2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение13.07.2019, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
george66 в сообщении #1404915 писал(а):
Плоскости в эллиптическом пространстве не замкнуты относительно операции $(abc)$
Да, это как раз занимательная вещь. Верно ли я понимаю, что если каким-то образом (даже не знаю как это пока определить) выпрямить поведение $(abc)$ (чтоб замкнутость появилась), мы внезапно получим евклидово пространство? Тогда возникнет вопрос, нельзя ли её дальше погнуть и получить гиперболическую геометрию.

(Оффтоп)

george66 в сообщении #1404915 писал(а):
Я выводил и сжимал, но прямо сейчас не хочу.
И не надо, это я сам как-нибудь сделаю когда нечего будет, но будет бумага.


-- Сб июл 13, 2019 19:51:29 --

george66 в сообщении #1404915 писал(а):
Я пытался в обратную сторону делать: начинаем с проективного пространства, в котором верна аксиома Паппа и задан поляритет (взаимно однозначное соответствие точек и плоскостей, сохраняющее инцидентность). Поляритет должен быть эллиптическим (никакая точка не лежит на своей полярной плоскости). Можно ли определить умножение точек (или сдвиги, или параллели Клиффорда)? Кажется, можно, но адски сложно.
Так, а поляритет ведь обычно предполагается проективным преобразованием между обычным пространством и пространством, состоящим из плоскостей? Какие на него можно ограничения наложить и как их выразить через операцию груды?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение13.07.2019, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
На всякий случай: «пространство, состоящее из плоскостей» — это проективизация $\wedge^m V$, где $m = \dim V - 1$. На него например переносится действие операторов $A\in\operatorname{End} V$: $\wedge^m A(\mathbf v_1\wedge\ldots\wedge\mathbf v_m) = A\mathbf v_1\wedge\ldots\wedge A\mathbf v_m$, на остальных элементах по линейности. Ещё мы можем получить оператор на этом же из оператора на том же внешней транспозицией $(A^{\wedge t} w)\wedge\mathbf v = w\wedge A\mathbf v$, где $w\in\wedge^m V$. Эти две штуки разные, и если их сделать одну за другой для матриц, получится присоединённая матрица (состоящая из алгебраических дополнений) из одной из вчерашних тем. Я не знаю, имеют ли поляритеты связь с чем-то из (проективизаций) этих операций, но кто-то может увидеть.

-- Сб июл 13, 2019 21:51:06 --

(И ещё на самом деле есть другие внешние степени, начиная со скучной 0-й, всегда единичного оператора, а эта будет $m$-й. Там оператор применяется не ко всем векторам в произведении, а только к всевозможным $k$ из них, всё суммируется. Такие отображения тоже линейны и корректно определены. Но высшая вроде чаще применима в разных местах.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение13.07.2019, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
arseniiv в сообщении #1404928 писал(а):
из одной из вчерашних тем.

Не ссылайтесь, пожалуйста, так. Через четыре года это будет невозможно прочитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение13.07.2019, 21:38 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Ещё соображения. Точка $(bab)$ есть отражение точки $a$ относительно точки $b$. Равенства

$(bab)=a$

$(aba)=b$

равносильны и означают, что либо $a=b$, либо точки $a,b$ удалены друг от друга на полпространства (такие точки называются полярными). Равносильность равенств легко проверить, если записать их в группе

$ba^{-1}b=a$

$ab^{-1}a=b$

Для полярных точек $a,b$ соответствующий поворот

$x\to ab^{-1}xa^{-1}b$

будет поворотом на 180 градусов, а элементы $ab^{-1}$ и $a^{-1}b$ инволютивными (квадрат инволютивного элемента равен единице, а сам он не равен единице, у нас это чисто мнимые кватернионы нормы единица). И вот это особый случай, поскольку поворот на 180 градусов в эллиптическом пространстве оставляет на месте не одну прямую, а две. Ещё одно, последнее усилие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение14.07.2019, 04:01 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Например, возьмём два полярных кватерниона $1,i$. Поворот на 180 градусов вокруг соединяющей их прямой выглядит так

