Координаты вектора в аффинном пространстве

[Vladimir Pliassov]

Otta в сообщении #1488581 писал(а):

Vladimir Pliassov
Посмотрите, например, учебник Моденова по аналитической геометрии.

Спасибо, уже начал искать.

-- 23.10.2020, 13:51 --

Slav-27 в сообщении #1488613 писал(а):

Линейная алгебра изучает векторные пространства, аналитическая геометрия (предмет в вузах, науки такой нет) -- в основном аффинные и евклидовы, иногда проективные.

Спасибо! Именно это я и хотел узнать, то есть что аналитическая геометрия изучает аффинные пространства.

Когда рассматривается плоскость, определяемая уравнениями $Ax+By+Cz+D=0, \,\,\,\, (\textbf r-\textbf r_0, \textbf n)=0$, она рассматривается в аффинном пространстве, верно?

Ведь, если нормальный вектор $\textbf n$ не прилагается ни к какой точке, то радиус-векторы $\textbf r, \textbf r_0$ приложены, естественно, к центру координат $O$, а их разность $\textbf r- \textbf r_0$ - к концу вектора $\textbf r_0$. Это соответствует тому, что свободные векторы в аффинном пространстве прилагаются к точкам.

А также: пусть, например, концом вектора $\textbf r$ будет точка $M$ (началом его является точка $O$), тогда $O+\textbf r=M$- это тоже операция в аффинном пространстве.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488579 писал(а):

Хочу вывести их на чистую воду.

В аффинном пространстве один и тот же вектор может прилагаться к разным точкам, а в векторном и речи нет о точках к которым могут прилагаться векторы. Так?

Vladimir Pliassov, аффинное пространство — это упорядоченная тройка $(M,L,\rightarrow)$, где $M$ — некоторое множество, $L$ — линейное пространство, а $\rightarrow$ — функция, которая каждой упорядоченной паре элементов $A,B\in M$ ставит в соответствие вектор $\overrightarrow{AB}\in L$, причём, должен выполняться определённый набор аксиом. (Ничего, что я функцию обозначил стрелочкой, а не какой-нибудь буквой?)

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1488631 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1488579 писал(а):

Хочу вывести их на чистую воду.

В аффинном пространстве один и тот же вектор может прилагаться к разным точкам, а в векторном и речи нет о точках к которым могут прилагаться векторы. Так?

Vladimir Pliassov, аффинное пространство — это упорядоченная тройка $(M,L,\rightarrow)$, где $M$ — некоторое множество, $L$ — линейное пространство, а $\rightarrow$ — функция, которая каждой упорядоченной паре элементов $A,B\in M$ ставит в соответствие вектор $\overrightarrow{AB}\in L$, причём, должен выполняться определённый набор аксиом. (Ничего, что я функцию обозначил стрелочкой, а не какой-нибудь буквой?)

Нет, все понятно. Эта функция может выражаться также как $A+\overrightarrow{AB}=B$, верно?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488622 писал(а):

то радиус-векторы $\textbf r, \textbf r_0$ приложены, естественно, к центру координат $O$, а их разность $\textbf r- \textbf r_0$ - к концу вектора $\textbf r_0$.

Этот момент в книге, на который вы ссылаетесь, прописан плохо.
Если брать строгий формализм аффинных пространств, то "радиус-векторы" Беклемишева - это точки в аффинном пространстве. А разность радиус-векторов - это свободный вектор, он ни к чему не приложен.
Это очень важный момент - "радиус-векторы" и векторы - это разные объекты из разных множеств, и к ним применимы разные операции.

Vladimir Pliassov в сообщении #1488639 писал(а):

Эта функция может выражаться также как $A+\overrightarrow{AB}=B$, верно?

