4arodej писал(а):
Докажите, что любое рациональное число можно представить в виде
![x^3+y^3+z^3 x^3+y^3+z^3](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/e/93e257262deb20ff29fa6681f28259d882.png)
,
где
![x,y,z x,y,z](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/b/78b70da0fb6369f45abaccaaef4cabe982.png)
- рациональные
Для произвольного рационального числа
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
будем искать рациональные решения уравнения
________
______________________________(1).
Сделаем замену переменных на
![$p, q, m: x=p+q, y=p-q, z=m-2p$ $p, q, m: x=p+q, y=p-q, z=m-2p$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/2/0a22264298af58c52b3a5a043e05793382.png)
. Подставляем эти выражения в исходное уравнение (1) и получаем после раскрытия скобок и сбора подобных членов уравнение относительно
![$p, q, m$ $p, q, m$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/b/beb7abbb559f33c8db9cb9c37b6d8f1182.png)
:
________
________(2).
Положим
![$p=av^2/6 $ $p=av^2/6 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/d/70d5cf9ea6029e173b53960e6764340682.png)
. Тогда правая часть (2) есть
________
_______________(3)
Исходя из вида левой части (2), хочется добиться того, чтобы и правая часть его, т.е. (3) была бы полным квадратом. Нетрудно догадаться, что она будет квадратом выражения
![$av-av^2(m-av^2/6)$ $av-av^2(m-av^2/6)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/c/c2c18ce3755b18e0a2c6002c05c82f1a82.png)
при
________
_________________________ (4).
Чтобы обеспечить выполнение (4), введем еше один параметр
![$d: m=dv$ $d: m=dv$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/a/3ea1ffd43a9fb3bebc33a12bc00e1b5782.png)
.
Теперь мы можем выразить
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
через
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
: из (4)
![$d^3v^3=2av(dv-aV^2/6) \Rightarrow v=6ad/t $ $d^3v^3=2av(dv-aV^2/6) \Rightarrow v=6ad/t $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/0/bd0dfc7b7a98297774b684dc87c57a2882.png)
, где
![$t=3d^3+a^2 $ $t=3d^3+a^2 $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/7/4878c6b8de587457e469c79c005bd11082.png)
.
Теперь, извлекая кв. корень из обеих сторон (2), получаем последовательно выражение в терминах
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
для
![$q$ $q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/c/d5c18a8ca1894fd3a7d25f242cbe889082.png)
и, окончательно, для
![$ x, y, z $ $ x, y, z $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/0/4400d45d0652f6dd3e10c7191fa1b2d282.png)
(помня, что
![$p=av^2/6$ $p=av^2/6$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/f/09fcfc01a1ae626501e52b9f51e755da82.png)
):
________
________
________![$z=(6adt^2-12a^3d^2)/t^2 $ $z=(6adt^2-12a^3d^2)/t^2 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95d23d4cbea2a4c452ba45e6e4e639c082.png)
.
Беря различные значения параметра
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
, для данного
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
получим различные разложения числа
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
в сумму трех кубов рациональных чисел.