2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 27  След.
 
 
Сообщение18.02.2006, 14:35 


28/12/05
160
Руст писал(а):
К тому же пропустили 1, т.е должно быть (при вашей записи) a+(a-1)/2005 .

Извините я сначало не посмотрел на ваше решение и написал своего ответа!

 Профиль  
                  
 
 Вот решение, правда, несколько искусственное:
Сообщение20.02.2006, 10:33 


24/05/05
278
МО
4arodej писал(а):
Докажите, что любое рациональное число можно представить в виде x^3+y^3+z^3,
где x,y,z - рациональные


Для произвольного рационального числа $a$ будем искать рациональные решения уравнения
________$a=x^3+y^3+z^3 $______________________________(1).
Сделаем замену переменных на $p, q, m: x=p+q, y=p-q, z=m-2p$. Подставляем эти выражения в исходное уравнение (1) и получаем после раскрытия скобок и сбора подобных членов уравнение относительно $p, q, m$:
________$36p^2q^2=6ap-6pm^3+36p^2(m-p)^2 $________(2).
Положим $p=av^2/6 $. Тогда правая часть (2) есть
________ $a^2v^2-av^2m^3+a^2v^4(m-p)^2 $ _______________(3)
Исходя из вида левой части (2), хочется добиться того, чтобы и правая часть его, т.е. (3) была бы полным квадратом. Нетрудно догадаться, что она будет квадратом выражения $av-av^2(m-av^2/6)$ при
________$m^3=2av(m-av^2/6)$_________________________ (4).
Чтобы обеспечить выполнение (4), введем еше один параметр $d: m=dv$.
Теперь мы можем выразить $v$ через $d$: из (4) $ \Rightarrow $ $d^3v^3=2av(dv-aV^2/6) \Rightarrow v=6ad/t $, где $t=3d^3+a^2 $.
Теперь, извлекая кв. корень из обеих сторон (2), получаем последовательно выражение в терминах $d$ для $q$ и, окончательно, для $ x, y, z $ (помня, что $p=av^2/6$):
________$x=[(9d^6-30a^2d^3+a^4)t+72a^4d^3]/6adt^2 $
________$y=[(30a^2d^3-9d-a^4)t+72a^4d^3]/6adt $
________$z=(6adt^2-12a^3d^2)/t^2 $.

Беря различные значения параметра $d$, для данного $a$ получим различные разложения числа $a$ в сумму трех кубов рациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.02.2006, 15:25 


31/01/06
5
Нашел красивое решение одной школьной задачи (x^2-1)*\sqrt{x+2}=1
Она не так проста: возведением в квадрат и разложением на множители решить не получится (школьными методами), получится квадратное и кубическое уравнение.

 Профиль  
                  
 
 система
Сообщение21.02.2006, 14:22 


20/01/06
107
Решить систему \left\{\begin{array}{cc}(y-1)(xy-2x+y-1)=& 4x^2+4x+2,\\
y+3x=4(x+1)^3\end{array}\right.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2006, 08:18 


28/12/05
160
Известно что F(x) строго возрастающая функция в интервале (a,b).
Можно ли считать, что эта функция дифференцируемая?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2006, 08:43 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Можно сказать, что она дифференцируема всюду за исключением точек меры 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2006, 10:26 


28/12/05
160
Руст писал(а):
Можно сказать, что она дифференцируема всюду за исключением точек меры 0.

1) Как можно доказать?
2) если функция всюду дифференцируема за исключением точек меры 0 можно ли проинтегрироват по частям интеграл $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2006, 13:25 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Всё это подробно расписано в учебнике Колмогоров, Фомин "Функциональный анализ" (не ручаюсь за точность названия всем известного учебника).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.03.2006, 09:11 


28/12/05
160
Можно ли найти всеx $n$ для которых $2^n+3$ и $2^n+5$ одновременно являются простыми числами?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.03.2006, 13:04 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Вероятностные соображения говорят что их конечно (когда речь идёт о простоте только одного бесконечно). Но можно и просто показать, что при n>1 для того, чтобы ни одно из них не делилось ни на 3 ни на 5 должно быть n=3(mod 4). Для того, чтобы эти числа не делились на 7 должно быть n=3(mod 12). Но при n=3 (а значит и при n=3(mod 12)) второе число делится на 13. Поэтому кроме n=1 и n=3 других решений нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2006, 11:47 


27/03/06
24
Построить треугольник по заданным центрам вписанной,описанной и вневписанной окруж.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2006, 11:54 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12072
Эта задача была когда-то на Соросовской олимпиаде - лет 8-9 назад.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2006, 14:37 


27/03/06
24
Эту задачу я решал в 1977 году.Взял ее из одного хитрого задачника.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2006, 12:27 


21/11/05
19
Шымкент, Казахстан
Смотрите в задачник Моденова и др. "Сборник задач по спец. разделам элементарной математки " там подробнее решены задачи такого типа!!! :D :D :D :D :arrow: :arrow:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.05.2006, 18:37 
Аватара пользователя


15/05/06
3
Народ, помогите, пожалуйста решить!
(1-ctg x)^2006 + 4(1+ctg x)^2004 2^2006
Буду очень признателен! :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 401 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 27  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group