Не совсем. Символа $+$ в определении Someone нет (мне больше нравится как раз вариант "есть функция $+$, которая из вектора и точки делает новую точку" - но это эквивалентно, и давайте, чтобы не было путаницы, использовать предложенное выше определение).
Если у нас уже есть функция $\rightarrow$, то можно определить функцию $+: M \times L \to M$ правилом $A + \overrightarrow v = B$, если $\overrightarrow v = \overrightarrow{AB}$. Для этого определения понадобятся некоторые из упомянутых но не выписанных аксиом - а именно, что для любой точки $A$ и вектора $\overrightarrow v$ существует единственная точка $B$ такая что $\overrightarrow v = \overrightarrow{AB}$

[Vladimir Pliassov]

mihaild

В основном сообщении я написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1488562 писал(а):

Координаты вектора в аффинном пространстве над полем чисел целесообразно указывать не в виде чисел, а в виде разности чисел, то есть в виде разности соответствующих координат точек его начала и конца в выбранной системе координат.

Тогда сразу же видно его положение в этой системе координат, то есть, где его начало и где конец.

Но потом мне пришло в голову, что есть возможность определить его положение не относительно (системы координат), а абсолютно: для этого надо просто указать точки его начала и конца, то есть обозначить его, например, как $\overrightarrow{AB}$, что и делается. (Абсолютно - потому что точки пространства, так сказать, незыблемы, они не зависят от системы координат).

Тем не менее, определение положения вектора относительно системы координат тоже имеет смысл и может быть полезно.

mihaild в сообщении #1488644 писал(а):

Если брать строгий формализм аффинных пространств, то "радиус-векторы" Беклемишева - это точки в аффинном пространстве. А разность радиус-векторов - это свободный вектор, он ни к чему не приложен.
Это очень важный момент - "радиус-векторы" и векторы - это разные объекты из разных множеств, и к ним применимы разные операции.

Пусть $\textbf r=\overrightarrow{OM}, \textbf r_0=\overrightarrow{OM_0}$ радиус-векторы с координатами, соответственно, $x,y,z$ и $x_0, y_0, z_0$, и пусть $V$ векторное пространство аффинного пространства.

Обозначим вектор $\textbf r- \textbf r_0=\overrightarrow{M_0M}$ через $\textbf u$.

Пусть его координаты будут выражены не как разность чисел, то есть не как разность соответствующих координат: $x-x_0, \,\, y-y_0, \,\, z-z_0$, - а как числа: $a,b,c$, - где $a=x-x_0, \,\, b=y-y_0, \,\, c=z-z_0$.

В таком случае, поскольку о нем известно только, что он обозначен через $\textbf u$ и что его координаты - $a,b,c$, то из этой информации мы не можем усмотреть, приложен он к какой-то точке или нет: если о векторе $\textbf u$ аффинного пространства известно только то, что его координаты - $a,b,c$, но не указано, в какой системе координат (система координат состоит из начальной точки и базиса пространства $V$, базис известен, точка нет), то этот вектор рассматривается только как вектор векторного пространства $V$ с координатами $a,b,c$ по базису пространства $V$.

Однако, если он обозначен как $\textbf r- \textbf r_0$, и при этом указано, что векторы $\textbf r, \textbf r_0$ являются радиус-векторами, то это означает, что его начало это конец вектора $ \textbf r_0$ (точка $M_0$), а его конец это конец вектора $\textbf r$ (точка $M$), то есть, что он приложен к точке $M_0$.

Если же он обозначен как $\overrightarrow {M_0M}$, то из этого обозначения непосредственно видно, что он приложен к точке $M_0$.

Верно?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488735 писал(а):

Верно?

Нет. Вектор (математический объект) - один и тот же, независимо от того, как он обозначен.
Весь смысл всей этой игры с векторами - в том, что двум разным парам точек может соответствовать один и тот же вектор, и мы можем что-то про него сказать, не думая о том, из каких точек он получился.

Vladimir Pliassov в сообщении #1488735 писал(а):

для этого надо просто указать точки его начала и конца, то есть обозначить его, например, как $\overrightarrow{AB}$, что и делается

Тут делается больше: мы не просто берем пару точек - это неинтересно, мы говорим, что некоторые пары точек экивалентны, и берем класс эквивалентности, которому принадлежит эта пара точек - и называем этот класс вектором. Класс можно задавать разными парами (и даже какими-то еще способами - например суммой двух других класов), и он не меняется, независимо от того, как он задается.

Термин радиус-вектор в этой части ИМХО крайне неудачен. Точки аффинного пространства и свободные вектора очень сильно отличаются, и важно их не смешивать.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1488742 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1488735 писал(а):

Верно?

