Теорема Ферма (частные случаи)

[vxv]

shwedka в сообщении #1284813 писал(а):

Это означает, что причисление единицы к простым числам не было общепринятым в то время, а его надо было специально оговаривать, и оно было всего лишь временным соглашением

Уважаемая shwedka
Я, конечно же, Вам доверяю больше, но все же есть и другое мнение: https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число
Но ни то, ни другое не меняют принципиально моего отношения к гипотезе Била. Пусть будет так:
«Если мы временно причислим, придя к соглашению, единицу к простым натуральным числам, то формулировка гипотезы Била будет воспринята, как банальное утверждение (но не противоречивое)...»
Например, в системах уравнений, где натуральное $m$ четное,:
$\begin{cases}A^x+B^y=C^z\\A+B=C+2\end{cases}$ - (1)
$\begin{cases}A^n+B^n=C^{n+1}\\A+B=C+m\end{cases}$ - (2)
минимально допустимые числовые значения $A,B,C,m$ не могут быть сокращены до числовых значений $A=B=C=1$.

-- 18.01.2018, 18:33 --

P.S. Преобразование того, что не требует доказательства, в гипотезу иногда говорит о возможной ошибке или наличии недостаточно обоснованных ограничений, которые могут быть приняты за манипуляции «фактами» (особенно, когда нет желания копать глубже в поисках причины).
topic119312-15.html

[shwedka]

Вы опять цитируете, не прочтя.

Цитата:

но все же есть и другое мнение: https://ru.wikipedia.org/wiki/Простое_число

Автор виипедии ссылается на книгу Derbyshire, John (2003), "The Prime Number Theorem", Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, D.C.: Joseph Henry Press, с. 33.
ЕСли открыть эту книгу на указанной 33 странице, то написано там
Including 1 in the
primes, however, is a major nuisance, and modern mathematicians
just don't, by common agreement.
И, действительно, ничего, кроме неприятности, такое включение не дает.
(The last mathematician of any
importance who did seems to have been Henri Lebesgue, in 1899.)
И, что, Лебег как-то аргументировал?
Давайте посмотрим. Лебег опубликовал свою первую работу в 1898, затем 3 в 1899, затем 2 в 1900.
Эти статьи:

1.Sur l'approximation des fonctions, Bull. Sci. Math. 22 (1898), 278--287.
2.Sur la définition de l'aire d'une surface, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 129 (1899), 870--873.
3.Sur les fonctions de plusieurs variables, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 128 (1899), 811--813.
4.Sur quelques surfaces non réglées applicables sur le plan, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 128 (1899), 1502--1505.
5.Sur la définition de certaines intégrales de surface, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 131 (1900), 867--870.
6.Sur le minimum de certaines intégrales, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 131 (1900), 935--937.
Эти статьи легко найти в Полном Собрании сочинений Лебега и убедиться, что там вообще никаких разговоров о простых числах нет.
Вообще, во всем своем творчестве Лебег ничего о простых числах не писал.
Посему следует ссылку на Лебега остаить на совести Дербишира, а также на непроверенно сославшихся на него авторов википедии,
подобно тому, как только в 20 веке начали атрибутировать знаменитое примечание П.Ферма 1637 годом, при этом ни ранее, ни потом, никакого обоснования такой привязки никогда предъявлено не было.
Интересно, что после появления этой книги Дербишира в 2003 году появились многие десятки отсылок к нему по поводу Лебега - но никогда и нигде до того.
Похоже на то, что Дербишир спутал Анри Лебега с его дальним родственником, маргинальным числовиком Виктором Лебегом, который да, однажды (вроде бы, в 1864) написал, что ему удобно считать единицу простым.

