===========ММ260===============Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231
ММ260 (12 баллов)
Пусть
– некоторый треугольник, точки
лежат соответственно на прямых
и
, а
– некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник
будем называть подобно-вписанным в треугольник
, если:
;
треугольник
подобен треугольнику
.
Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?
РешениеПривожу решения Дениса Овчинникова, Анатолия Казмерчука и авторское.
Обсуждение ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.
Судя по тому, что ММ260 конкурсантам понравилась, "месть" удалась.
Некоторые затруднения, возникшие у участников, оказались связаны с исследованием частного случая, когда исходный треугольник равнобедренный, но не равносторонний.
Все марафонцы заметили, что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше, чем для разносторонних, не все правильно выяснили на сколько меньше.
В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно при решении данной задачи. То, что они называются автомедианными я узнал позже, от А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил, что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан).
Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны).
Возможно, они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь.
НаградыЗа решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 13;
Денис Овчинников - 13;
Константин Шамсутдинов - 12;
Владислав Франк - 12;
Виктор Филимоненков - 11.
Эстетическая оценка задачи - 5 баллов PS: В условие ММ260 на dxdy вкралась загадочная ошибка! (Загадочная, поскольку на других площадках, где публикуются условия, ее не было. Хотя условия просто копировались.)
Второе условие в определении подобно-вписанных треугольников на здешнем форуме выглядело:
. Вместо правильного
.
При такой интерпретации у равнобедренных треугольников действительно будет больше одного подобно-вписанного вписанного (проходит пример, приведенный ниже Владом Франком). Поэтому я вернул Владу ранее изъятые баллы. В то же время, я не стал возвращать балл Виктору, поскольку его упущение не связано с опечаткой в условии (если я опять чего-то не прозевал).