$x\to -ixi$

Теперь возьмём два полярных кватерниона $j,k$. Поворот на 180 градусов вокруг соединяющей их прямой выглядит так

$x\to j(-k)x(-j)k$

то есть

$x\to ixi$

и это то же самый поворот, поскольку мы факторизуем по $\{1,-1\}$. Представьте себе глобус, поворачивающийся на 180 градусов. Экватор повернулся на 180 градусов. Теперь отождествим диаметрально противоположные точки сферы, экватор теперь остаётся на месте поточечно. У поворота на 180 градусов две неподвижные прямые ("ось" и "экватор"), они совершенно равноправны.
Попробуем задать прямую, проходящую через точки $1,i$. Старая формула выглядит так

$\{x\mid 1x^{-1}i=ix^{-1}1\}$

что равносильно

$\{x\mid ix=xi\}$

Но теперь под эту формулу подходят кватернионы $j,k$, поскольку они антикоммутируют с $i$, а мы факторизуем по $\{1,-1\}$ и не различаем коммутирование и антикоммутирование.
Вывод: для прямой, проходящей через две полярные точки, надо придумать другую формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение14.07.2019, 17:05 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Или вот ещё: как найти прямую пересечения двух плоскостей? Пусть плоскости заданы так

$\{x\mid (axa)=x\}$

$\{x\mid (bxb)=x\}$

Возьмём отражение относительно точки $a$, а потом отражение относительно точки $b$.

$x\to (b(axa)b)$

Композиция двух центральных симметрий есть поворот, который двигает прямую, проходящую через $a,b$ (не забываем, что она замкнута, как окружность), а полярную к ней прямую (пересечения плоскостей) оставляет на месте. Раскрыв скобки, поворот запишем так

$x\to ba^{-1}xa^{-1}b$

Множество его неподвижных точек можно записать так

$\{x\mid ax^{-1}a=bx^{-1}b\}$

опять же с оговоркой, что точки $a,b$ не должны быть полярными (в этом случае плоскости ортогональны и получается поворот на 180 градусов). В эллиптическом пространстве центральная симметрия относительно точки совпадает с отражением относительно её полярной плоскости. Если плоскости ортогональны, композиция двух отражений даёт поворот на 180 градусов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение14.07.2019, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27362
Любое четырёхмерное вращение должно быть представимо как $x\mapsto (abxcd)$ (из $x\mapsto LxR$) — может, подобрать такое, чтобы не вращало лишнего?

-- Вс июл 14, 2019 21:06:58 --

А вот $x\mapsto b^{1/2} a^{-1/2} x a^{-1/2} b^{1/2}$ — не кратчайший поворот от $a$ до $b$? Если да, можно брать его степени и применять к $a$ (или $b$) и получить прямую параметрически. Правда как выразить $b^{1/2}, a^{-1/2}$

-- Вс июл 14, 2019 21:08:44 --

Понятно, что в случае (назад к проективности) $(bab) = a$ у нас будет две равнозначные альтернативы (поворачивать от $a$ к $\pm b$), но наверно это не страшно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение14.07.2019, 21:36 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Конечно, чтобы повернуть точно от $a$ к $b$, надо брать середину отрезка $[a,b]$ (так-то получается поворот на вдвое больший угол).

