спасибо за уточняющий момент, вероятно, что не знаю, как правильно сформулировать.
Для меня, предел, который я привел рассматривается следующим образом:
Взяли сначала предел для
![$n\to \infty$ $n\to \infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/1/ef14b5590a55d11e5c8dd5b37eb6fdf282.png)
Так и пишут, как в Ваших формулах (11)-(13) выше.
Не буду вдаваться в их правильность.
А здесь внутренний предел в левой части либо равен нулю, либо бесконечности, либо не существует. Стало быть, то же касается внешнего. Откуда взяться правой части? (и кто такой
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
?)
Otta,
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
- взялось из (4), из него можно найти отношение
![$\frac{\eta(1-s)}{\eta(s)}$ $\frac{\eta(1-s)}{\eta(s)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/3/d03e8b61efbaaa202c5d137b31f3d31b82.png)
. Используя (4) можно записать
![$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}}{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}}\right)\right)=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k,k\in \mathbb{C}
$$ $$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}}{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}}\right)\right)=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k,k\in \mathbb{C}
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/c/e5c002ac82c0232fe5d4036733f84e5b82.png)
поскольку в правой части ни один из сомножителей не обращается в нуль, также нет особых точек, когда
![$s_0$ $s_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/3/ac3148a5746b81298cb0c456b661f19782.png)
- нуль дзета-функции.
Да, вы верно заметили, что предел
![$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^{2 s-1}\right)\right)
$$ $$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^{2 s-1}\right)\right)
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/a/d5a6574dc7984a994ec585f1ec9a277582.png)
либо равен нулю, либо бесконечности, либо не существует. Но есть нюанс, и заключается он в том, что есть такие значения
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
, при которых существует конечный предел от модуля
![$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(|(2 n)^{2 s-1}|\right)\right)=|k|
$$ $$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(|(2 n)^{2 s-1}|\right)\right)=|k|
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/a/7aa7d3074195adcc02bc8e01f16dea0482.png)
То есть, перефразирую, нужно найти такое множество значений
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
, при которых этот предел равен константе. И если окажется так, что константе этот предел равен только в случае единственного
![$\operatorname{Re}(s)$ $\operatorname{Re}(s)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e46a18b642c9e658d1b17cc7dd6f2c082.png)
, то все нули могут иметь только это значение
![$\operatorname{Re}(s)$ $\operatorname{Re}(s)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e46a18b642c9e658d1b17cc7dd6f2c082.png)
. Я придерживался именно такой логики.
Мне достаточно тяжело оперировать пределами и изначально я всё рассматривал без них, далее, когда почитал комментарии участников дискуссии на другом ресурсе, понял, что, чтобы всем было понятно о чём я пишу, нужно давать строгие математические аргументации, а с этим у меня как раз есть проблемы. Поэтому я заранее извиняюсь за некоторое невежество в строгих формулировках
![Sad :-(](./images/smilies/icon_sad.gif)
.