M}(2,\mathbb{R})$ - такие понятия:
- матрицы невырожденные, вырожденные, рангов $0,1,\ldots n$
- группы, перечисленные на диаграмме

(оригинал из Википедии)


https://en.wikipedia.org/wiki/File:PSL-PGL.svg
https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_group

$$\xymatrix{ \mathrm{SZ}(\mathbb{R}^2)\cong \{\pm 1\} \ar@{^(->}[r] \ar@{^(->}[d] & \mathrm{Z}(\mathbb{R}^2)\cong \mathbb{R}^* \ar@{->>}[r]^{\det \cong z^2} \ar@{^(->}[d] & (\mathbb{R}^*)^2\cong \mathbb{R}^+ \ar@{^(->}[d] \\ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \ar@{^(->}[r] \ar@{->>}[d] & \mathrm{GL}(2,\mathbb{R}) \ar@{->>}[r]^{\det} \ar@{->>}[d] & \mathbb{R}^* \ar@{->>}[d] \\ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R}) \ar@{^(->}[r] & \mathrm{PGL}(2,\mathbb{R}) \ar@{->>}[r] & \mathbb{R}^*/(\mathbb{R}^*)^2\cong \{\pm 1\} }$$

- $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ - полная линейная группа - группа невырожденных матриц;
- $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ - специальная линейная группа - группа матриц с $\det=1$;
- $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{R})$ - проективная группа - группа проективных преобразований проективной прямой $\mathbb{RP}^1$;
- $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ - проективная специальная линейная группа;
возможно, $\mathrm{P\Gamma L}(2,\mathbb{R}),\mathrm{P\Sigma L}(2,\mathbb{R})$

Также на диаграмме:

$G\cong H$ - изоморфизм групп;     $G\hookrightarrow H$ - мономорфизм = инъективный гомоморфизм групп;     $G\twoheadrightarrow H$ - эпиморфизм = сюръективный гомоморфизм групп;
$F\hookrightarrow G\twoheadrightarrow H$ (по прямой линии) - короткая точная последовательность, то есть наложено условие, что образ первого гомоморфизма равен ядру второго гомоморфизма; частные случаи короткой точной последовательности - прямое и полупрямое произведения;
- $\mathrm{Z}(\mathbb{R}^2)$ - центр группы $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ - группа всех скалярных преобразований в $\mathbb{R}^2,$ то есть матриц, пропорциональных единичной;

центр группы есть та её часть, которая коммутирует со всей группой;
- $\mathrm{SZ}(\mathbb{R}^2)$ - центр группы $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ - группа всех скалярных преобразований с $\det=1$; она изоморфна группе всех корней 2-й степени из единицы в $\mathbb{R}$;
- $\mathbb{R}^*$ - мультипликативная группа $\mathbb{R}$ (группа обратимых действительных чисел), а $\mathbb{R}^+$ - подгруппа положительных чисел;
- $(\mathbb{R}^*)^2$ - квадраты действительных чисел, то есть в данном случае, опять положительные числа.

также интерес представляют
- $\mathrm{O}(2)$ и $\mathrm{O}(1,1)$ - ортогональные группы - группы, сохраняющие евклидово и минковское скалярное произведение;
- $\mathrm{SO}(2)$ и $\mathrm{SO}(1,1)$ - специальные ортогональные группы - с $\det=1$;
возможно, $\mathrm{Sp, PSp, GSp, PO, PSO, \Omega, S\Omega, P\Omega, PS\Omega, Pin, Spin, GO}$ и алгебра(ы) $C\ell$
(многовато как-то для начала, это всё скорее благие пожелания, записанные, чтобы не забыть; ну и приоритеты надо будет расставить).

Дальше эти выводы можно будет попытаться расширить на размерность 3 и на поле $\mathbb{C}.$

----------------

Матрицы $\mathrm{M}(2,\mathbb{R})$ задаются четырьмя действительными числами

$$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$$

- и таким образом, образуют 4-мерное действительное пространство. Бо́льшие размерности и бо́льшие поля вряд ли возможно будет визуализовать.

Рассмотрим вырожденные матрицы - $\det=ad-bc=0.$ Заодно, это множество матриц $\mathrm{rk}<2,$ причём $\mathrm{rk}=0$ - единственная точка $a=b=c=d=0.$ Множество $ad-bc=0$ - это 3-мерная гиперповерхность, коразмерности 1.

