К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?

[Muha_]

madschumacher в сообщении #1468858 писал(а):

Большинство наблюдаемых в физике -- это насущная необходимость, т.к. (здравствуй, КО) в экспериментах наблюдаются именно наблюдаемые, а не абстрактные вектора состояний.

Да, это понятно. Не хочу выглядеть как человек, который пытается спорить, потому что мой реальный опыт в физике близок к 0 и не сопоставим с почти любым другим участником форума. В этому случае, я только хочу заметить, что такая ситуация имеется скорее вследствие несовершенства приборов и интерпретации результатов. В идеальном случае наблюдаются скорее исходы экспериментов чем вещественные наблюдаемые: датчик сработал или не сработал, фотон выбил этот атом на мишени а не соседний и так далее.

madschumacher в сообщении #1468858 писал(а):

Не с энергией, а с гамильтонианом, и с ним всё очень просто: через него собственно и записывается эволюция системы (векторов состояний или матриц плотности), например, в виде уравнения Шрёдингера, уравнений Гейзенберга (кст., тут оказываются нужны, например, именно координаты и импульсы), или уравнения Фон Неймана.

Да, это тоже понятно. Вектор состояния, записанный в каком-то базисе, эволюционирует, умножаясь на некий унитарный оператор эволюции. Мы можем выразить приращение этого вектора и при этом появляется эрмитов оператор (если вынести -i). А раз он эрмитов, значит существует наблюдаемая для него и это и есть энергия.
В этой картине вопросы в первую очередь вызывает тот факт, что гамильтониан оказался оператором знакомой нам наблюдаемой. Мы шли двумя путями: искали удобный способ вычисления среднего значения наблюдаемых (которые существуют скорее в нашем воображении, чем в реальной вселенной) и искали способ записи для унитарной эволюции, в итоге пришли к одному и тому же оператору - гамильтониану. Возможно есть какие-то идеи, раскрывающие природу этого совпадения (не случайно же оно). Возможно это прояснило бы роль операторов наблюдаемых в теории.

[madschumacher]

Muha_ в сообщении #1468874 писал(а):

В этому случае, я только хочу заметить, что такая ситуация имеется скорее вследствие несовершенства приборов и интерпретации результатов.

...ну или м.б. вследствие такого устройства вещей? Например, нет никаких приборов, измеряющих напрямую энергию, но при этом концепция "физическая величина энергия" очень полезна.

Muha_ в сообщении #1468874 писал(а):

В этой картине вопросы в первую очередь вызывает тот факт, что гамильтониан оказался оператором знакомой нам наблюдаемой.

Наверное (точнее вроде так и есть) можно найти кучу аргументов, с разной степенью обоснованности и притянутоси из разных разделов физики/математики, почему именно гамильтониан -- такая крутая штука, я не достаточно компетентен в этом вопросе.
Я просто хочу заметить, что аналогичного уровня вопросы можно задавать и в классической механике (почему принцип действия такой какой он есть, почему кинетическая энергия имеет такую форму записи и т.д.), и в термодинамике, да и в других науках. И степень сложности ответа на подобные вопросы, имхо, возрастает не пропорционально практической значимости на них.

[warlock66613]

Muha_ в сообщении #1468874 писал(а):

Возможно есть какие-то идеи, раскрывающие природу этого совпадения (не случайно же оно).

Теорема Нётер.

[Утундрий]

madschumacher в сообщении #1468923 писал(а):

нет никаких приборов, измеряющих напрямую энергию

Термометр не считаем?

[madschumacher]

Утундрий в сообщении #1469003 писал(а):

Термометр не считаем?

Это тоже не прямое измерение, $E \propto k_{B} T$, конечно, верно, но там опять измеряется или расширение системы, или что-то с током (понятия не имею, как термопара работает). Да и температура, конечно, мера энергии, но точно в таком же, как частота, или длина волны $E = h\nu = hc/\lambda$. Т.е. разные проявления энергии измеримы, но сама величина никак нигде не возникает.

[Утундрий]

Любопытно, а что тогда прямое измерение? И есть ли в Природе хоть одно такое диво...

[madschumacher]

Утундрий в сообщении #1469020 писал(а):

И есть ли в Природе хоть одно такое диво...

