Магические квадраты

[vvvv]

Считаю определение Макаровой Н.В. корректным, иначе квадрат можно было заполнять любым (одним из n*n ) числом, что никак не согласуется со словом
"магический" и , можно сказать, лишено смысла.

[Nataly-Mak]

Поясню свой вопрос о квадрате Франклина 32-ого порядка.
Я написала для журнала статью “Магические квадраты Франклина”, в которой, конечно, указала ссылку, где взяла полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка. Рецензент статьи спрашивает, уверена ли я, что это действительно оригинальный квадрат Франклина, так как авторы статьи по указанной ссылке пишут что-то о модификации квадратов Франклина. Я сама обратила на это внимание ещё тогда, когда писала статью о квадратах Франклина для своего сайта. Однако, тщательно исследовав структуру этого квадрата, обнаружила, что он подобен полумагическому квадрату Франклина 16-ого порядка. Почему авторы указанной статьи говорят о какой-то модификации, никак не могу понять.
Во всех источниках говорится, что до нас дошли пять квадратов Франклина – 4 полумагических и один пандиагональный. Три полумагических – два 8-ого порядка и один 16-ого – не вызывают никаких сомнений (а также пандиагональный квадрат 16-ого порядка), а вот четвёртый полумагический – 32-ого порядка - мне не удаётся найти в Сети кроме как в указанной статье:
http://www.spiritoftime.net/Lukoyanov-1.htm
Итак, действительно ли по указанной ссылке приведён полумагический квадрат 32-ого порядка, построенный Франклином? Или это всё-таки его модификация? Чтобы ответить на этот вопрос, просто необходимо найти этот квадрат в другом месте. В этом и прошу помочь.

[Nataly-Mak]

Исследуя в статье “Методы построения магических квадратов” метод сотовых квадратов (метод найден в книге Ю. В. Чебракова), я построила пандиагональные магические квадраты нового типа – сотовые. Сотовым я называю такой магический (традиционный) квадрат, который составлен из квадратов 2х2, и в каждом таком квадрате записаны четыре последовательных числа. Конечно, построены и просто магические, и ассоциативные сотовые квадраты, но наибольший интерес представляют пандиагональные сотовые квадраты.
Вот пример сотового пандиагонального квадрата 8-ого порядка:

1  2  32  31  50  49  47  48
3  4  30  29  52  51  45  46
56  55  41  42  7  8  26  25
54  53  43  44  5  6  28  27
15  16  18  17  64  63  33  34
13  14  20  19  62  61  35  36
58  57  39  40  9  10  24  23
60  59  37  38  11  12  22  21

Мне пандиагональные квадраты подобной структуры не встречались.
Пытаюсь построить идеальный сотовый магический квадрат. Для этого мне надо решить задачу, которая находится здесь. Помогите, кому делать нечего

[Nataly-Mak]

Задача построения второго вспомогательного квадрата, обладающего свойствами ассоциативности и пандиагональности решена в статье “Сотовые магические квадраты”.
Первый идеальный сотовый квадрат 16-ого порядка построен! Вот он:

1 2 224 223 194 193 187 188 165 166 124 123 102 101 31 32
3 4 222 221 196 195 185 186 167 168 122 121 104 103 29 30
248 247 41 42 55 56 78 77 84 83 141 142 147 148 234 233
246 245 43 44 53 54 80 79 82 81 143 144 145 146 236 235
15 16 118 117 108 107 181 182 171 172 210 209 208 207 17 18
13 14 120 119 106 105 183 184 169 170 212 211 206 205 19 20
250 249 131 132 157 158 68 67 94 93 39 40 57 58 232 231
252 251 129 130 159 160 66 65 96 95 37 38 59 60 230 229
28 27 197 198 219 220 162 161 192 191 97 98 127 128 6 5
26 25 199 200 217 218 164 163 190 189 99 100 125 126 8 7
237 238 52 51 46 45 87 88 73 74 152 151 138 137 243 244
239 240 50 49 48 47 85 86 75 76 150 149 140 139 241 242
22 21 111 112 113 114 176 175 178 177 203 204 213 214 12 11
24 23 109 110 115 116 174 173 180 179 201 202 215 216 10 9
227 228 154 153 136 135 89 90 71 72 62 61 36 35 253 254
225 226 156 155 134 133 91 92 69 70 64 63 34 33 255 256

Это уже четвёртый вид идеального магического квадрата 16-ого порядка из известных на сегодняшний день.
Построены также почти совершенные сотовые квадраты 8-ого и 16-ого порядка. Ну, почти, как известно, не считается, хотя квадраты тоже интересные. Идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка построен только нетрадиционный.
Таким образом, получается, что сотовые идеальные квадраты существуют только порядков n = 8k, k>1.

