ЭМ маятник

[dovlato]

Жёсткому сверхпроводящему контуру с индуктивностью $L$ и с массой $m$
предоставлена возможность поступательного перемещения вдоль оси $0x$ без трения.
Контур находится во внешнем стационарном магнитном поле, которое создаёт
магнитный поток в контуре $\Phi(x)$. Найти частоту малых колебаний контура.

[Ignatovich]

(Оффтоп)

$\omega=\left\lvert\frac{d\Phi}{dx}\right\rvert$/$\sqrt{mL}$

[dovlato]

Ignatovich аналогично.
Кстати, заодно. Допустим, контур присоединён к пружине, образуя пружинный маятник,
собственная частота которого в отсутствие магнитного поля $\Omega$.
Найти $\omega$ при включённом поле.

[Ignatovich]

Dovlato, по мотивам вашей задачи придумалась такая:

Жесткий сверхпроводящий контур индуктивностью L и массой m может поступательно перемещаться вдоль вертикальной оси X без трения. Контур находится в стационарном неоднородном магнитном поле. В положении устойчивого равновесия в контуре протекает ток i. Определите частоту малых колебаний контура вблизи этого положения.

[dovlato]

Да, поскольку

$$I\frac{d\Phi}{dt}=mg$$

Появится 2я производная. Но тогда потребуется механизм поддержки постоянства тока.

[DimaM]

dovlato в сообщении #1477505 писал(а):

Кстати, заодно. Допустим, контур присоединён к пружине, образуя пружинный маятник,
собственная частота которого в отсутствие магнитного поля $\Omega$.
Найти $\omega$ при включённом поле.

Из общих соображений, без вычислений

$$\omega=\sqrt{\Omega^2+k/m}.$$

[svv]

Тут, вероятно, $k$ — это не жёсткость пружины, а эквивалентная жёсткость контура в неоднородном поле без пружины.

[rascas]

dovlato в сообщении #1477603 писал(а):

поскольку

$$I\frac{d\Phi}{dt}=mg$$

Эта формула не правильная. Не проходит проверку по размерности.

[dovlato]

Прошу прощения за описку; разумеется, там производная, как и в исходной задаче, по $x$,
that is $d\Phi/dx$.

[Ignatovich]

Ignatovich в сообщении #1477567 писал(а):

Dovlato, по мотивам вашей задачи придумалась такая:

Жесткий сверхпроводящий контур индуктивностью L и массой m может поступательно перемещаться вдоль вертикальной оси X без трения. Контур находится в стационарном неоднородном магнитном поле. В положении устойчивого равновесия в контуре протекает ток i. Определите частоту малых колебаний контура вблизи этого положения.

Я получил простой ответ в этой задаче.

[dovlato]

Кстати, ситуации в принципе не приводимы друг к другу.
Если в исходной задаче частота пропорциональна первой производной потока,
то в вашем случае уже пропорциональность второй пространственной производной.

[svv]

По задаче Ignatovich (СГС).

$z$-проекция силы Ампера, действующей на контур, с учётом $\operatorname{div}\mathbf B=0$ равна $\frac 1 c I\Phi'(z)$. (Эта формула общая для обеих задач.)

Ток $I$ определяется требованием, чтобы полный поток магнитного поля через контур сохранялся. Поэтому ток зависит только от $z$:
$\frac 1 c LI(z)+\Phi(z)=\operatorname{const}$
Отсюда сила Ампера равна $-\frac {L}{c^2}I(z) I'(z)$.

Уравнение движения
$m\ddot z=-\frac {L}{c^2}II'-mg$

Пусть $z=0$ точка равновесия. При малых отклонениях $I(z)=I_0+zI'_0, \; I'(z)=I'_0$. Подставим это в уравнение движения и перенесём в левую часть переменные слагаемые, в правую постоянные:
$\ddot z+\frac {L(I'_0)^2}{mc^2} z=-\frac {L I_0 I'_0}{mc^2}-g$

Пусть контур неподвижен в точке равновесия. Тогда левая часть уравнения нулевая $\Rightarrow$ правая тоже. Но т.к. в правой части только не зависящие от характера движения константы, она равна нулю тождественно. Отсюда
$I'_0=-\frac {mgc^2}{LI_0}$
и
$\omega=\sqrt{\frac {L(I'_0)^2}{mc^2}}=\frac {gc}{|I_0|}\sqrt{\frac m L}$

[dovlato]

В такой постановке - когда величина тока определяется условием сохранения магнитного потока - я не вижу физических отличий от исходной задачи (ИЗ). В самом деле, т.к. для точки равновесия выполняется (простите, мне в СИ проще)

$$I_0|\frac{d\Phi}{dx}|=mg$$

то отсюда сразу следует, что ответ в ИЗ сводится к только что полученному svv.
Тогда как если, например, зафиксировать значение тока, то приходим уже к колебательному уравнению для малых колебаний

$$m\ddot{x}+I_0|\frac{d^2\Phi}{dx^2}|x=0$$

где возникает 2-я производная от потока.

[Ignatovich]

svv в сообщении #1477744 писал(а):

Пусть $z=0$ точка равновесия. При малых отклонениях $I(z)=I_0+zI'_0, \; I'(z)=I'_0$. Подставим это в уравнение движения и перенесём в левую часть переменные слагаемые, в правую постоянные:
$\ddot z+\frac {L(I'_0)^2}{mc^2} z=-\frac {L I_0 I'_0}{mc^2}-g$

Если действовать аккуратнее и принять $\ I'(z)=I'_0+zI''_0$, то в уравнении будет дополнительное слагаемое, линейное по $\ z$. Видимо, об этом пишет dovlato.

[svv]

Да, Вы правы, это слагаемое я прохлопал.