А вот в этом и вопрос, ибо Muha_ предполагал, что мы "не видели напрямую вектора состояний" только из-за не совершенства приборов. Я же всего лишь говорю, что мы их видели ровно в том же смысле, что видели энергию.

[Muha_]

И в этом контексте суть ответа была понятной, т.е. цели он достигал.Если наблюдать координату частицы еще как-то можно непосредственно (попала в такой-то атом на пластинке), то энергия уже совсем условна.

[beroal]

«Что есть измерение?» — спросил Пилат и умыл руки. Меня поразило, что в учебниках по квантовой механике, вполне формальных, измерением называют процессы, которые с точки зрения инженера измерениями не являются.

Например, когда пучок фотонов проходит через двоякопреломляющий кристалл и расщепляется на два пучка, это называется измерением. Извините, где у этого «измерительного прибора» индикатор? Получается, сам фотон является индикатором.

Измерительные приборы делаются так, чтобы изменять состояние физической системы на незаметную величину. Для этого сопротивление вольтметра делается побольше, а амперметра — поменьше. Если бы этот «измерительный прибор» изменял состояние физической системы на незаметную величину, он бы всегда показывал одно и то же значение.

Мне кажется, то, что они называются измерениями, лучше назвать взаимодействиями.

[madschumacher]

beroal в сообщении #1469044 писал(а):

Мне кажется, то, что они называются измерениями, лучше назвать взаимодействиями.

Вы правда думаете, что Ваше мнение, выложенное на форуме, достаточно авторитетно и заметно, чтоб изменить сложившуюся за почти век терминологию?

beroal в сообщении #1469044 писал(а):

Получается, сам фотон является индикатором.

Нет не получается.

beroal в сообщении #1469044 писал(а):

Измерительные приборы делаются так, чтобы изменять состояние физической системы на незаметную величину.

В квантовой физике такой трюк не прокатывает, смиритесь.

[Muha_]

Для дискретных статичных случаев, вроде измерения спина, понятие измерения КМ как-то укладывается в воображение. Допустим, у нас есть полностью изолированная от вселенной система с непрерывными неизвестными параметрами (спин сам по себе, или вектор, описывающий спин), мы готовим некие условия для нарушения изоляции этой системы, в которых развитие вселенной идет по N (двум, трем) возможным и однозначно различимым путям. Это и есть "прибор". Из того, по какому из N путей пошло развитие мы получаем некую вероятностную информацию о том, каким был спин, но при этом исходная система (вектор состояния, описывающий спин) полностью уничтожается и единственный след во вселенной, который от нее остается - это результат измерения: какой из N путей дальнейшего развития выбран вселенной в эксперименте. Об полном "уничтожении" вектора состояния я говорю в том смысле, что после измерения вектор состояния уже полностью определен условиями и результатами измерения, как будто установка создала новую частицу.
(К этой картине я пришел пытаясь разобраться в КМ, не знаю правильная ли она, полезна ли, и вообще может ли она быть понятна кому-то.)
На этом этапе (измерения спина) еще не нужно такое понятие как "измеряемая величина". Никто нас не обязывает обозначать результаты измерения числами.
Кроме того, в случае измерения спина измерение по сути идет в "энергетическом" базисе, потому что результат измерения не зависит от времени.
Если, к примеру, поместить спин в магнитное поле, тогда в базис измеряющей спин установки уже не будет энергетическим, как я понимаю (из за прецессии спина в поле). Но здесь еще тоже не появляется никаких чисел в результате измерения?
Дальше, можно перейти к измерению над вектором координат-импульса. Здесь не получается поставить идеальный эксперимент с конечным числом исходов N, полностью уничтожающий вектор и извлекающий из него всю возможную информацию. Хотя, если направить на частицу строй из огромного количества сверх-тяжелых нейтрино с почти планковской массой, то количество возможных исходов N будет очень большим, а вектор координат частицы уничтожиться почти полностью, подобно тому как это было в дискретном случае.
Где-то здесь может появиться потребность в назначении каждому элементу из этого N вещественного числа (координаты). Тогда это уже похоже на вещественную наблюдаемую. Но это число, это все еще число которое мы назначаем, а не нечто существующее в природе.
Вещественное число, которое существует в природе, это, например, величина вероятности. Ее количество имеет определенный смысл и ее никак нельзя заменить другим числом. А координаты можно считать как угодно. Т.е. координаты - это "не настоящее" число.
Интересно, "настоящее" ли число энергия?
И понятно, что такими вопросами о природе наблюдаемых можно задаваться до бесконечности.

