Нестандартные задачи

[Руст]

Можно и в натуральных числах (ответ тот же) (2,3) и (2,7).

[student]

Руст писал(а):

Можно и в натуральных числах (ответ тот же) (2,3) и (2,7).

ну как можно решить?

[Руст]

Рассмотрите вначале случай, когда одно из чисел не превосходит 3 (подставляя значения x=1,2,3 а потом y=1,2,3). Далее при x>=4,y>=4 справа положительное выражение, поэтому y>x>=4. При этом выражение слева является более быстро растущей функцией при любом фиксированном х чем слева, т.е. даже при y=x+1 значение слева больше, чем справа.

[student]

Руст писал(а):

Рассмотрите вначале случай, когда одно из чисел не превосходит 3 (подставляя значения x=1,2,3 а потом y=1,2,3). Далее при x>=4,y>=4 справа положительное выражение, поэтому y>x>=4. При этом выражение слева является более быстро растущей функцией при любом фиксированном х чем слева, т.е. даже при y=x+1 значение слева больше, чем справа.

Извините! я не очень хорошо понял! почему y>x?

[4arodej]

Сколько корней имеет уравнение$[x]-2005*\{x\}=2006$?

[Cube]

405

[Руст]

x^y-y^x>0 и x>=e,y>=e двет y>x, так как функция x^(1/x) убывает при x>e.
Очевидно, что x=n+m/20005, m=0,1,...,2004. Отсюда решение x=2006+(2005+1/2005)m, m=0,1,...,2004 (всего 2005 решений).

[Cube]

Руст писал(а):

...Отсюда решение x=2006+(2005+1/2005)m, m=0,1,...,2004 (всего 2005 решений).

$$m=125$$ $$x=2006+125(2005+\frac{1}{2005})=2006+125\cdot2005+\frac{125}{2005}=2006+125\cdot2005+\frac{25}{401}$$ $$2006+125\cdot2005-2005\cdot\frac{25}{401}=2006+125\cdot2005-5\cdot25\neq2006$$

Наверное, всё же меньше.

[незваный гость]

Cube писал(а):

Наверное, всё же меньше.

У Руст'а скобочки потеряны: 2006+m(1+1/2005), m = 0..2004. Все же 2005.

[Руст]

нет не скобку потерял, а добавок целой части лишний раз умножил на 2005.

[Cube]

незванный гость писал(а):

:evil:

Cube писал(а):

Наверное, всё же меньше.

У Руст'а скобочки потеряны: 2006+m(1+1/2005), m = 0..2004. Все же 2005.

Точно. Ошибся.

[4arodej]

Докажите, что любое рациональное число можно представить в виде x^3+y^3+z^3,
где x,y,z - рациональные

[student]

4arodej писал(а):

Сколько корней имеет уравнение$[x]-2005*\{x\}=2006$?

Ответ: $x=a+\frac{a-1}{2005},\hbox{для всех натуральных}\ a\in [2006,4011)$
2005-корней!

[Руст]

А что изменилось от сдвига a=2006+k (k=0,...)?

[Руст]

К тому же пропустили 1, т.е должно быть (при вашей записи) a+(a-1)/2005 .