Обсуждение и разбор марафонских задач

[fiviol]

Прошу пояснить условие задачи М257:
1. Какое из определений понятия "граф" имеется в виду? В частности: подразумевается ли, что граф не ориентирован? возможно ли наличие кратных ребер?
2. Высказывание в форме "При этом А" означает ли просто высказывание "А" или оно означает высказывание "Предыдущие высказывания верны и А"?

[VAL]

fiviol в сообщении #1465509 писал(а):

Прошу пояснить условие задачи М257:
1. Какое из определений понятия "граф" имеется в виду? В частности: подразумевается ли, что граф не ориентирован? возможно ли наличие кратных ребер?
2. Высказывание в форме "При этом А" означает ли просто высказывание "А" или оно означает высказывание "Предыдущие высказывания верны и А"?

1. Графы (как всегда) классические, без петель, кратных ребер и прочей ориентации.
2. Считайте, что этих "А еще" и "При этом" нет. Они добавлены для уменьшения деревянности диалога.

[Yadryara]

SomePupil в сообщении #1468792 писал(а):

Что-то постов про марафон не видно в последнее время. Или марафон идет, а я просто не знаю?

Идёт, а Вы просто не знаете. Я по-другому виноват: знаю, но не участвую.

[VAL]

Yadryara в сообщении #1468793 писал(а):

SomePupil в сообщении #1468792 писал(а):

Что-то постов про марафон не видно в последнее время. Или марафон идет, а я просто не знаю?

Идёт, а Вы просто не знаете. Я по-другому виноват: знаю, но не участвую.

Это грех, конечно! Но небольшой. Бывает, люди участвуют, но не знают

[VAL]

Кое-что новенькое по поводу MM140.

VAL в сообщении #425036 писал(а):

PS: Как указал Luca Petrone (A289362) $k(16)\ge 92$.

И этот результат оказался не окончательным: A289362.

[VAL]

Еще не поздно включиться в XXVI конкурс с первой задачи.
В этом конкурсе впервые после I марафонского конкурса будет разыгран реальный приз.
Не упустите свой шанс.

[VAL]

===========ММ251===============

ММ251 (3 балла)

Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть $n$ - наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было $n$ страниц.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Елены Фоминой (новичка Марафона).

Обсуждение

Совершенно неожиданно задача ММ251, которую я считал легкой и поместил в конкурс "для разогрева", вызвала затруднения у значительного числа конкурсантов, в том числе у признанных асов.
Кроме неверных решений я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:
Из книги нельзя вырвать страницы - только листы;
Не уточнено, подходит ли одна страница под формулировку "несколько страниц";
Не указано, на какой стороне разворота книги находится первая страница;
не указано, является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней...

Я исходил из того, что на каждом листе расположены две страницы, причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу не встречал книги, где на правом развороте были бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин). Переплетенные документы с односторонней печатью, я, конечно, встречал, но это были отчеты, дипломные работы, диссертации... и ни разу не книги. (Правда, мне указали, что самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)
Что касается толкования слова "несколько", на мой взгляд, одна страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатью, этот момент не важен. Каждый вырванный лист - это пара вырванных страниц.
Я не оговорил эти моменты вполне сознательно, полагая, что без этих нюансов задача станет совсем уж тривиальной. Впрочем, я был уверен, что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное, часть конкурсантов расслабились за лето и еще не вошли в форму.
Каждый из перечисленных моментов, стал для кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное условие, что страницы вырывались подряд.

Даже некоторые из тех, кто пришел к верному ответу, рассуждали, на мой взгляд, не вполне строго. Например, вывод, что в книге было 100 страниц, сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем, 5037. Но, если бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц.
Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании того, что на одном листе находятся две страницы, а из-за того, что "один" - это не "несколько".
Я не стал придираться к этим моментам.

Самым предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков, рассмотревший как классические книжки, так и их альтернативные разновидности.
А единственным конкурсантам, рассмотревшим обобщение задачи стал Анатолий Казмерчук. Он выяснил, какие числа могут быть суммами номеров вырванных страниц.

Награды

За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 4
Виктор Филимоненков - 3
Олег Полубасов - 3
Елена Фомина - 3
Владимир Дорофеев - 3
Владислав Франк - 3
Константин Шамсутдинов - 3
Константин Кноп - 1
Александр Домашенко - 1
Валентин Пивоваров - 1
Анна Букина - 1
cubaca - 1.

**Эстетическая оценка задачи - 4 балла **

[vlad239]

Цитата:

В этом конкурсе впервые после I марафонского конкурса будет разыгран реальный приз.

Мои воспоминания говорят, что когда-то победителям предлагалось дополнительное компьютерное время в компклассах ВГПУ...

[VAL]

vlad239 в сообщении #1482286 писал(а):

Цитата:

В этом конкурсе впервые после I марафонского конкурса будет разыгран реальный приз.

Мои воспоминания говорят, что когда-то победителям предлагалось дополнительное компьютерное время в компклассах ВГПУ...