[beroal]

Muha_ в сообщении #1469061 писал(а):

Из того, по какому из N путей пошло развитие мы получаем некую вероятностную информацию о том, каким был спин, но при этом исходная система (вектор состояния, описывающий спин) полностью уничтожается и единственный след во вселенной, который от нее остается - это результат измерения: какой из N путей дальнейшего развития выбран вселенной в эксперименте. Об полном "уничтожении" вектора состояния я говорю в том смысле, что после измерения вектор состояния уже полностью определен условиями и результатами измерения, как будто установка создала новую частицу.

А почему вы думаете, что состояние уничтожается? Насколько я понимаю, состояние разлагается в сумму перпендикулярных состояний. Одно из них отвечает за попадание частицы в датчик, другое за непопадание. Если частица не попала в датчик, она не исчезает.

[Muha_]

Я понимаю это следующим образом. В эксперименте по измерению спина измеряемой сущностью является спин. Именно он описывается вектором состояний. То что происходит с частицей-носителем спина не важно и никак не описывается в данном случае.
После прохода через установку по измерению спина частица может быть уничтожена или нет, это не важно. В любом случае, если она выйдет, то ее спин будет в одном из ортогональных состояний, определяемых конструкцией установки, а не начальным спином, даже если она не попала в датчик (звучит странно, но вроде так). Вероятность выйти из прибора в каждом состояним действительно определяется начальным спином, но теперь эта информацию "хранится" в направлении движения частицы и может быть наблюдаема как классический факт, в отличии от начального спина, который был скрыт в частице и которого больше нет.
Например, мы мы можем изготовить частицу с определенным и известным нам вектором состояния для спина, и передать ее условной Алисе.
Алиса не может получить вещественные числа направления спина, которые мы вложили в частицу создавая ее, но может провести опыт, получить ответ да/нет, и из него иметь вероятностное представление о том, каким был вектор состояния для спина (направление спина). Но после этого Алиса может сколько угодно экспериментировать с тем что осталось от частицы после измерения и ничего нового она уже относительно начального вектора состояния не узнает никак.

[madschumacher]

Muha_ в сообщении #1469061 писал(а):

Для дискретных статичных случаев, вроде измерения спина, понятие измерения КМ как-то укладывается в воображение...

Какое-то у Вас воображение воображательное, а не физическое. Что-то странное Вы дальше пишите.

Muha_ в сообщении #1469061 писал(а):

Кроме того, в случае измерения спина измерение по сути идет в "энергетическом" базисе, потому что результат измерения не зависит от времени.

Это тоже что-то очень странное. Спин -- это не непонятная величина, это значение момента частицы, есть операторы, которыми можно его описать, и базисные функции у него тоже есть.

Muha_ в сообщении #1469061 писал(а):

Если, к примеру, поместить спин в магнитное поле, тогда в базис измеряющей спин установки уже не будет энергетическим, как я понимаю (из за прецессии спина в поле).

Не понятно, что Вы пытаетесь здесь сказать.

Muha_ в сообщении #1469061 писал(а):

И понятно, что такими вопросами о природе наблюдаемых можно задаваться до бесконечности.

Имхо, пример плохой, ибо спин описывается не словами, а операторами момента импульса $\hat{\mathbf{S}} = (\hat{S}_x, \hat{S}_y,\hat{S}_z)^\dagger$ и собственными значениями этих операторов.

Muha_ в сообщении #1469096 писал(а):

В эксперименте по измерению спина измеряемой сущностью является спин. Именно он описывается вектором состояний. То что происходит с частицей-носителем спина не важно и никак не описывается в данном случае.