Из серьезных математиков о 1 как о простом имеется упомнание в книге Харди,
A Course of Pure Mathematics, 6th edition, 1933, ,
где эта единица встречается в изложении Евклидова доказательства бесконечности
множества простых чисел. Однако, в следующем издании, 1938г., эта единица была удалена, так что Харди Вам не оправдание.
В других трудах Харди о единице как о простом не заикается.
ПО-видимому, Харди по недоразумению вставил 1 в первое издание, 1908г., и не обращал внимание при переработках, вплоть до 7 издания, когда кто-то ему на это несогласование указал. То, что Харди не считал 1 простым явно видно в его статье
"The Theory of Numbers" , Science (New Series, Vol. 56, No. 1450, Oct. 13, 1922, pp. 401-405)..

По-видимому, наиболее полная сводка задокументированных сведений о простоте или непростоте 1 может быть найдена в http://primes.utm.edu/notes/one.pdf








А Ваша вики безапелляционнно пишет
Цитата

Цитата:

Просто́е число́ (др.-греч. πρώτος ἀριθμός) — натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя[1]. Другими словами, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x.

Цитата:

Но ни то, ни другое не меняют принципиально моего отношения к гипотезе Била. Пусть будет так:
«Если мы временно причислим, придя к соглашению, единицу к простым натуральным числам, то формулировка гипотезы Била будет воспринята, как банальное утверждение (но не противоречивое)...»

А если мы не будем идиотничать, а как нормальные люди НЕ БУДЕМ, временно или постоянно, причислять единицу к простым числам, то ничего банального в гипотезе Била нет.

[vxv]

shwedka в сообщении #1285495 писал(а):

А если мы не будем идиотничать, а как нормальные люди НЕ БУДЕМ, временно или постоянно, причислять единицу к простым числам, то ничего банального в гипотезе Била нет.

Уважаемая shwedka!
В таком случае имеем другой вариант обоснования, но уже абсурдности гипотезы Била:
Доказательство:
Если рассматривать в примере одновременно $A,B,C$ и как целые положительные числа, и как однородные величины, то имеет место:
$\begin{cases}A^x+B^y=C^z\\A+B=C+(1)(2)\end{cases}$ - (1),
$\begin{cases}A^n+B^n=C^{n+1}\\A+B=C+m\end{cases}$ - (2),
$\begin{cases}A^n+B^n=2C^n\\A+B=C+m\end{cases}$ - (3),
$\begin{cases}C^n+C^n=2C^n\\C+C=C+m\end{cases}$ - (4), где $A=B=C=m=(1)(2)$.
Общий множитель $2$ может быть сокращен до единицы (либо принят за единицу, как единица измерения однородных величин (т.е. когда $1$ приравнивается к $2$)).
Тогда имеем:
$\begin{cases}C^n+C^n=2C^n\\C+C=C+(1)(1)\end{cases}$
То есть из двух решений имеем контрпример, в котором $A=B=C=(1)(1)$ не имеют общий простой делитель (поскольку единица не является простым числом).
Что противоречит формулировке гипотезы Била:
«Если $A^x+B^y=C^z$, где $A,B,C,x,y,z$ числа натурального ряда и $x,y,z>2$, то $A,B,C$ имеют общий простой делитель.»
То есть, гипотеза Била не верна, что и требовалось доказать.

[shwedka]

vxv в сообщении #1286440 писал(а):

Если рассматривать в примере одновременно $A,B,C$ и как целые положительные числа, и как однородные величины, то имеет место:

Ни о каких однородных величинах в гипотезе Била рерчь не идет. Это ваше личное измышление.

Цитата:

Общий множитель $2$ может быть сокращен до единицы (либо принят за единицу, как единица измерения однородных величин (т.е. когда $1$ приравнивается к $2$))

Понятие 'единицы измерения чисел' отсутствует. 1 не может приравниваться к 2, поскольку это неравные числа.

vxv в сообщении #1286440 писал(а):

$\begin{cases}A^x+B^y=C^z\\A+B=C+(1)(2)\end{cases}$ -

Обозначение (1)(2) не определено.