Правильно говорят.
Приятно, что я не единственный долгожитель, помнящий, как все начиналось.
Но нынешний приз будет иным.

[VAL]

===========ММ252===============

ММ252 (4 балла)

Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:

$$90=1\cdot9\cdot 10=2\cdot 3\cdot 15, 1+9+10=2+3+15;$$

$$90=2\cdot 5\cdot 9=3\cdot 3\cdot 10, 2+5+9=3+3+10.$$

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида $p^kq$ ($p, q$ – простые, $k$ – натуральное), обладающих таким свойством.

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Дениса Овчинникова.

Обсуждение

На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений, чем на ММ251
Вопреки тому, что добавилось два новых участника: один относительно новый (в рамках текущего конкурса), а другой - новый участник Марафона в целом.
Некоторые из "пропавших" (надеюсь, все же, отлучившихся) конкурсантов признались, что они не справились с ММ252. При том, что задача, на мой взгляд, весьма проста. Ведь бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому, проблема в нахождении одного подходящего примера.
В этой связи еще раз подчеркну (в первую очередь, для тех, кто присоединился к Марафону недавно) принципиальное отличие Марафона от олимпиады, проводимой "здесь и сейчас". Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.

Анатолий Казмерчук доказал, что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.
Денис Овчинников предпринял попытку доказать, что таковых нет и среди чисел $p^kq$, при $p>2$. Правда, в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть "темное пятно". Но, возможно, доказательство можно довести до ума.
Олегу Полубасову удалось построить более одной серии рассматриваемых чисел. Для этого Олег подловил ведущего на неаккуратной формулировке (ох уж эти формулировки!). В самом деле, в условии сказано, что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все конкурсанты) ничего не говорится.

Интересно, является ли найденная серия единственной если, все же, рассматривать разложения на натуральные сомножители.
Полагаю, что для всех подходящих серий $p=2$, но при этом допускаю, что серий может быть много. Впрочем, это только мои предположения.

Награды

За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 5;
Олег Полубасов - 5;
Денис Овчинников - 5;
Виктор Филимоненков - 4;
Василий Дзюбенко - 4;
Владислав Франк - 4;
Константин Шамсутдинов - 4;
Валентин Пивоваров - 1.

Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла

[Masik]

Про неаккуратные формулировки. Есть вопрос по задаче ММ257: преподаватель - человек?

[VAL]

Masik в сообщении #1482998 писал(а):

Про неаккуратные формулировки. Есть вопрос по задаче ММ257: преподаватель - человек?

А что, есть варианты?
Человек. И память у него хорошая.

[Masik]

VAL в сообщении #1483001 писал(а):

Masik в сообщении #1482998 писал(а):

Про неаккуратные формулировки. Есть вопрос по задаче ММ257: преподаватель - человек?

А что, есть варианты?
Человек. И память у него хорошая.

Есть вариант, что в этот раз хорошая память подвела преподавателя и нескольких учеников. Ведь если бы преподаватель хотел сказать, что память подвела ровно одного ученика, то он бы прямо так и сказал. Но он зачем-то решил обобщить множество субъектов, которые могут ошибаться, и на себя тоже.

[VAL]

Masik в сообщении #1483002 писал(а):

Ведь если бы преподаватель хотел сказать, что память подвела ровно одного ученика, то он бы прямо так и сказал. Но он зачем-то решил обобщить множество субъектов, которые могут ошибаться, и на себя тоже.

Если бы он сказал "ученика", возникли бы вопросы:
Является ли студент учеником (или "ученик" = "школьник")?
Является ли студентка учеником (или она может быть только ученицей)?

Иными словами, абсолютно безупречных формулировок не бывает.
Зато бывают уточняющие вопросы.

[VAL]

===========ММ253===============

ММ253 (5 баллов)

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка $AB_1$ перпендикулярно ему имеет площадь $\frac{28 \sqrt{39}}{81}$. Найти объем призмы?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова (замечательное своей краткостью), Василия Дзюбенко (замечательное своей основательностью), и Анатолия Казмерчука (как всегда, замечательное во всех отношениях).

Обсуждение

Предлагая эту задачу, я изначально был уверен, что участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали.
Как выяснилось, зря. Все присланные решения содержат по два ответа. Правда, в некоторых из решений по одному (разному) ответу оказались неверны из-за вычислительных ошибок.

Составляя задачу, я долго бился над тем, чтобы оба ответа были "приличными". Если под приличностью понимать отсутствие многоэтажных радикалов, то задуманное осуществить удалось.
Но сделать оба ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте, когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу.

Анатолий Казмерчук исследовал вопрос о количестве решений задачи в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения.

Награды

За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 6;
Денис Овчинников - 5;
Василий Дзюбенко - 5;
Владислав Франк - 5;
Константин Шамсутдинов - 5;
Валентин Пивоваров - 5;
Олег Полубасов - 4;
Виктор Филимоненков - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла