Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Yury_rsn]

Подскажите плиз кто знает, известно ли решение такой задачи -
Возьмем последовательные праймориалы и для каждого из них выпишем взаимно простые с ним числа. (систему вычетов)
$2 \cdot3 \cdot5$ - вычеты $1,7,11,13,17,19,23,29$
$2 \cdot3 \cdot5 \cdot7$ - $1, 11, 13,17, ...$
...
И рассмотрим интервалы между соседними числами в этих последовательностях -
Для $2 \cdot3 \cdot5$ - это $6, 4, 2, 4, 2, 4, 6$
Для $2 \cdot3 \cdot5 \cdot7$ - $10,2,4,2, ...$
И т.д.
Для случая $5\#$ - максимальный интервал равен $6$, для $7 \#$ - максимальное значение $10$.

Вопрос - как найти значение величины максимального интервала между соседними членами этих последовательностей - в зависимости от конкретного праймориала?
Например, чему равно максимальное расстояние между соседними числами при $23 \#$ ?

[Dmitriy40]

Если я нигде не ошибся в программе, то для $23\#$ значение будет $40$. А для $29\#$ будет $46$.
И все они приведены в A048670. Возможно по ссылкам оттуда можно и идею вычисления взять.

[kotenok gav]

Немного не понимаю... А почему для $11\#$ не $12$, а $14$? Вот взаимнопростые числа: $1, 13, 17, 19, \ldots$, вот интервалы: $12, 4, 2, \ldots$...

[svv]

Вы наверняка знаете про небольшую аномалию, ошибку природы , которая заключается в том, что между $113$ и $127$ нет ни одного простого числа. Остаётся проверить, что все числа, которые «между», не взаимно просты с $2 \cdot3 \cdot5 \cdot7\cdot11$ (проверка: $13\cdot 13>126$)

[kotenok gav]

А, понял, почему-то думал, что первый промежуток всегда наибольший...

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1472458 писал(а):

Если я нигде не ошибся в программе, то для $23\#$ значение будет $40$. А для $29\#$ будет $46$.
И все они приведены в A048670. Возможно по ссылкам оттуда можно и идею вычисления взять.

Спасибо!
Я не очень с английским... , даже с переводчиком. (
Что это значит - функция Якобсталя, примененная к праймориалу?

это вычислительные данные, а не полученные из каких-то теоретических построений?

[Dmitriy40]

Я без понятия, написал программку что выдала первые несколько значений и поискал их в OEIS. И нашёл.
Процесс очень похож на поиск простых решетом Эратосфена, но как оттуда выцепить интервалы не представляю.

-- 05.07.2020, 23:31 --

Добавлю где обнаружились максимальные разности:
$11\#:113+14$
$13\#:9439+22$
$17\#:217127+26$
$19\#:60043+34$
$23\#:20332471+40$
$29\#:417086647+46$
Впрочем оказывается эти числа (точнее на 1 больше) есть в самой последовательности OEIS в разделе Links под именем "Robert Gerbicz, Table of n, a(n), u(n) for n=1..57, where every integer from [u(n),u(n)+a(n)-2] is divisible by at least one of the first n primes. Note that u(n) is not unique."

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1472498 писал(а):

Я без понятия, написал программку что выдала первые несколько значений и поискал их в OEIS. И нашёл.
Процесс очень похож на поиск простых решетом Эратосфена, но как оттуда выцепить интервалы не представляю.

Очень интересно!
Я отнял от этих чисел соответствующие величины начального большого интервала.
Для случая $5\#$ - максимальный интервал равен 6, т.е., три умножить на два, для $7 \#$ - максимальное значение $10$, т.е. пять умножить на два. Предпоследнее простое число праймориала, умноженное на 2.
И получилось вот такое -
$0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 4, 0, 8, 14, 12, 12, 14, 30, 40, 48, 54, 58, 68, 80, 70, 80, 94, 98, 112, 128, 124, 126, 140, 154, 152$
$174, 178, 184, 204, 204, 216, 238, 234, 256, 266, 288, 296, 296, 308, 340, 344, 356, 376, 374, 394, 400$

Вон та двойка, что после шести нулей - это случай $23\#$

---
А если поделить эти числа друг на друга -

$1,00; 1,00; 1,00; 1,00; 1,00; 1,00; 1,05; 1,00; 1,00; 1,06; 1,00; 1,10; 1,16; 1,13; 1,11; 1,12; 1,25; 1,30; $
$1,34; 1,37; 1,37; 1,41; 1,45; 1,36; 1,40; 1,46; 1,46; 1,51; 1,57; 1,49; 1,48; 1,51; 1,55; 1,51; 1,58; 1,57; 1,56; 1,61; 1,59; 1,60; 1,66; 1,61;$
$1,66; 1,68; 1,72; 1,70; 1,66; 1,68; 1,74; 1,74; 1,74; 1,78; 1,75; 1,77; 1,76; $

[Yury_rsn]

Если я правильно догадываюсь, то функция Якобсталя, которая в OEIS имеется в виду - это просто "фактическая" функция. Обозначающая именно то, что и я хотел найти - максимальные интервалы между взаимно простыми с праймориалом.
Как ее найти "не вычислительно" я вроде нигде не увидел.