[Nataly-Mak]

Maxal, вы обещали выложить что-то из старого журнала с серией статей “Анатомия магических квадратов”. Не забыли? Меня конкретно интересуют: 1) концентрические магические квадраты; 2) идеальные магические квадраты порядка n>9 (в прежние времена они назывались пандиагональными и ассоциативными; кстати, в книге М. Гарднера “Путешествие во времени” используется такой термин “пандиагональ-ассоциативный”. Ну, это уже, наверное, изобретение переводчика. Интересно, а как в оригинале Гарднер назвал такие квадраты?); 3) сотовые магические квадраты; 4) неизвестные квадраты Франклина, а также и известный, но не точно – полумагический квадрат 32-ого порядка; 5) совершенные магические квадраты (те, которые most perfect ).

[Nataly-Mak]

Начала писать большую статью “Преобразования магических квадратов”.
Есть интересные вопросы.
1. По этой ссылке есть одно непонятное преобразование, с помощью которого уже несколько преобразованный обратимый квадрат превращается в совершенный квадрат:
http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm
Один товарищ, владеющий английским, писал письмо автору статьи с вопросом об этом преобразовании. Автор ответил, что давно не занимался этой темой и уже не может объяснить, как данное преобразование работает. Посоветовал обратиться к первоисточнику. Первоисточник, как я поняла, вот эта книга:
Kathleen Ollerenshaw and David Bree, Most-perfect Pandiagonal Magic Squares, Institute of Mathematics and its Applications, 1988, 0-905091-06-X
Книги этой у меня, конечно, нет. Очень хотелось бы узнать, как же всё-таки это преобразование действует. Я в своей статье о совершенных квадратах заменила это непонятное преобразование матричным преобразованием.
2. В моей статье рассказано о преобразовании “строки-диагонали”. Это преобразование применимо ко всем пандиагональным квадратам нечётного порядка. Для пандиагональных квадратов пятого порядка оно образует группу из четырёх пандиагональных квадратов, для пандиагональных квадратов девятого порядка – группу из 24-х пандиагональных квадратов. Интересно, является ли количество квадратов в таких группах явной функцией порядка квадрата. Можно ли, например, сразу сказать, сколько квадратов будет в такой группе для квадратов 7-ого, 11-ого и т. д. порядка? В статье приведена матрица преобразования в общем виде для любого нечётного порядка n=2m+1, m=2, 3, 4…

[shwedka]

Я посмотрела, мадам Kathleen Ollerenshaw 96 лет, но она весьма жива. Очень знаменита, даже носит титул ДАМА, комондор Британской империи.
Книгу, которую Вы упоминаете пока добыть не удается, но мадам недавно написала большую статью на ту же тему. Могу Вам прислать, если дадите адрес.

О ней и о квадратах можете посмотреть на
http://mathematics.gulfcoast.edu/mathpr ... quares.htm

[maxal]

Nataly-Mak, книгу я добыл в библиотеке. Могу емайлом выслать сканы отдельных страниц про это преобразование.

[Nataly-Mak]

Shwedka, огромное спасибо за ссылку, там ведь ещё море ссылок на статьи о квадратах. Непременно всё просмотрю! Мой адрес: [e-mail]
Maxal, за сканы буду очень благодарна.

[Nataly-Mak]

По ссылке
http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.htm
нашла вчера интересный метод построения сотовых магических квадратов – метод LUX.
Автор метода, как я поняла, J. H. Conway (как это будет по-русски? когда жил и изобретал свои методы этот человек?). Описание метода уместилось в статье в 8 строк, но я ничего в этом описании не поняла (перевод в Google получился сплошной абракадаброй). Хорошо, что есть картинка! По картинке я кое-что поняла и изложила метод в своей статье так, как поняла его по картинке.
Тут задачка есть интересная: построить сотовый магический квадрат 8-ого порядка точно методом LUX, то есть с помощью трёх схем – L, U, X – мне с ходу не удалось. Предполагаю, что это сделать невозможно, но доказать не могу. Мне кажется, что сотовый квадрат любого порядка n=8k, k=1, 2, 3… будет строиться с использованием чётного количества разных схем. У меня в статье построен сотовый магический квадрат 8-ого порядка с использованием 4-х разных схем.
Может быть, кто-нибудь заинтересуется методом LUX, поймёт его описание на указанной веб-странице, докажет мою гипотезу. Пусть тогда обо всём этом расскажет здесь.

