Анализ Дзета-функции Римана

[maravan]

Otta
Читал про них, но с ними, на мой взгляд получается запутаннее (.
Попробую обойтись пока просто скобками, согласен с g______d, что лучше использовать самую простую запись.

[g______d]

maravan в сообщении #1467264 писал(а):

Читал про них, но с ними, на мой взгляд получается запутаннее

$O$ большое и малое -- это общепринятые объекты, у которых есть формальные определения. Если Вы будете их правильно использовать, то это, как отметила Otta, может быть подходящей заменой Вашему $\rho$, и не должно вызвать проблем у читателей.

[maravan]

Продолжу, буду группировать бесконечно малые функции в квадратных скобках (попробовал через круглые - получилось менее наглядно).

Вычтем из (15) (14), тогда

$$ \left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}- $$

$$ \left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}-\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right]+\left[\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right] $$

$$ \left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}- $$

$$ \left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}+\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right] \qquad (16) $$

Используя (14), если $s$ - нуль дзета-функции, то

$$ \sum _{i=1}^n (2 i)^{-s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}=\left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}-\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right]\qquad (17) $$

Используя (16), если $s$ - нуль дзета-функции, то

$$ \sum _{i=1}^n (2 i-1)^{-s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}=\left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}+\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right]\text{ } (18) $$

Вычтем из (18) (17), получим

$$ \sum _{i=1}^n (2 i-1)^{-s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-\sum _{i=1}^n (2 i)^{-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}= $$

$$ \left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}+\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{1}{2} (2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}+\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right] $$

Или

$$ \sum _{i=1}^n (2 i-1)^{-s}-\sum _{i=1}^n (2 i)^{-s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}=\left[\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{3} s (2 n)^{-s-1}\right] $$

Поделим обе части на $\frac{1}{2 (2 n)^s}$, получим

$$ \frac{\sum _{i=1}^n (2 i-1)^{-s}-\sum _{i=1}^n (2 i)^{-s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}}{\frac{1}{2 (2 n)^s}}=\left[\frac{\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{3} s (2 n)^{-s-1}}{\frac{1}{2 (2 n)^s}}\right] $$

Заметим, что

$$ \lim_{n\to \infty } \left(\frac{\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}}{\frac{1}{2 (2 n)^s}}\right)=2 $$

И

$$ \lim_{n\to \infty } \left(\frac{\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{3} s (2 n)^{-s-1}}{\frac{1}{2 (2 n)^s}}\right)=1 $$

Тогда

$$ \lim_{n\to \infty } \left(\frac{\sum _{i=1}^n (2 i-1)^{-s}-\sum _{i=1}^n (2 i)^{-s}}{\frac{1}{2 (2 n)^s}}\right)=1-2=-1\qquad\qquad\qquad (19) $$

Все согласны?

[g______d]

maravan в сообщении #1467322 писал(а):

Вычтем из (15) (14), тогда

Никаких (15) и (14) пока нет, ну или не ясно, что они значат.

Равенство

maravan в сообщении #1467322 писал(а):

$$ \left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}- $$

$$ \left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}-\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right]+\left[\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right] $$

очевидно неверно в любом случае: левая часть не может свестись к конечной сумме в правой части, которая ещё и при разных $n$ разная.

[maravan]

g______d
Вроде же договорились, что $\rho$ можно не считать, поэтому переписывать не стал, считая, что с $\rho$ прояснили все моменты.
Вот, где я определяю (14) (15).

maravan в сообщении #1467254 писал(а):

Хочу поделиться формой записи.

Введем обозначение

$\rho (\lambda (n))=\rho \left(\sum _{i=0}^\infty a_i n^{-s-i}\right)$, $n\in \mathbb{N},\operatorname{Re}(s)\in (0,1),\operatorname{Im}(s)\in \mathbb{R},n\to \infty ,a_i\in \mathbb{C},a_i$-константа

Тогда каждый член ряда, стоящий в $\rho$ является бесконечно малой порядка $-s - i$.
Сравним порядок $-s-i_1$ и $-s-i_2$, тогда если $i_1 > i_2$, то $-s-i_1$ - более высокого порядка чем $-s-i_2$.
В записи $\rho (\lambda (n))$ будем формировать $\lambda (n)$ от более низкого порядка к более высокому, также в $\lambda (n)$ будем добавлять столько членов (не произвольных), сколько может потребоваться для промежуточных расчетов.

Далее расчеты будут проводится для $n\in \mathbb{N},\operatorname{Re}(s)\in (0,1),\operatorname{Im}(s)\in \mathbb{R},n\to \infty$.

Используем запись для дзета-функции

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{n^{-s}}{2}-\frac{s n^{-s-1}}{2\ 6}\right) $$

Тогда

$$ \zeta (s)=2^s \sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2^{1-s} (1-s)}-\rho \left(\frac{(2 n)^{-s}}{2\ 2^{-s}}-\frac{s n^{-s-1}}{2\ 6\ 2^{-s-1}}\right) $$

И

$$ 2^{-s} \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-\rho \left(\frac{1}{2} (2 n)^{-s}-\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right) \qquad\qquad\qquad(14) $$

Используем представление дзета-функции через нечётные $n$, запишем

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^{2 n-1} \frac{1}{i^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right) $$

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^{2 n} \frac{1}{i^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right) $$

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right) $$

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right)\qquad(15) $$

Будет ли понятна такая запись?

Ссылка на литературу:

1. Note sur les zéros de la fonction $\zeta(s)$ de Riemann, стр. 294

Далее, в последнем вашем посте, где вы пишете:

Цитата:

очевидно неверно в любом случае: левая часть не может свестись к конечной сумме в правой части, которая ещё и при разных $n$ разная.

Я перенёс часть формулы на другую строку, так как она просто не влезла в ширину верстки на форуме.
В левой части выражение с дзета-функцией, в правой - бесконечная сумма плюс дополнительное выражение, потом идет минус и на следующую строку я перенес выражение с бесконечно малыми функциями.

[g______d]

maravan в сообщении #1467370 писал(а):

Вроде же договорились, что $\rho$ можно не считать, поэтому переписывать не стал, считая, что с $\rho$ прояснили все моменты.

Нет, Вы неправильно поняли. Я произнёс тривиальную вещь, что если $\rho(x)=x$, то никакого $\rho$ вводить нет смысла. Это не означает, что что-то из дальнейшего верно, дальше я просто не читал.

Не надо копировать целые страницы. Пишите по одному короткому верному утверждению, как раньше.

Если я неправильно процитировал формулу, напишите правильную версию, так, чтобы можно было легко проверить.

-- Сб, 06 июн 2020 12:03:02 --

Начните с (14) в формально верной версии.

[maravan]

g______d
Ок, понял вас.

Переписываю всё сначала.

(Оффтоп)

Заранее извиняюсь, текст ниже получился не очень красивым, так как ни длинные формулы, ни картинки больше 800px вставить на форум у меня не получилось. Тэг для центрирования картинок тоже отсутствует .
Добавил к бесконечно малым продолжение в виде ...

Далее расчеты будут проводится для $n\in \mathbb{N},\operatorname{Re}(s)\in (0,1),\operatorname{Im}(s)\in \mathbb{R},n\to \infty$.
Используем запись для дзета-функции

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-\left[\frac{n^{-s}}{2}-\frac{s n^{-s-1}}{2\ 6}+...\right] $$

Тогда

$$ \zeta (s)=2^s \sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2^{1-s} (1-s)}-\left[\frac{(2 n)^{-s}}{2\ 2^{-s}}-\frac{s n^{-s-1}}{2\ 6\ 2^{-s-1}}+...\right] $$

И

$$ 2^{-s} \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-\left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}-\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}+...\right] \qquad\qquad\qquad(14) $$

Используем представление дзета-функции через нечётные $n$, запишем

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^{2 n-1} \frac{1}{i^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\left[\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+...\right] $$

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^{2 n} \frac{1}{i^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\left[\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+...\right] $$

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\left[\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+...\right] $$

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\left[\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+...\right]\qquad(15) $$

Вычтем из (15) (14), тогда

$$\begin{array}{rcl} \left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-{} \\ {}-\left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}-\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right]+\left[\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right] \end{array}$$

$$\begin{array}{rcl} \left(1-2^{-s}\right) \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-{} \\ {}-\left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}+\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right] \qquad (16) \end{array}$$

Используя (14), если $s$ - нуль дзета-функции, то

$$ \sum _{i=1}^n (2 i)^{-s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}=\left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}-\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}+...\right]\qquad (17) $$

Используя (16), если $s$ - нуль дзета-функции, то

$$\begin{array}{rcl} \sum _{i=1}^n (2 i-1)^{-s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}={}\\={}\left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}+\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}+...\right] (18) \end{array}$$