Дмитрий, можно ли вас попросить еще несколько расчетов сделать на вашей программе?
Есть ли какие-то еще интервалы по каждому праймориалу, меньшие максимального, но большие, чем первые от единицы (предыдущее простое число, умноженное на 2)?
И растет ли количество этих промежуточных интервалов при возрастании праймориала?

Если можно, пожалуйста

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1472558 писал(а):

Есть ли какие-то еще интервалы по каждому праймориалу, меньшие максимального, но большие, чем первые от единицы (предыдущее простое число, умноженное на 2)?
И растет ли количество этих промежуточных интервалов при возрастании праймориала?

Да, есть, начиная от $13\#$. И первый интервал равен следующему простому минус 1 (это кстати легко доказать), а не удвоенному предыдущему.
Да, количество промежуточных в принципе растёт, хотя есть и исключения.
Вот список увеличения максимального интервала (после знака дроби начиная с какого числа данный интервал впервые обнаружен):

11#: 12/1, 14/113
13#: 16/1, 18/2183, 22/9439
17#: 18/1, 22/9439, 24/39469, 26/217127
19#: 22/1, 24/1333, 34/60043 — заметьте какое интересное исключение здесь: и короче, и нет интервала 26, и интервал 24 обнаружен сильно раньше
23#: 28/1, 34/60043, 36/8302457, 40/20332471
29#: 30/1, 34/60043, 36/3543523, 40/9740461, 42/36806389, 46/417086647 — а здесь интервалы 36,40 обнаружены сильно раньше предыдущего случая
31#: 36/1, 40/2734891, 42/6077119, 48/7006073, 50/689448377, 54/3734704159, 56/26886024107, 58/125601285782 — и опять интервалы на других числах
37#: 40/1, 46/933091, 48/7006073, 50/48595307, 54/132966023, 56/2782823513, 64/4683065593, 66/8720486098464

Ещё интересно что не все чётные интервалы присутствуют, например нет $20,28,30,32,38,44$, зато $18,42$ есть, что опровергает гипотезу об отсутствии интервалов $p+1$ ($p$ простое).

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1472614 писал(а):

Да, количество промежуточных в принципе растёт, хотя есть и исключения.
Вот список увеличения максимального интервала (после знака дроби начиная с какого числа данный интервал впервые обнаружен):

11#: 12/1, 14/113
13#: 16/1, 18/2183, 22/9439
17#: 18/1, 22/9439, 24/39469, 26/217127
19#: 22/1, 24/1333, 34/60043 — заметьте какое интересное исключение здесь: и короче, и нет интервала 26, и интервал 24 обнаружен сильно раньше
23#: 28/1, 34/60043, 36/8302457, 40/20332471
29#: 30/1, 34/60043, 36/3543523, 40/9740461, 42/36806389, 46/417086647 — а здесь интервалы 36,40 обнаружены сильно раньше предыдущего случая
31#: 36/1, 40/2734891, 42/6077119, 48/7006073, 50/689448377, 54/3734704159, 56/26886024107, 58/125601285782 — и опять интервалы на других числах

Да, очень интересные наблюдения!
Прикольная штука

Цитата:

Ещё интересно что не все чётные интервалы присутствуют, например нет $20,28,30,32,38,44$, зато $18,42$ есть, что опровергает гипотезу об отсутствии интервалов $p+1$ ($p$ простое).

Ну, гипотез много разных может быть.
Например, в контексте гипотезы Лежандра, нас могут интересовать не просто максимальные интервалы на каждом праймориале, а максимальные интервалы вокруг квадратов. Для 11# - вокруг 121. Для 13# - вокруг 169, и т.д.

Ваши результаты из программы, которые приведены выше, показывают, что на диапазоне от 121 до 144 (его длина 23) - максимум не превышает 14 (11#: 12/1, 14/113)
А на диапазоне от 169 до 196 (длина 27) - максимум не превышает 22, да и то, этот максимум улетел за девять тысяч (13#: 16/1, 18/2183, 22/9439). А именно в этом месте реальные интервалы гораздо меньше. И по их краям образуются простые числа.