[maxal]

Nataly-Mak, предупреждение за разглашение личной переписки.

[Nataly-Mak]

Ну, во-первых, в этой переписке нет ничего личного.
А во-вторых, может быть, вы докажете прилюдно свою правоту?
А в-третьих, вы можете меня и удалять уже. Сыта предупреждениями на этом форуме по горло!

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

А во-вторых, может быть, вы докажете прилюдно свою правоту?

Речь, вероятно, идет об утверждении, что глаголы "заполнять" и "размещать/располагать" в математике несут разную смысловую нагрузку. А именно, "заполнять" в отличие от "размещать" не подразумевает одной копии каждого предмета (которыми заполняют что-либо или которые размещают где-либо).
Например, утверждение "два числа 1 и 2 заполняют таблицу 5x5" означает, что есть таблица 5x5, каждый элемент которой равен 1 или 2. Понятно, что хотя бы одно число тут будет встречаться несколько раз.
С другой стороны, утверждение "два числа 1 и 2 размещаются в таблице 5x5" означает, что эти два числа находятся где-то в этой таблице, каждое в одном экземпляре (а про остальную часть таблицы ничего неизвестно - она может быть пустая, а может там какие-то другие числа располагаются).
Какие возражения?

Добавлено спустя 15 минут 4 секунды:

Аналогичным образом можно сказать, что "числа от 1 до 100 заполняют таблицу 5x5" - при этом какие-то числа из интервала [1,100] будут реально присутствовать в таблице (возможно, в нескольких копиях), а какие-то - нет. Понятно, что все 100 чисел в таблице 5x5 уместиться не могут, поэтому какие-то числа обязательно будут отсутствовать в таблице.

А вот фраза "числа от 1 до 100 расположены в таблице 5x5" лишена смысла, так как невозможно расположить 100 чисел в 25 клетках таблицы.

В общем виде:
Заполнение множества X (например, множества клеток таблицы) элементами множества Y (например, числами от 1 до 100) - это некоторое отображение из X в Y, ставящее каждому "месту" из X элемент из Y, "заполняющий" это место.

А вот расположение элементов Y во множестве X - это, напротив, инъективное отображение из Y в X, ставящее каждому элементу из Y в соответствие его "место" в X.

[Nataly-Mak]

A что означает фраза: "матрица размером nxn заполнена натуральными числами от 1 до n*n"? Означает ли она, что в матрице присутствуют ВСЕ числа из указанного диапазона и тогда, понятно, ни одно из них не может повториться, как утверждаю я? Или она означает, что в матрице присутствуют только несколько чисел из этого диапазона, но некоторые из них, тогда, понятно, будут повторяться (как утверждаете вы)? И что изменится, если сказать так, как сказал М. Гарднер: "числа от 1 до N*N расположены в матрице размером N*N"? Ответьте чётко на этот вопрос, а не уходите в дебри размещений, отображений и т. п.

Добавлено спустя 8 минут 41 секунду:

Квадраты Франклина. Приоритетные исследования

Возвращаясь к квадратам Франклина.
shwedka любезно прислала мне ссылку на журнал “Дух времени”:
http://www.spiritoftime.net/pdf-files/S ... me_ALL.pdf
Цитата из журнала:
“Необходимо заметить,
что Бенджамин Франклин оставил
уникальное научное и духовное наследство
следующим поколениям исследователей,
причем, видимо принципиально,
не раскрыл до конца ни одного из
своих алгоритмов по построению маги-
ческих квадратов, а в особенности для
своего легендарного магико-магического
квадрата 16 Х 16, который являлся в
то время высшим уровнем разработки
удивительной серии магических квадратов.
Поэтому авторам пришлось провести
для начала многолетнюю кропотливую
работу по нахождению своеобразного
«реперного ключа» и алгоритмов
по построению всех известных и
даже не законченных магических квадратов
Бенджамина Франклина, а затем
уже на базе накопленного материала
находить необходимые алгоритмы по
разработке своих авторских магических
квадратов. В данной работе авторам при
непосредственном взаимодействии с
Международной Высшей Аттестационной
Комиссией (МВАК) от Международного
Университета Фундаментального
Обучения (МУФО) под эгидой Великобритании-
США-России удалось впервые
разработать свой алгоритм, а также составить
авторский магический квадрат
32 Х 32 Виталия и Виктора Лукояновых
– Шанти П. Джаясекара …”

