Координаты вектора в аффинном пространстве

[Vladimir Pliassov]

Координаты вектора в аффинном пространстве над полем чисел целесообразно указывать не в виде чисел, а в виде разности чисел, то есть в виде разности соответствующих координат точек его начала и конца в выбранной системе координат.

Тогда сразу же видно его положение в этой системе координат, то есть, где его начало и где конец.

В трехмерном действительном аффинном пространстве возьмем две точки: $A (x_1, y_1, z_1)$ и $B (x_2, y_2, z_2)$.

Вектор $\vec {AB}$ имеет координаты $x_2-x_1, \,\, y_2-y_1, \,\, z_2-z_1$, которые целесообразно оставить в таком виде, вместо того, чтобы произвести вычитание и указать координаты в виде $a,b,c$, где $a=x_2-x_1, \,\, b=y_2-y_1, \,\, c=z_2-z_1$, поскольку, если координаты указаны в виде $a,b,c$, необходимо найти для них соответствующую систему координат, и это в общем случае будет уже другая система координат (с центром в точке $A$ и с прежним векторным базисом).

В этой новой системе координат вектор $\vec {AB}$ будет радиус-вектором.

Правильно?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488562 писал(а):

Координаты вектора в аффинном пространстве

А что это такое? В аффинном пространстве векторов нет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1488562 писал(а):

если координаты указаны в виде $a,b,c$, необходимо найти для них соответствующую систему координат, и это в общем случае будет уже другая система координат

Ну и правильно. Вектор из пространства свободных векторов - он и есть вектор. Точку при желании можно записать отдельно. А вот система записи, в которой $3 - 2$ и $1$ означают разное, выглядит странно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1488563 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1488562 писал(а):

Координаты вектора в аффинном пространстве

А что это такое? В аффинном пространстве векторов нет.

$(\textbf r-\textbf r_0, \, \textbf n)=0$ - векторное уравнение прямой (плоскости) - разве не в аффинном пространстве?

Если нет, то как называется это пространство? Ведь это не линейное пространство, в линейном пространстве векторы не могут прилагаться к разным точкам - разве нет?

-- 23.10.2020, 02:02 --

mihaild в сообщении #1488563 писал(а):

А вот система записи, в которой $3 - 2$ и $1$ означают разное, выглядит странно.

Но разве в этом нет смысла?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488564 писал(а):

$(\textbf r-\textbf r_0, \, \textbf n)=0$

А что означают все эти буквы? (объекты какого типа?)
Аффинное пространство - это множество точек, на котором определено действие векторного пространства (т.е. можно к точке прибавить вектор, и получить другую точку) так, что выполнены некоторые свойства.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1488565 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1488564 писал(а):

$(\textbf r-\textbf r_0, \, \textbf n)=0$

А что означают все эти буквы? (объекты какого типа?)
Аффинное пространство - это множество точек, на котором определено действие векторного пространства (т.е. можно к точке прибавить вектор, и получить другую точку) так, что выполнены некоторые свойства.

Это из аналитической геометрии - уравнение прямой, плоскости. В каком пространстве рассматриваются эти фигуры? Как оно называется?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488564 писал(а):

Но разве в этом нет смысла?

ИМХО на этом уровне - нет. С формулами интересно возиться ближе к основаниям, а тут, если хочется помнить несколько чисел, лучше и писать несколько чисел, не ставя между ними минус.

Vladimir Pliassov в сообщении #1488566 писал(а):

Это из аналитической геометрии - уравнение прямой, плоскости

А где именно вы это выражение взяли? Неужели в источнике не написано, про что это уравнение?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1488567 писал(а):

А где именно вы это выражение взяли? Неужели в источнике не написано, про что это уравнение?

Это из Беклемишева "КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ":

Цитата:

"П р е д л о ж е н и е 5. Пусть $x, y, z$ - компоненты вектора $r$ в декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение $(r-r_0, n)$ при $n \ne 0$ записывается линейным многочленом $Ax+By+Cz+D \,\,\, (A^2+B^2+C^2 \ne 0)$.

Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы $r_0$ и $n \ne 0$, что в заданной системе координат $Ax+By+Cz+D=(r-r_0, n)$.

Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора $r$ по базису в данное нам выражение

$$(xe_1+ye_2+ze_3-r_0, \,\,n),$$

раскроем скобки и получим многочлен $Ax+By+Cz+D$, в котором $D=-(r_0, \,\, n)$ и

$$A=(e_1, \,\,n), \,\,B=(e_2, \,\,n), \,\,C=(e_3, \,\,n). \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(13)$$

$A,B,C$ одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор $n$ не может быть ортогонален всем базисным векторам."

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488569 писал(а):

Это из Беклемишева "КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ"

Там вроде бы не слишком строгое изложение. Кажется что даже понятия векторного и аффинного пространств толком не вводятся.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1488571 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1488569 писал(а):

Это из Беклемишева "КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ"

Там вроде бы не слишком строгое изложение. Кажется что даже понятия векторного и аффинного пространств толком не вводятся.

Во всяком случае я не помню, чтобы там были слова "аффинное пространство".

Здесь http://ef.donnu-support.ru/emk/Data/BM/ ... BEKLEM.PDF на 6-7 стр. о векторах, в частности о Векторах с большой буквы - то есть, как я понимаю, о векторах векторного пространства при аффинном пространстве (о свободных векторах?).

Но как называется пространство, в котором мы живем - в математическом смысле? В нем ведь можно усмотреть и векторы векторного пространства (свободные векторы), и приложенные векторы, и точки, к которым можно прилагать векторы - разве это не аффинное пространство?

[Otta]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488573 писал(а):

Но как называется пространство, в котором мы живем - в математическом смысле?

Никак, это не математический объект.

[Vladimir Pliassov]

Otta в сообщении #1488576 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1488573 писал(а):

Но как называется пространство, в котором мы живем - в математическом смысле?

Никак, это не математический объект.

Ну а как называется пространство, в котором в аналитической геометрии рассматриваются фигуры, например, прямые и плоскости? Аффинное или какое-то другое?

[Otta]

А при чем тут пространство вообще? Вот, к примеру, доказывает аналитическая геометрия, что конические сечения представляют собой кривые второго порядка. И где тут фигурирует аффинность или векторность пространства? Суть, особенность аналитической геометрии - в методе исследования, и ни в чем более. Определить можно и векторное пространство, и аффинное, если в этом есть необходимость.

Зачем Вам понадобилось отличать аффинные пространства от векторных?

[Vladimir Pliassov]

Otta в сообщении #1488578 писал(а):

Зачем Вам понадобилось отличать аффинные пространства от векторных?

Хочу вывести их на чистую воду.

В аффинном пространстве один и тот же вектор может прилагаться к разным точкам, а в векторном и речи нет о точках к которым могут прилагаться векторы. Так?

В аналитической геометрии для определения прямой и плоскости употребляются векторы - два радиус-вектора $r, r_0$, их разность $r- r_0$, нормальный вектор $n$. Нормальный вектор не прилагается ни к какой точке, но радиус-векторы $r, r_0$ приложены, естественно, к центру координат, а их разность $r- r_0$ - к концу вектора $r_0$. Так почему же не считать это пространство аффинным? Оно, во всяком случае, больше аффинное, чем векторное.

[Otta]

Vladimir Pliassov
Оно и считается аффинным, пока от возни с точками не начинает рябить в глазах и не становится необходимо обнажить суть происходящего на векторном уровне (одна фиксированная точка погоды не делает). Посмотрите, например, учебник Моденова по аналитической геометрии. Очень долго и трепетно никто не забывает про начало и конец вектора, но потом это начинает отягощать изложение, и оно переходит уровнем выше - собственно, о векторной алгебре и методе координат.
И кроме того, и аффинности и векторности мало. Нужна метрика, нужно скалярное произведение, нужны углы. То есть, как минимум, нужна евклидовость пространства. Евклидовость определяется на векторных структурах.
Почитайте лучше, в моем пересказе книжка сильно испортится.

[Slav-27]

Например, пространство связностей на гладком многообразии аффинное, но совершенно не векторное.

Линейная алгебра изучает векторные пространства, аналитическая геометрия (предмет в вузах, науки такой нет) -- в основном аффинные и евклидовы, иногда проективные.