Нет. Вектор (математический объект) - один и тот же, независимо от того, как он обозначен.
Весь смысл всей этой игры с векторами - в том, что двум разным парам точек может соответствовать один и тот же вектор, и мы можем что-то про него сказать, не думая о том, из каких точек он получился.

Vladimir Pliassov в сообщении #1488735 писал(а):

для этого надо просто указать точки его начала и конца, то есть обозначить его, например, как $\overrightarrow{AB}$, что и делается

Тут делается больше: мы не просто берем пару точек - это неинтересно, мы говорим, что некоторые пары точек экивалентны, и берем класс эквивалентности, которому принадлежит эта пара точек - и называем этот класс вектором. Класс можно задавать разными парами (и даже какими-то еще способами - например суммой двух других класов), и он не меняется, независимо от того, как он задается.

Термин радиус-вектор в этой части ИМХО крайне неудачен. Точки аффинного пространства и свободные вектора очень сильно отличаются, и важно их не смешивать.

То есть:

в материальном мире имеются треугольники: деревянный, железный, пластмассовый, - их обобщением является понятие треугольника - треугольник вообще.

В евклидовом аффинном пространстве имеются векторы: $\overrightarrow {A_1B_1}, \overrightarrow {A_2B_2}, \overrightarrow {A_3B_3}$, параллельные друг другу, одного модуля и направления, но не совпадающие, - их обобщением является вектор $\textbf v$ векторного пространства $V$, ассоциированного с этим аффинным пространством, вектор $\textbf v$ считается параллельным векторам $\overrightarrow {A_1B_1}, \overrightarrow {A_2B_2}, \overrightarrow {A_3B_3}$ и имеющим тот же модуль и направление.

Но, несмотря на то, что имеется треугольник вообще, треугольники деревянный, железный и пластмассовый также существуют, и, несмотря на то, что есть вектор $\textbf v$, векторы $\overrightarrow {A_1B_1}, \overrightarrow {A_2B_2}, \overrightarrow {A_3B_3}$ тоже есть.

Каждый из векторов $\overrightarrow {A_1B_1}, \overrightarrow {A_2B_2}, \overrightarrow {A_3B_3}$, уникален, так же как каждый из материальных треугольников, тем не менее все они имеют что-то общее, что и служит основанием для их обобщения.

Векторы $\overrightarrow {A_1B_1}, \overrightarrow {A_2B_2}, \overrightarrow {A_3B_3}$ можно назвать квазиматериальными, имея в виду параллель между ними и материальными треугольниками. Вектор $\textbf v$ квазиматериализуется в векторах $\overrightarrow {A_1B_1}, \overrightarrow {A_2B_2}, \overrightarrow {A_3B_3}$, так же как треугольник вообще материализуется в деревянном, железном и пластмассовом треугольниках.

Каждый квазиматериальный вектор, в частности, радиус-вектор, представляет собой направленный отрезок, соединяющий две точки.

Складываются и вычитаются друг из друга квазиматериальные векторы по правилу треугольника (например, при сложении конец одного совмещается с началом другого) или параллелограмма (радиус-векторы, приложенные к одной и той же точке, не могут складываться по правилу треугольника), чего нельзя сказать о векторах векторного пространства $V$ (если понятие их достаточно обобщено), которые складываются и вычитаются не по правилам треугольника и параллелограмма, а в соответствии с аксиомами (евклидова) векторного пространства.

Впрочем, что касается квазиматериальных векторов, то здесь были рассмотрены векторы-отрезки, но существуют аффинные пространства с квазиматериальными векторами другой природы, например, пространства упорядоченных наборов чисел.

Во всех аффинных пространствах векторы пространства $V$ имеют одну и ту же природу, это векторы высшей степени обобщения, взаимодействующие исключительно по аксиомам (евклидова) векторного (линейного) пространства.

Так?

Что Вы называете свободными векторами? Векторы пространства $V$?