[vxv]

У Била речь идет о натуральных $A,B,C$, а не просто целых числах. Поэтому ничто не запрещает считать $A,B,C$ однородными величинами или считать их натуральными параметрами (когда это необходимо).
«Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина называется параметр.»
«Численное значение величины показывает, во сколько раз заданная величина больше или меньше величины, принятой за единицу.»
«Однородными являются такие величины, которые имеют одинаковые единицы измерения.»
То есть единица измерения для заданных величин – снова величина, принятая за единицу (в нашем случае, общий множитель - число). То есть численные значения заданных величин и величины, принятой за единицу, – числа.
(ИМХО)

[vxv]

У Ферма речь тоже идет о натуральных $A,B,C$ . Поэтому теорему (гипотезу) Ферма легко сформулировать так:
«Ни для каких положительных целых чисел (из множества их численных значений) $a,b,c,k$ и $n>2$, удовлетворяющих равенству:
$(ak)^n +(bk)^n=(cx)^n$ ,
численное значение $x$ не может быть равным численному значению $k$.»
Или, что то же самое:
«Ни для каких положительных целых чисел (из множества их численных значений) $a,b,c$ и $n>2$, удовлетворяющих равенству:
$a^n+b^n=(c^n)(x^n)$,
численное значение $x$ не может быть равным $x=1$ или $x^n=1^n$.»
Что означает:
числа $A=ak,B=bk,C=cx$ не являются одновременно натуральными числами (то есть однородными величинами) в равенстве:
$A^n + B^n =C^n$ , где $n>2$ ,
поскольку не имеют общего множителя-делителя $k$ (численного значения величины, принятой за единицу).

-- 26.08.2019, 10:21 --

в сообщении #764047 писал(а):

Дано: Если $a$,$b$,$c$ целые числа, для уравнения:
$a^2+b^2=c^2$ (1),
то при любых целых $k$ и $n=2$ значения $a$, $b$, $c$ для (2) и (3) те же, что и в (1):
$(a/k)^2+(b/k)^2=(c/k)^2$ (2)
$(ak)^2+(bk)^2=(ck)^2$ (3)
Аналогично при $n$ больше 2 для уравнений:
$a^n+b^n=c^n$ (4)
$(a/k)^n+(b/k)^n=(c/k)^n$ (5)
$(ak)^n+(bk)^n=(ck)^n$ (6)

-- 26.08.2019, 10:31 --

Вот только эта цитата не от Deggial. topic75889.html

[binki]

vxv в сообщении #1286440 писал(а):

Если рассматривать в примере одновременно $A,B,C$ и как целые положительные числа, и как однородные величины, то имеет место:
$A+B=C+m$ - (2),

$m=((A+B)-C)$ и не определяется другими соотношениями. Поэтому можем написать тождество

$$A+B=C+((A+B)-C)$$

Которое не дает ни какого математического инструмента для преобразований уравнений Ферма и Била. Все преобразования не доказаны.

[vxv]

Величина и четность $m$ и для «уравнений» Ферма, и для уравнения Била определяется соотношениями в системах:
Для Ферма ($x=y=z=n$) -
$\begin{cases}A^x+B^y=C^z\\A+B=C+m\end{cases}$,
где имеет место только $A+B=C+m$.
Для Била-
$\begin{cases}A^x+B^y=C^z\\A+B=C\pm\ m\end{cases}$
Здесь имеет место $A+B=C\pm\ m$
(то есть допускаются неравенства и $A+B>C$, и $A+B<C$).

Например, для натуральных $A<B<C$ и $x=y=z=n$ (теорема Ферма):
$A^3+B^3=C^3$,
${A^3}/{A^2} + {B^3}/{B^2}>{C^3}/{C^2}$,
$A+B>C$,
$A+B=C+m$,
где $0<m<A<B<C$ - натуральные (целые неотрицательные) числа.

binki в сообщении #1413577 писал(а):

$m=((A+B)-C)$ и не определяется другими соотношениями.

[vxv]

Для справки (чтобы не искать):
«Гипотеза Била является обобщением последней теоремы Ферма. Он утверждает: Если $A^x+B^y=C^z$ , где $A,B,C,x,y,z$ -положительные целые числа, а $x,y,z$ -все больше $2$, то $A,B$ и $C$ должны иметь общий простой множитель.»
http://www.ams.org/profession/prizes-aw ... beal-prize
Оригинальный текст: Beal's conjecture is a generalization of Fermat's Last Theorem. It states: It states: If Ax + By = Cz, where A, B, C, x, y and z are positive integers and x, y and z are all greater than 2, then A, B and C must have a common prime factor.

