Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.

[dick]

Вы имеете ввиду первые две строки, вторые две строки или и то и другое?

[kotenok gav]

И то, и другое.

[dick]

Ранее я определил постоянную часть формы числа $x_1$ как нечетный квадрат меньше 6.
Теперь рассматриваем не только квадраты и требуется уточнить форму $x_1$.
Нечетные числа меньше 6 это 1,3,5.
Если принять в качестве $(x_1-a_1/3)$ 3 или 5, то в левой части (1.1) окажется число этих множителей кратное 3, но в правой части (1.1) такого быть не может, поскольку $z-y$ и $zy$ взаимно простые числа. Это соответствует условию несократимости уравнения (1).
Единственным вариантом обеспечивающим сократимость без изменения является единица.
Таким образом $x_1$ имеет форму $6n+1$. Кроме того, из возможных $x_1$ нужно исключить числа формы $6n+1$, не являющиеся произведением чисел формы $6n+1$. Это числа, содержащие четное число множителей формы $6n-1$. Кажется это все.
Что касается вопросов свободы от квадратов, несвободы от квадратов, и степени для $x_1$, не вижу оснований для ограничений.

[kotenok gav]

Что значит этот набор слов и какое отношение он имеет к моему вопросу?

[dick]

Значит я Вас не понял.
"Пойдем по порядку.
Вместо "Пусть $x_1$ составное число не содержащее степень".
Должно быть "Пусть $(z-y)$ составное число не содержащее степень".

Вместо "Пусть $x_1$ составное число, содержащее степень, но не являющееся степенью".
Должно быть "Пусть $(z-y)$ составное число, содержащее степень, но не являющееся степенью".

А вот тут не согласен.

С чем Вы не согласны?

Должно быть так, как было, незамененное".

Согласитесь, это не ответ. Нужно объяснить, почему для $x_1$ должно быть то, что обсуждалось для $(z-y)$. А может для $(z-y)$ Вы хотите чего то другого?

[kotenok gav]

Ой. Действительно. Ошибся я, извините.

-- 30 июн 2020, 03:36 --

Возвращаемся к этому:

kotenok gav в сообщении #1470680 писал(а):

dick в сообщении #1469646 писал(а):

В этом случае $x_1$ не кратно $(z-y)$

Почему? (На самом деле вы хотели сказать, что если оно кратно, то предыдущий случай)

-- 26 июн 2020, 04:44 --

dick в сообщении #1470646 писал(а):

в левой части (1.1) останется основание того квадрата, который входил в состав $(z-y)$,

Что это значит?

[dick]

1. Да, если оно кратно, то предыдущий случай.

2. Это значит, что $(z-y)$ содержит квадрат некоего множителя из состава $x_1$. Поэтому $x_1$ не делится на $(z-y)$, а $(x_1)^2$ -делится. Но в левой части куб, поэтому после деления на $(z-y)$ слева останется этот множитель в 1-й степени, но справа его не будет, поскольку $(z-y)$ и $zy$ взаимно простые.

[kotenok gav]

Окей, принято. Но почему из этого следует, что $z-y$ простое?

[dick]

Почему Вы решили что простое?

[kotenok gav]

Ой, я имел в виду, почему $z-y$ - степень.

[dick]

Потому что мы показали что $z-y$ не может быть числом свободным от квадратов, а также, не может быть числом несвободным от квадратов, не будучи при этом степенью. Значит это число - степень.

[kotenok gav]

Вы этого не показали, вы показали другое.

-- 01 июл 2020, 16:08 --

Точнее, вы показали, что $z-y$ либо степень, либо простое, либо равно $1$.

[dick]

Если простое, то попадает в категорию "свободно от квадратов" и таким образом исключается.
Единицу мы получили ранее для случая простого $x_1$ и здесь к этому не возвращались.
А теперь. исключив прочие варианты, мы получили степень. И получив степень. обнаружили. что ее величина не зависит от показателя.
Поэтому и для составных $x_1$ , всегда $z-y=1$

[kotenok gav]

Вы не разбирали категорию "числа, свободные от квадратов". Вы разбирали категорию "составные числа, свободные от квадратов", но на самом деле те ваши рассуждения применимы еще и к "простые числа", это я сейчас понял. Но вот случай $z-y=1$ вы не разбирали. Так что пока вы лишь доказали, что $z-y$ либо степень, либо равно $1$.

[dick]

А единица по Вашему не степень? Единица и есть та единственная степень, которая удовлетворяет (1).
Цитирую:
Задумался над Вашим вопросом об $A$ и $B$. И вот что получается:
$x_1-a_1/3=z-y$ (5.1)
$(x_1-a_1/3)^3=(z-y)^3$
$x_1^3-3x_1^2(a_1/3)+3x_1(a_1/3)^2-(a_1/3)^3=z^3-3z^2y+3zy^2-y^3$
Поскольку $z^3=y^3+x^3$, остается:
$(a_1/3)^3=3zy(z-y)-3x_1(a_1/3)(x_1-a_1/3)=(3zy-3x_1(a_1/3))(x_1-a_1/3)$ (5.1.4);
В то же время:
$(a_1/3)^2=(3A-3B/a_1)(x_1-a_1/3)$ (7);
Из этого следует, что во-первых $A=3zy/a_1 (7.1); B=x_1a_1$ (7.2);
и во-вторых: $(x_1-a_1/3)=(z-y)=1$

Написанное здесь верно, при условии что $z-y$ это степень.