Вот это да! Авторы построили по алгоритму Франклина квадрат 32-ого порядка, кстати, не магический, а полумагический. У меня нет никаких сомнений, что этот квадрат был построен самим Франклином, вот только, может быть, не дошёл до нас. И это считается огромным достижением! Авторы много лет вникали в алгоритм Франклина, чтобы построить только один полумагический квадрат 32-ого порядка.
Я исследовала квадраты Франклина несколько недель. И тоже проникла во все его алгоритмы: и построения полумагических квадратов, и построения пандиагонального квадрата 16-ого порядка. Всё это было сделано с применением разработанного мной раньше метода качелей. Я построила полумагические квадраты, магические квадраты, пандиагональные квадраты и даже идеальные квадраты порядка n=8k, k=1, 2, 3… по алгоритмам Франклина. Разработала чёткий алгоритм построения идеальных квадратов. И это никто не считает никаким достижением. Статью мою о квадратах Франклина никто публиковать не собирается. Конечно, ни на какие конференции меня не приглашают, потому что кто же знает скромного исследователя магических квадратов без степеней и званий!
Авторы заявили приоритет на свой полумагический квадрат 32-ого порядка на какой-то конференции, кажется, в 2003 году. А где же мне заявить о приоритете на построенные мной по алгоритму Франклина (для его пандиагонального квадрата 16-ого порядка) идеальные магические квадраты? К тому же идеальные квадраты Франклином не были построены.
Вот Maxal говорит, что я очень плохо излагаю свои результаты. Но ведь результаты получены! А их всё равно никто не хочет видеть, ни в плохом изложении, ни в хорошем. Дело тут, по-моему, в том, что в нашем отечестве темой магических квадратов вообще мало кто интересуется и почти никто над ней не работает. Я знаю только одного современного отечественного исследователя в этой области – Г. М. Александрова. Но и о его приоритетах вряд ли где-нибудь заявлено, кроме его сайта.
Написанная мной по предложению Maxal'а статья о квадратах Франклина им же отредактирована. Но до публикации статья так и не дошла. Может быть, кто-нибудь поможет опубликовать статью? Ведь это действительно новое слово о квадратах Франклина и об идеальных магических квадратах.

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

A что означает фраза: "матрица размером nxn заполнена натуральными числами от 1 до n*n"? Означает ли она, что в матрице присутствуют ВСЕ числа из указанного диапазона и тогда, понятно, ни одно из них не может повториться, как утверждаю я? Или она означает, что в матрице присутствуют только несколько чисел из этого диапазона, но некоторые из них, тогда, понятно, будут повторяться (как утверждаете вы)?

Второе. "матрица размером nxn заполнена натуральными числами от 1 до n*n" означает всего лишь, что в каждой клетке матрицы стоит некоторое число из диапазона от 1 до n*n. Но это отнюдь не подразумевает, что каждое число присутствует только один раз, как впрочем, и то, что каждое из чисел от 1 до n*n обязательно было использовано при заполнении.

Nataly-Mak писал(а):

И что изменится, если сказать так, как сказал М. Гарднер: "числа от 1 до N*N расположены в матрице размером N*N"?

Это означает, что каждое из чисел от 1 до N*N стоит в какой-то клетке матрицы. Причем, так как количество клеток совпадает с количеством чисел в них размещенных, то можно сделать вывод, что в каждой клетке матрицы стоит какое-то (неповторяющееся) число из диапазона от 1 до N*N.

Nataly-Mak писал(а):

Ответьте чётко на этот вопрос, а не уходите в дебри размещений, отображений и т. п.

Вообще-то это были не "дебри", а четкое математическое определение смысла глаголов "заполнять" и "размещать".

Nataly-Mak писал(а):

Написанная мной по предложению Maxal'а статья о квадратах Франклина им же отредактирована.

Не отредактирована, а лишь немного подкорректирована - прошу не спекулировать на моем участии. Статья еще очень сырая и под ее редакцией я не подписываюсь.

Добавлено спустя 1 час 42 минуты 14 секунд:

Nataly-Mak писал(а):

Конечно, ни на какие конференции меня не приглашают, потому что кто же знает скромного исследователя магических квадратов без степеней и званий!

У вас превратное представление о конференциях.
Для участия в конференции нужно прежде всего написать и послать статью на рассмотрение организаторам конференции. Если она соответствует тематике конференции и представляет научный интерес, то ее примут для представления на конференции - и вот тогда-то автора статьи официально пригласят для участия в конференции.
А не пытаясь стать участником конференции (написав и представив хорошую научную работу), можно долго возмущаться, что "не приглашают", и сетовать на отсутствие степеней/званий.