Нестандартные задачи

[student]

Руст писал(а):

К тому же пропустили 1, т.е должно быть (при вашей записи) a+(a-1)/2005 .

Извините я сначало не посмотрел на ваше решение и написал своего ответа!

[sceptic]

4arodej писал(а):

Докажите, что любое рациональное число можно представить в виде x^3+y^3+z^3,
где x,y,z - рациональные

Для произвольного рационального числа $a$ будем искать рациональные решения уравнения
________$a=x^3+y^3+z^3 $______________________________(1).
Сделаем замену переменных на $p, q, m: x=p+q, y=p-q, z=m-2p$. Подставляем эти выражения в исходное уравнение (1) и получаем после раскрытия скобок и сбора подобных членов уравнение относительно $p, q, m$:
________$36p^2q^2=6ap-6pm^3+36p^2(m-p)^2 $________(2).
Положим $p=av^2/6 $. Тогда правая часть (2) есть
________ $a^2v^2-av^2m^3+a^2v^4(m-p)^2 $ _______________(3)
Исходя из вида левой части (2), хочется добиться того, чтобы и правая часть его, т.е. (3) была бы полным квадратом. Нетрудно догадаться, что она будет квадратом выражения $av-av^2(m-av^2/6)$ при
________$m^3=2av(m-av^2/6)$_________________________ (4).
Чтобы обеспечить выполнение (4), введем еше один параметр $d: m=dv$.
Теперь мы можем выразить $v$ через $d$: из (4) $ \Rightarrow $ $d^3v^3=2av(dv-aV^2/6) \Rightarrow v=6ad/t $, где $t=3d^3+a^2 $.
Теперь, извлекая кв. корень из обеих сторон (2), получаем последовательно выражение в терминах $d$ для $q$ и, окончательно, для $ x, y, z $ (помня, что $p=av^2/6$):
________$x=[(9d^6-30a^2d^3+a^4)t+72a^4d^3]/6adt^2 $
________$y=[(30a^2d^3-9d-a^4)t+72a^4d^3]/6adt $
________$z=(6adt^2-12a^3d^2)/t^2 $.

Беря различные значения параметра $d$, для данного $a$ получим различные разложения числа $a$ в сумму трех кубов рациональных чисел.

[durapy]

Нашел красивое решение одной школьной задачи (x^2-1)*\sqrt{x+2}=1
Она не так проста: возведением в квадрат и разложением на множители решить не получится (школьными методами), получится квадратное и кубическое уравнение.

[4arodej]

Решить систему \left\{\begin{array}{cc}(y-1)(xy-2x+y-1)=& 4x^2+4x+2,\\ y+3x=4(x+1)^3\end{array}\right.

[student]

Известно что F(x) строго возрастающая функция в интервале (a,b).
Можно ли считать, что эта функция дифференцируемая?

[Руст]

Можно сказать, что она дифференцируема всюду за исключением точек меры 0.

[student]

Руст писал(а):

Можно сказать, что она дифференцируема всюду за исключением точек меры 0.

1) Как можно доказать?
2) если функция всюду дифференцируема за исключением точек меры 0 можно ли проинтегрироват по частям интеграл $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

[Руст]

Всё это подробно расписано в учебнике Колмогоров, Фомин "Функциональный анализ" (не ручаюсь за точность названия всем известного учебника).

[student]

Можно ли найти всеx $n$ для которых $2^n+3$ и $2^n+5$ одновременно являются простыми числами?

[Руст]

Вероятностные соображения говорят что их конечно (когда речь идёт о простоте только одного бесконечно). Но можно и просто показать, что при n>1 для того, чтобы ни одно из них не делилось ни на 3 ни на 5 должно быть n=3(mod 4). Для того, чтобы эти числа не делились на 7 должно быть n=3(mod 12). Но при n=3 (а значит и при n=3(mod 12)) второе число делится на 13. Поэтому кроме n=1 и n=3 других решений нет.

[КАЗАКОВ]

Построить треугольник по заданным центрам вписанной,описанной и вневписанной окруж.

[photon]

Эта задача была когда-то на Соросовской олимпиаде - лет 8-9 назад.

[КАЗАКОВ]

Эту задачу я решал в 1977 году.Взял ее из одного хитрого задачника.

[rashid]

Смотрите в задачник Моденова и др. "Сборник задач по спец. разделам элементарной математки " там подробнее решены задачи такого типа!!!

[Wildcreature]

Народ, помогите, пожалуйста решить!
(1-ctg x)^2006 + 4(1+ctg x)^2004 2^2006
Буду очень признателен!