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1472687 писал(а):

А на диапазоне от 169 до 196 (длина 27) - максимум не превышает 22,

Не $22$, а всего $16$ (на самом деле ещё меньше), т.к. следующий максимум больше этого аж на числе $2183$.
Вокруг квадратов лишь максимумы 14/113 и 26/217127.

Yury_rsn в сообщении #1472687 писал(а):

И по их краям образуются простые числа.

Не везде, $2183$ и $2183+18$ оба не простые. Как и $39469$ с $39469+24$, и $217127$ с $217127+26$, и т.д.

PS. Добавил $37\#$.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1472690 писал(а):

Вокруг квадратов лишь максимумы 14/113 и 26/217127.

Yury_rsn в сообщении #1472687 писал(а):

И по их краям образуются простые числа.

Не везде, $2183$ и $2183+18$ оба не простые. Как и $39469$ с $39469+24$, и $217127$ с $217127+26$, и т.д.

PS. Добавил $37\#$.

Давайте уточним. Возьмем интервал числового ряда от 100 до 121.
Все составные числа на этом интервале имеют наименьшие делители - 2, 3, 5, 7, 11.
И, чтобы в этом интервале не было ни одного простого числа (что противоречило бы гипотезе Лежандра), - длина сплошного отрезка составных чисел в этой округе должна быть больше или равна 21.

А теперь смотрим на ваши данные: 11#: 12/1, 14/113.
Т.е., максимальный отрезок составных чисел покрывает только часть интервала между квадратами - начинается только с 113.
Но даже, если бы он был полностью внутри интервала 100-121 - то его длины не хватило бы, чтобы вычеркнуть все простые в этом интервале.

А также

Цитата:

Не везде, $2183$ и $2183+18$ оба не простые

- не является контрпримером.
Интервал для 13# - от 144 до 169. Его длина 25.
Длины 18 не хватает, чтобы вычеркнуть все простые числа на этом интервале.
13#: 16/1, 18/2183, 22/9439 - и длины 22 тоже не хватает, кстати.

-- 06.07.2020, 23:51 --

теперь, когда есть данные функции Якобсталя видно, что даже максимального интервала не хватает для перекрытия всего отрезка между квадратами до 41. ($41^2-40^2$)
А дальше максимальное значение функции Якобсталя начинает превышать разность квадратов.

Но ведь максимальные интервалы расположены очень далеко от квадратов праймориала...

-- 07.07.2020, 00:05 --

Dmitriy40 в сообщении #1472614 писал(а):

Вот список увеличения максимального интервала (после знака дроби начиная с какого числа данный интервал впервые обнаружен):

11#: 12/1, 14/113
13#: 16/1, 18/2183, 22/9439
17#: 18/1, 22/9439, 24/39469, 26/217127
19#: 22/1, 24/1333, 34/60043 — заметьте какое интересное исключение здесь: и короче, и нет интервала 26, и интервал 24 обнаружен сильно раньше
23#: 28/1, 34/60043, 36/8302457, 40/20332471
29#: 30/1, 34/60043, 36/3543523, 40/9740461, 42/36806389, 46/417086647 — а здесь интервалы 36,40 обнаружены сильно раньше предыдущего случая
31#: 36/1, 40/2734891, 42/6077119, 48/7006073, 50/689448377, 54/3734704159, 56/26886024107, 58/125601285782 — и опять интервалы на других числах
37#: 40/1, 46/933091, 48/7006073, 50/48595307, 54/132966023, 56/2782823513, 64/4683065593, 66/8720486098464

И еще одно интересное наблюдение из вашей таблицы -
Максимальные интервалы по праймориалу возрастают по мере продвижения по числовой оси.
37#: 40/1, 46/933091, 48/7006073, 50/48595307, 54/132966023, 56/2782823513, 64/4683065593, 66/8720486098464

(40, 46, 48, 50, 54, 56, 64, 66) - интересно, эта закономерность по всем праймориалам выполняется,
или где-то может быть, что бОльшие числа могут появляться перед мЕньшими?

[Yury_rsn]

И еще одна просьба - можно перевести дословно описание функции Якобсталя?
https://oeis.org/wiki/Jacobsthal_function
Второй параграф - Jacobsthal function of primorial numbers

Вроде бы, как бы всё понятно, но гугл-переводчик какие-то странные обороты выдает. Подозреваю, что в этих мелочах есть важные нюансы. Особенно в описании формулы.

ps
К моему удивлению, я нигде не нашел эту функцию в русскоязычном интернете. Есть числа, последовательности, суммы Якобсталя, а именно этой функции почему-то нет.

[StaticZero]

Yury_rsn, это наименьшая длина последовательностей натуральных чисел, при которой каждая из них содержит взаимно простые с произведением $n$ первых простых чисел.

В обыкновенной функции Якобсталя "...взаимно простые с $n$".