Это что-то очень стрёмное. Спин -- это может быть не полная волновая функция частицы, а только её часть, например, для какого-нть свободно летящего электрона его волновая функция будет $|\mathbf{p},m\rangle = |\mathbf{p}\rangle \cdot |m\rangle$, где $|\mathbf{p}\rangle \propto \exp(-i\mathbf{px}/\hbar)$ -- пространственная часть, описывающая поступательное движение в пространстве, а $|m_s\rangle$ -- спиновая часть, показывающая проекцию спина на выбранную ось ($m_s = \pm 1/2$). Вектор состояния спина описывает именно что частицу, какие-то её свойства (все или часть).

Muha_ в сообщении #1469096 писал(а):

В любом случае, если она выйдет, то ее спин будет в одном из ортогональных состояний, определяемых конструкцией установки, а не начальным спином, даже если она не попала в датчик (звучит странно, но вроде так).

Звучит бредово. Чтобы разобраться посмотрите что получается в эксперименте Штерна-Герлаха по-нормальному, а не так.

Muha_ в сообщении #1469096 писал(а):

Алиса не может получить вещественные числа направления спина,

С этого момента поподробнее пожалуйста. Что и как Вы измеряете, и почему у Вас значения спина вещественны?

[Muha_]

madschumacher в сообщении #1469199 писал(а):

Какое-то у Вас воображение воображательное, а не физическое. Что-то странное Вы дальше пишите.

Да, эта проблема налицо. Пока читаешь что пишут другие вроде бы все понятно, когда пытаешься что-то написать сам, никто не может понять о чем речь. Попробую еще, пока без LaTeX.

madschumacher в сообщении #1469199 писал(а):

Звучит бредово. Чтобы разобраться посмотрите что получается в эксперименте Штерна-Герлаха по-нормальному, а не так.

Да, это был очень поверхностный ответ на сообщение beroal. Он написал о неком гипотетическом случае, когда частица при измерении спина "не попала в датчик". Я не знаю что имелось ввиду, и как выглядит это "не попадание" но при любой сколь угодно изощренной постановке эксперимента, в случае если спин измерен, то спин частицы переходит в состояние, соответствующее результату измерений. Это, как я понимаю, азбучная истина КМ (о которых только у нас и речь). Про прибор Штерна-Герлаха вроде-бы все доступно, по крайней мере пока речь о спине 1/2 и матрицах Паули. Остальная часть сообщения "В любом случае, если она выйдет, то ее спин будет в одном из ортогональных состояний, определяемых конструкцией установки" тоже звучит для вас плохо?

madschumacher в сообщении #1469199 писал(а):

Это что-то очень стрёмное. Спин -- это может быть не полная волновая функция частицы, а только её часть, например, для какого-нть свободно летящего электрона его волновая функция будет $|\mathbf{p},m\rangle = |\mathbf{p}\rangle \cdot |m\rangle$, где $|\mathbf{p}\rangle \propto \exp(-i\mathbf{px}/\hbar)$ -- пространственная часть, описывающая поступательное движение в пространстве, а $|m_s\rangle$ -- спиновая часть, показывающая проекцию спина на выбранную ось ($m_s = \pm 1/2$). Вектор состояния спина описывает именно что частицу, какие-то её свойства (все или часть).

Да это понятно, что в общем случае нужно рассматривать все компоненты. Но если мы хотим рассматривать максимально простое квантовое измерение, то можно же измерять и описывать только спин.

madschumacher в сообщении #1469199 писал(а):

С этого момента поподробнее пожалуйста. Что и как Вы измеряете, и почему у Вас значения спина вещественны?

Например, в случае спина 1/2 можно подать пучок частиц в прибор Штерна-Герлаха, как-то сориентированный в пространстве, и получить на выходе прибора частицу с соответствующим образом сориентированным спином. Вектор состояния, описывающий спин этой частицы содержит 2 комплексных числа. Это 4 вещественных числа, но одно не нужно из за нормирования, а второе не нужно т.к. важна только разность фаз этих чисел. И того, получается, что описание спина в виде вектора состояния содержит 2 вещественных числа.
Дальше, при измерении спина другим прибором Штерна-Герлаха мы получаем дискретный результат в один бит (-1 или 1). Мысль была в том, что эти два вещественных числа, которые описывали спин, больше недоступны. Вместо них теперь есть один бит, который дает только вероятностную информацию о том, какими были эти числа.
Остальные заявления были сделаны явно зря, поскольку если у меня не получается объясняться в таких простых случаях, то в более сложных это точно преждевременно.