Изображение множеств в 4-мерном пространстве непросто. Попробуем зафиксировать 4-ю координату $d=\mathrm{const},$ и взять несколько сечений. Они будут $a=\tfrac{1}{d}bc$ - седловидными поверхностями, либо при $d=0$ - двумя плоскостями $bc=0.$

(Картинки сделаны при помощи https://almiur.ru/show_prog_11.html , за что спасибо её автору.)

$d=2,1,1/2,0,-1/2,-1,-2$

Из этого списка поверхностей пока не совсем ясно устройство 3-поверхности. Заметим, что $ad-bc=0$ - однородное уравнение, и потому 3-поверхность представляет собой конус с вершиной в нуле координат. Чтобы обрисовать "основание" конуса, возьмём предыдущие сечения при $d=\mathrm{const},$ и отметим на них "края" - линии пересечения этих поверхностей с 3-сферой $a^2+b^2+c^2+d^2=R^2.$ Это будут сферы $a^2+b^2+c^2=R^2-d^2.$ То есть, сферы разных радиусов для разных поверхностей. Конкретное значение $R$ безразлично, поскольку, вспоминаем, $ad-bc=0$ - однородное уравнение. И пройдёмся по разным уровням $d\in[-R,R].$

И потом, из этих "краёв" надо собрать нечто целое на 3-сфере. 3-сфера сама по себе четырёхмерна. Её придётся как-то отобразить в нашем пространстве. Например, в шаре (в "стеклянном шаре"). Радиальная координата внутри шара соответствует угловой координате "от полюса $d=R$" на 3-сфере (то есть, "широте, считая от полюса"). А обычные сферические угловые координаты внутри шара - соответствуют "координатам долготы" на 3-сфере. (https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Spherical_coordinates) И в целом, "стеклянный шар" собирается из 2-сфер возрастающего радиуса, но внешняя сфера должна быть стянута в точку. Так что, приведённую последовательность линий надо "собирать изнутри наружу", масштабируя (каждая линия уже находится на 2-сфере в 3-мерном пространстве). Покажу процесс по стадиям, обратите внимание на середину процесса, соответствующую "переходу экватора $d=0$":

Здесь подразумевается, что на конечной стадии всё опять сошлось в точку - "в полюс $d=-R$". Так что, край получившейся фигуры надо понимать как склеенную точку. Надеюсь, видно, что получился тор. Вот он, красавчик, немного с другого ракурса:

Полная же поверхность $ad-bc=0$ представляет собой конус над этим тором. Надеюсь, теперь это можно себе представить. (Каждая пара противоположных точек на этом торе соответствует прямой, проходящей через начало координат.)

Полная линейная группа - группа невырожденных матриц $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ делится на две несвязные компоненты: над тором и под тором.

(черновики)

где единичная матрица?

повернём оси координат в e=a+d, f=a-d, g=b+c, h=d-c. Поверхность $ad-bc=0$ приводится к главным осям:
$e^2-f^2-g^2+h^2=0,$ сигнатура $(2+,2-)$

[g______d]

Конкретно про визуализацию не знаю, но по детерминантным многообразиям (determinantal varieties) есть достаточно большое количество литературы, в том числе и учебной.

Тор можно увидеть немного проще, приведя к главным осям: как Вы написали, $e^2+h^2=f^2+g^2=1$ (последнее равенство можно считать верным не умаляя общности, из однородности), получаем два независимых уравнения окружности, т. е. прямое произведение двух окружностей.

[Munin]

К главным осям привести собирался, но здесь мне нравится, что остаются в явном виде конкретные элементы матрицы.

[Pavia]

Munin в сообщении #1390120 писал(а):

Матрицы $\mathrm{M}(2,\mathbb{R})$ задаются четырьмя действительными числами

$$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$$

- и таким образом, образуют 4-мерное действительное пространство.

Munin в сообщении #1390120 писал(а):

где единичная матрица?

повернём оси координат в e=a+d, f=a-d, g=b+c, h=d-c. Поверхность $ad-bc=0$ приводится к главным осям:
$e^2-f^2-g^2+h^2=0,$ сигнатура $(2+,2-)$

Единичная матрица при 0 детерминанте? Эти решения не совместимы.