[Valprim]

vxv в сообщении #1486391 писал(а):

Оригинальный текст: Beal's conjecture is a generalization of Fermat's Last Theorem. It states: It states: If Ax + By = Cz, where A, B, C, x, y and z are positive integers and x, y and z are all greater than 2, then A, B and C must have a common prime factor.

Уважаемый vxv
С легкой руки этой популярной статьи из одной статьи в другую (на английском) стала кочевать ошибка "have a common prime factor" -иметь общий простой делитель.
Поэтому надо доверяться более серьёзным статьям. Например,
A Generalization of Fermat’s Last Theorem The Beal Conjecture and Prize Problem
R. Daniel Mauldin
The Beal Conjecture Let A, B, C, x, y, and z be positive integers with x, y, z > 2. If Ax + By = Cz, then A, B, and C have a common factor. (....иметь общий делитель).

Если $x,y,z$ разные, то сразу видно $A^xp^x+B^yp^y=C^zp^z$ просто не существует в целых $A,B,C$ при простом делителе $p$. Простой делитель и вообще ни какой не может существовать и для случая Ферма (показатели равны) появился бы бесконечный спуск.
Правильнее утверждать, что степени $A^x, B^y, C^z$ должны иметь общий делитель.

[vxv]

Valprim в сообщении #1486415 писал(а):

Поэтому надо доверяться более серьёзным статьям.

Пожалуй, процитирую сначала shwedka, а потом уже своими словами:

shwedka в сообщении #1285495 писал(а):

А если мы не будем идиотничать, а как нормальные люди НЕ БУДЕМ, временно или постоянно, причислять единицу к простым числам, то ничего банального в гипотезе Била нет.

Замена в формулировке гипотезы Била «… простой общий множитель» на только «… общий множитель» сразу обессмысливает гипотезу Била, поскольку и натуральные решения, и их степени $A^x,B^y,C^z$ всегда имеют общий (не простой) множитель (делитель) – единицу.
Такая замена – недопустима (нечего будет доказывать).

[Valprim]

vxv в сообщении #1486545 писал(а):

и их степени $A^x,B^y,C^z$ всегда имеют общий (не простой) множитель (делитель) – единицу.

Обычно тривиальные случаи в серъёзных формулировках опускают. В теореме Ферма также существует тривиальное нулевое решение, но в формулировке теоремы оно никогда не упоминается.
Приведите пример решения уравнения Била с простым делителем.

[Iosif1]

Valprim в сообщении #1486552 писал(а):

Приведите пример решения уравнения Била с простым делителем.

Вас устроит такое уравнение Била с общими сомножителями в бесконечном варианте;

$$(Q^n \cdot m^n-q^n \cdot m^n)^n \cdot q^n\cdot m^n+ (Q^n \cdot m^n- q^n \cdot m^n)^{n+1}= (Q^n \cdot m^n- q^n \cdot m^n)^n \cdot Q^n\cdot m^n$$

?

[Valprim]

Iosif1 в сообщении #1490407 писал(а):

Вас устроит такое уравнение Била с общими сомножителями в бесконечном варианте;

$$(Q^n \cdot m^n-q^n \cdot m^n)^n \cdot q^n\cdot m^n+ (Q^n \cdot m^n- q^n \cdot m^n)^{n+1}= (Q^n \cdot m^n- q^n \cdot m^n)^n \cdot Q^n\cdot m^n$$

Нет. Общий делитель $(Q^n \cdot m^n- q^n \cdot m^n)^n$ не простое число.

[Iosif1]

Valprim в сообщении #1490421 писал(а):

Нет. Общий делитель $(Q^n \cdot m^n- q^n \cdot m^n)^n$ не простое число.

Общий делитель m- простое.
Таких простых чисел в натуральном ряде чисел хватает.