Вычтем из (18) (17), получим

$$\begin{array}{rcl} \sum _{i=1}^n (2 i-1)^{-s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-\sum _{i=1}^n (2 i)^{-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}={} \\ {}=\left[\frac{1}{2} (2 n)^{-s}+\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{1}{2} (2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}+\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right] \end{array}$$

Или

$$ \sum _{i=1}^n (2 i-1)^{-s}-\sum _{i=1}^n (2 i)^{-s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}=\left[\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{3} s (2 n)^{-s-1}+...\right] $$

Поделим обе части на $\frac{1}{2 (2 n)^s}$, получим

$$ \frac{\sum _{i=1}^n (2 i-1)^{-s}-\sum _{i=1}^n (2 i)^{-s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}+\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}}{\frac{1}{2 (2 n)^s}}=\left[\frac{\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{3} s (2 n)^{-s-1}+...}{\frac{1}{2 (2 n)^s}}\right] $$

Заметим, что

$$ \lim_{n\to \infty } \left(\frac{\frac{(2 n)^{1-s}}{1-s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}}{\frac{1}{2 (2 n)^s}}\right)=2 $$

И

$$ \lim_{n\to \infty } \left(\frac{\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}+\frac{1}{3} s (2 n)^{-s-1}+...}{\frac{1}{2 (2 n)^s}}\right)=1 $$

Тогда

$$ \lim_{n\to \infty } \left(\frac{\sum _{i=1}^n (2 i-1)^{-s}-\sum _{i=1}^n (2 i)^{-s}}{\frac{1}{2 (2 n)^s}}\right)=1-2=-1\qquad\qquad\qquad (19) $$

Ссылка на литературу:

1. Note sur les zéros de la fonction $\zeta(s)$ de Riemann, стр. 294

Так лучше?

[g______d]

maravan в сообщении #1467379 писал(а):

Используем запись для дзета-функции

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-\left[\frac{n^{-s}}{2}-\frac{s n^{-s-1}}{2\ 6}+...\right] $$

Что значит "..."?

Ещё раз: не нужно переписывать сразу всю простыню. Выписывайте по одному легко проверяемому однозначно интерпретируемому короткому утверждению. Как Вы делали раньше. После первого непонятного места всё равно никто дальше читать не будет.

[maravan]

g______d

Ок.

Воспользуемся литературой, Note sur les zéros de la fonction $\zeta(s)$ de Riemann, стр. 294.
Привожу выдержку.

В переводе на русский: "Предполагается, что действительная часть $s>0$, и, вычисляя сумму с использованием общей формулы суммирования, получаем известную формулу:"

$$ \zeta (s)=\sum _{1}^n n^{-s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-\frac{n^{-s}}{2}+\frac{s B_1 n^{-s-1}}{1\ 2}-\frac{s (s+1) (s+2) B_3 n^{-s-3}}{1\ 2\ 3\ 4}+... $$

Используя вышеприведенную формулу запишем

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-\left[\frac{n^{-s}}{2}-\frac{s n^{-s-1}}{2\ 6}+...\right] $$

В "..." я вынес всё, что выше порядка $-s-1$.

[Lia]

maravan
Уберите картинки в post1467379.html#p1467379, наберите формулы. Посмотрите в FAQ http://dxdy.ru/topic183.html, как это делается.
Можете учесть последующее замечание g______d и привести только первое содержательное утверждение. Не нужно все переписывать, тем более, каждый раз.

maravan в сообщении #1467382 писал(а):

Привожу выдержку.

Здесь картинку можете оставить, но наберите текст выдержки полностью, на любом языке форума (англ. или русском).

[Lia]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[g______d]

maravan в сообщении #1467382 писал(а):

В "..." я вынес всё, что выше порядка $-s-1$.

Ок, лучше, но всё-таки ещё лучше было бы выражение в квадратных скобках как-нибудь обозначить, например, через $R(n,s)$, и дальше пользоваться этим обозначением.

[maravan]

g______d
Ок, да, похоже, что сразу нужно было так и обозначать ).

Используя вышеприведенную формулу из литературы, запишем

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-R_1(n,s) $$

$$ R_1(n,s)=\frac{n^{-s}}{2}-\frac{s n^{-s-1}}{2\ 6}+... $$

Так нормально?

[g______d]

maravan в сообщении #1467394 писал(а):

Так нормально?

Почти. Но формулу для $R_1(n,s)$ нужно выписать полностью, используя знак суммирования и без многоточий, и отметить, что ряд для неё сходится в той области $s$, которую мы рассматриваем (если это так).