[mihaild]

Нет, не так. Вам же Someone написал: аффинное пространство - это набор из множества точек, векторного пространства и функции, которая из пары точек делает вектор. Зачем вы придумываете велосипед?
Есть пара точек $\langle A, B\rangle$. Есть вектор $\overrightarrow{AB}$. Это разные объекты. Из пары точек можно сделать вектор, а из вектора обратно пару точек уже сделать нельзя - точно так же как по двум числам можно найти их сумму, а по сумме найти слагаемые уже нельзя.
Если $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, то $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ - это просто один и тот же объект, заданный разными способами. Точно так же как можно задать число $4$ как $2 + 2$, как $1 + 3$, $2 \cdot 2$ и даже как "наибольший вещественный корень уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$".
Если непонятно - возьмите учебник, в котором изложено подробно и строго. Например "Алгебра" Винберга.

Vladimir Pliassov в сообщении #1488755 писал(а):

Что Вы называете свободными векторами? Векторы пространства $V$?

Да.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1488758 писал(а):

Если $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, то $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ - это просто один и тот же объект, заданный разными способами.

Если не ошибаюсь, здесь есть два варианта.

1. Точка $A$ и точка $C$ это одна и та же точка, и то же самое с $B,D$, тогда речь здесь идет только о названиях точек.

2.Точка $A$ и точка $C$ это разные точки, и то же самое с $B,D$, тем не менее, пара $(A, B)$ и пара $(C, D)$ отображаются в один и тот же вектор из $V$, который обозначается $\overrightarrow{AB}$, когда в него отображается пара $(A, B)$, и $\overrightarrow{CD}$, когда в него отображается пара $(C, D)$.

Если допустимо смотреть на пару точек как на соединяющий их направленный отрезок, то при этом отрезки $AB$ и $CD$ должны быть одинаковой длины, параллельны друг другу и одинаково направлены.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488772 писал(а):

один и тот же вектор из $V$, который обозначается $\overrightarrow{AB}$, когда в него отображается пара $(A, B)$, и $\overrightarrow{CD}$, когда в него отображается пара $(C, D)$.

В этот вектор всегда отображается и пара $\langle A, B\rangle$, и пара $\langle C, D\rangle$ - отображение $\rightarrow$ "статично", и "существует целиком". Обозначение не является свойством вектора.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1488777 писал(а):

Обозначение не является свойством вектора.

Тем не менее, он должен как-то обозначаться, и, для того, чтобы указать, какая именно пара отображается в него в данном конкретном случае, можно обозначать его, например, $\overrightarrow{AB}$, когда в него отображается пара $(A, B)$, и $\overrightarrow{CD}$, когда в него отображается пара $(C, D)$.

Так?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488780 писал(а):

Так?

Нет, говорить "когда такая-то пара отображается в вектор" всё еще нельзя, вектор один и тот же и не зависит от того, как мы его получили. Для того, чтобы указать, как мы его получили, нужно это где-то отдельно написать. В сам вектор это записывать не надо, потому что тогда потеряется весь смысл абстракции.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1488782 писал(а):

Нет, говорить "когда такая-то пара отображается в вектор" всё еще нельзя,

потому что она отображается в него всегда (в данном аффинном пространстве)?

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1488783 писал(а):

она отображается в него всегда (в данном аффинном пространстве)

Что значит "всегда"? Если отображение задано, то оно задано, и каждой упорядоченной паре точек сопоставляет вектор, указанный в его определении. Или Вы имеете в виду, что если Вы сегодня вычисляете $x^2$ для $x=3$, то сегодня у Вас получается $9$, но Вы опасаетесь, что завтра может получиться что-нибудь другое?

mihaild в сообщении #1488644 писал(а):

Символа $+$ в определении Someone нет (мне больше нравится как раз вариант "есть функция $+$, которая из вектора и точки делает новую точку" - но это эквивалентно, и давайте, чтобы не было путаницы, использовать предложенное выше определение).

Если что, то я просто озвучил то определение, которое нам дал на лекции по аналитической геометрии Е. Г. Скляренко, когда я был студентом первого курса. Правда, он не употреблял слово "функция", просто говорил "каждой упорядоченной паре точек $A,B$ поставлен в соответствие вектор $\overrightarrow{AB}$".

[Slav-27]

Аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством $V$ -- это множество с заданным на нём свободным и транзитивным действием $V$, рассматриваемого как (абелева) группа. Иными словами, $V$-торсор. Может, так кому-нибудь будет проще.