[Munin]

Pavia в сообщении #1390168 писал(а):

Единичная матрица при 0 детерминанте?

Разумеется, единичная матрица не лежит на этой поверхности. Вопрос другой: где расположена единичная матрица по отношению к этой поверхности. В 4-мерном пространстве $(a,b,c,d).$ Кажется, в середине "верхней трубы".

[arseniiv]

(Мимо проходил)

Там в списке пожеланий были алгебра $C\ell$ и группы $\mathrm{Spin}$ и $\mathrm{Pin}$, но если первую представлять матричной алгеброй, это будут уже матрицы 4×4, если там ничего потом нельзя оптимизировать (не помню), ну и без подобного же использования случайных изоморфизмов группа $\mathrm{Pin}$ будет тоже из таких матриц, а вот для группы $\mathrm{Spin}$ можно будет использовать матрицы 2×2, потому что она входит в подалгебру чётных элементов алгебры $C\ell$.

[Munin]

arseniiv
Можете ли написать, какими уравнениями на элементы матрицы $2\times 2$ задаётся группа $\mathrm{Spin}$? И/или ссылку на Wikipedia, где это почитать. (Желательно и то и другое.)

[Slav-27]

Munin в сообщении #1390254 писал(а):

Можете ли написать, какими уравнениями на элементы матрицы $2\times 2$ задаётся группа $\mathrm{Spin}$?

Она изоморфна $SO(2)$. (Это следует из того, что она связна и должна её двулистно накрывать.)

[Munin]

Пока не понял. Если двулистно накрывать - то как же изоморфна.

[Slav-27]

Munin в сообщении #1390272 писал(а):

Если двулистно накрывать - то как же изоморфна.

Рассмотрим отображение $SO(2)\to SO(2)$, которое поворот на угол $t$ переводит в поворот на угол $2t$. Это гладкое накрытие и гомоморфизм групп.

[Munin]

А, $\mathrm{SO}(2)$ же - это просто колечко! Я почему-то думал про $\mathrm{SO}(3),$ с которой такой фокус не проходит.

[g______d]

Я всегда думал, что $\mathrm{Spin}(n)$ -- это универсальная накрывающая группа $\mathrm{SO}(n)$. В случае $n\ge 3$ это, действительно, двулистное накрытие. Есть ли причины распространять именно двулистность на $n=2$ -- не знаю (универсальным накрытием будет $\mathbb R$).

Википедия определяет её для $n\neq 2$.

nLab определяет по-разному (или не уточняет, что при $n=2$ универсальным накрытием она не является).

https://ncatlab.org/nlab/show/spin+group
https://ncatlab.org/nlab/show/Spin%282%29

Но, видимо, общепринятое всё-таки двулистное. Не то что бы это важный вопрос.

[arseniiv]

Munin
Собирался вывести что-то из общего клиффордского определения, но пока устанавливал ясность в голове (там одно условие по-разному выражается, но я так и не усвоил, для общего случая альтернативное условие годится или только, например, для евклидова; от этих немного по-разному идти к соотношениям), уже написали. Для нескольких небольших $n$ вам действительно должно хватить случайных изоморфизмов с более знакомыми группами.

-- Вт апр 30, 2019 20:20:22 --

Если бы я нормально ими занялся, наверняка бы всё быстренько расписал, и даже для характеристики 2, да всё лень сидеть над этим.

-- Вт апр 30, 2019 20:25:25 --

Кстати вот тут ещё кучка изоморфизмов выписана в двух смежных разделах и для евклидова случая, и для разных псевдоевклидовых: https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_group#Accidental_isomorphisms. В частности, оставшийся из интересующих здесь сейчас — $\mathrm{Spin}(1,1)\cong \mathrm{GL}(1,\mathbb R)$.

[Munin]

Спасибо!
Но как тут стало ясно, изоморфизмы подводят. Накрытия интересней, чем изоморфизмы.

[george66]

Между прочим, три ненулевых кватерниона $a,b,c$ лежат в одном двумерном подпространстве (четырёхмерного пространства кватернионов) если и только если
$ab^{-1}c=cb^{-1}a$
Это решает вопрос проверки коллинеарности трёх точек в $P^3$