А если правда не факторизовать по $\{1,-1\}$? Будет трёхмерная сфера. Дополнительная операция $-a$ (умножение на минус единицу) с аксиомами

$-(-a)=a$

$(-a)b=a(-b)=-ab$

Проективные аксиомы надо как-то ослабить. Типа: если большая окружность проходит через точку $a$, то она проходит и через точку $-a$. Через две разные точки $a,b$ проходит единственная большая окружность, если $b\neq -a$. Тогда плоскость будет задаваться так

$\{x\mid bx^{-1}b=-x\}$

если я ничего не путаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение15.07.2019, 04:41 
Заслуженный участник


31/12/15
884
На обычной плоскости или в пространстве композиция двух центральных симметрий есть сдвиг вдоль прямой, соединяющей центры симметрий, на удвоенное расстояние между ними. Аналогично, в эллиптическом пространстве получается поворот. С проективной точки зрения основная операция -- "инволютивная гомология", это как раз и есть отражение относительно точки, сохраняющее также на месте некоторую плоскость (в обычном пространстве бесконечно удалённую, а в эллиптическом - полярную плоскость к центру симметрии). Композиция двух таких отражений есть поворот, а чтобы сделать левый или правый сдвиг, надо четыре отражения. Вот почему с этой стороны мы заходить не будем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение15.07.2019, 22:58 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Чуть поясню, как устроена прямая в эллиптическом пространстве. Представьте окружность, на которой размещены числа $1,i,-1,-i$. Отождествим диаметрально противоположные точки, получим прямую в эллиптическом пространстве. Для каждой точки прямой есть полярная точка, полученная сдвигом на 90 градусов (для $1$ это $i$, для $i$ это $1$, для $(1+i)/\sqrt{2}$ это $(1-i)/\sqrt{2}$
Поворот эллиптического пространства на групповом языке в общем виде выглядит так

$x\to\alpha x\beta$

где $\alpha$ и $\beta$ сопряжённые элементы группы. Соответственно, прямая (ось поворота), задаётся так

$\{x\mid \alpha x\beta=x\}$

где $\alpha$ и $\beta$ сопряжённые, причём $\alpha^2\neq 1$ (это равносильно $\beta^2\neq 1$ и исключает тождественный поворот и повороты на 180 градусов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение15.07.2019, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9853
george66
В старой книге Гильберта я видел реализацию эллиптического пространства за авторством Бойа. Может, если через нее, то станет чуть более понятно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение15.07.2019, 23:10 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Утундрий в сообщении #1405248 писал(а):
george66
В старой книге Гильберта я видел реализацию эллиптического пространства за авторством Бойа. Может, если через нее, то станет чуть более понятно?

А не гиперболического (Лобачевского)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение15.07.2019, 23:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9853
Я имею в виду книгу "Наглядная геометрия" Д. Гильберт, С. Кон - Фоссен и рассмотренную там модель Бойа (Boy) для проективной плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение15.07.2019, 23:47 
Заслуженный участник


31/12/15
884
Утундрий в сообщении #1405258 писал(а):
Я имею в виду книгу "Наглядная геометрия" Д. Гильберт, С. Кон - Фоссен и рассмотренную там модель Бойа (Boy) для проективной плоскости.

Ой, это вряд ли. Гораздо проще представлять проективную плоскость как половину сферы, у которой отождествлены противоположные точки экватора. Выползая через экватор, мы тут же вползаем с противоположной стороны, перевернувшись вверх ногами. Аналогично, трёхмерное проективное пространство - это шар с отождествлёнными противоположными точками сферы. Вылетая из шара, мы тут же влетаем в него с противоположной стороны, перевернувшись вверх ногами. Теперь в центре шара поместим число $1$, а на сфере числа $i,-i,j,-j,k,-k$ и вообще все мнимые кватернионы нормы единица. Прямые изображаются дугами окружностей (любых), лежащих внутри шара и пересекающих сферу в диаметрально противоположных точках (диаметры тоже годятся), а также большими окружностями сферы. Плоскости изображаются кусками сфер (любого радиуса), лежащих внутри шара и пересекающих внешнюю сферу шара по большим окружностям (плюс сама внешняя сфера является плоскостью). Картинка конформная, углы настоящие (как в эллиптическом пространстве).

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы, груды и аксиоматика эллиптического пространства
Сообщение16.07.2019, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9853
Да, но я не говорил о "представить". Гораздо более интересней "реализовать".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group