Анализ Дзета-функции Римана

[maravan]

g______d
Записал

$$ R_1(n,s)=\frac{n^{-s}}{2}+\sum _{i=2}^{\infty } \frac{\binom{1-s}{i} B_i n^{1-s-i}}{1-s}, B_i - \text{числа Бернулли} $$

Так нормально?

[g______d]

maravan в сообщении #1467427 писал(а):

Так нормально?

Если ряд сходится, то да. А он сходится?

[maravan]

g______d

Поскольку каждый член $R_1(n,s)$ является бесконечно малой функцией для $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$, $\operatorname{Im}(s)\in \mathbb{R}$, при $n\to \infty$, то

$$ \lim_{n\to \infty } \left(R_1(n,s)\right)=0 $$

Согласны?

[g______d]

maravan в сообщении #1467536 писал(а):

Поскольку каждый член $R_1(n,s)$ является бесконечно малой функцией для $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$, $\operatorname{Im}(s)\in \mathbb{R}$, при $n\to \infty$, то

$$ \lim_{n\to \infty } \left(R_1(n,s)\right)=0 $$

Согласны?

Нет, конечно. Это абсолютно бессмысленная фраза. Даже если попытаться ввести определение "бесконечно малой функции", которое Вы используете не вводя, из того, что каждый член ряда является "бесконечно малым", не следует, что ряд сходится.

[maravan]

g______d

Могу я попросить вас привести пример, когда сумма бесконечно малых функций в пределе не даст $0$?

[g______d]

maravan в сообщении #1467542 писал(а):

сумма бесконечно малых функций в пределе не даст $0$?

Сначала дайте полное определение бесконечно малой функции в том смысле, в котором Вы его используете.

-- Вс, 07 июн 2020 16:29:57 --

Кроме того, Вы пишете

maravan в сообщении #1467536 писал(а):

$$ \lim_{n\to \infty } \left(R_1(n,s)\right)=0 $$

хотя никакого $R_1(n,s)$ пока ещё не существует.

[maravan]

g______d

Функция $\alpha (n)$ является бесконечно малой, при $n\to n_0$, если

$$\lim_{n\to n_0}\left(\alpha (n)\right) =0$$

$n_0$ - некоторое число или символ: $\infty$, $+\infty$, $-\infty$.

[g______d]

Хорошо: $\alpha(n)=1/n$, бесконечно малая при $n\to +\infty$.

$\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k}=+\infty$,

в пределе при $n\to+\infty$ тоже $+\infty$, поскольку предел константы равен той же самой константе.

Конечно, если ряд сходится и мы оперируем конечными пределами, то такое невозможно, но Вы пока не доказали, что этот вариант имеет место.

[maravan]

g______d

В вашей записи $\alpha (n)$ и $\sum _{i=1}^{+\infty } \frac{1}{k}$ никак не связаны, каждый член суммы - не бесконечно малая величина, так, как не подпадает под определение бесконечно малой.

-- Пн июн 08, 2020 04:05:41 --

g______d в сообщении #1467461 писал(а):

maravan в сообщении #1467427 писал(а):

Так нормально?

Если ряд сходится, то да. А он сходится?

Может я вас не так понял?
Вы про какой ряд пишете?

[g______d]

maravan в сообщении #1467547 писал(а):

В вашей записи $\alpha (n)$ и $\sum _{i=1}^{+\infty } \frac{1}{k}$ никак не связаны, каждый член суммы - не бесконечно малая величина, так, как не подпадает под определение бесконечно малой.

Значит, я неправильно понял Ваше определение. Но я не хочу тратить время на вытягивание правильного определения.

Выпишите формальное доказательство сходимости ряда для $R_1(n,s)$, не используя несуществующих объектов.

-- Вс, 07 июн 2020 17:08:42 --

maravan в сообщении #1467547 писал(а):

Вы про какой ряд пишете?

Про этот (начиная со значка суммы):

maravan в сообщении #1467427 писал(а):

$$ R_1(n,s)=\frac{n^{-s}}{2}+\sum _{i=2}^{\infty } \frac{\binom{1-s}{i} B_i n^{1-s-i}}{1-s}, B_i - \text{числа Бернулли} $$

потому что пока он не сходится, никакого $R_1(n,s)$ не существует.

[nnosipov]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1467548 писал(а):

потому что пока он не сходится,

А он очевидно расходится для любого натурального $n$ и любого комплексного $s$ с реальной частью $\in (0,1)$.

[maravan]

g______d

Определим ряд

$$R_1(n,s)=\frac{n^{-s}}{2}+\sum _{i=2}^{\infty } \frac{\binom{1-s}{i} B_i n^{-i-s+1}}{1-s}$$

$$ n\in \mathbb{N},\operatorname{Re}(s)\in (0,1),\operatorname{Im}(s)\in \mathbb{R},n\to \infty $$

Из литературы известно, что

$$ \zeta (s)=\lim_{n\to \infty}\left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}\right) $$

И

$$ \zeta (s)=\lim_{n\to \infty}\left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-R_1(n,s)\right) $$

Ссылка на литературу:

1. Note sur les zéros de la fonction $\zeta(s)$ de Riemann, стр. 294

Вычтем из первого предела второй, получим

$$ \lim_{n\to \infty}\left(R_1(n,s)\right)=0 $$

На всякий случай, чтобы не искать, приведу, что написано в литературе (дословно):

$$ \zeta (s)=\lim_{n=\infty}\left[\sum _{1}^n n^{-s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}\right] $$

$$ \zeta (s)=\sum _{1}^n n^{-s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-\frac{1}{2} n^{-s}+\frac{s}{1\times2}B_1 n^{-s-1}-\frac{s (s+1) (s+2)}{1\times2\times3\times4}B_3 n^{-s-3}+... $$

Примечание: в литературе используется старая нотация для чисел Бернулли, $B_1=\frac{1}{6}$, и т.д.
В своих расчетах я использую современную нотацию, где $B_1=-\frac{1}{2}$, и т.д.

[g______d]

maravan в сообщении #1467627 писал(а):

Определим ряд

$$R_1(n,s)=\frac{n^{-s}}{2}+\sum _{i=2}^{\infty } \frac{\binom{1-s}{i} B_i n^{-i-s+1}}{1-s}$$

$$ n\in \mathbb{N},\operatorname{Re}(s)\in (0,1),\operatorname{Im}(s)\in \mathbb{R},n\to \infty $$

Это выражение не определяет никакого $R_1(n,s)$, пока не доказана сходимость ряда.

[nnosipov]

maravan в сообщении #1467627 писал(а):

Определим ряд

Вы неправильно понимаете этот ряд: он не обычный (который равен пределу своих частичных сумм), а так называемый асимптотический. Таким рядами нельзя пользоваться как обычными рядами. В частности, нельзя с их помощью определять функции (подобно тому, как с помощью ряда --- обычного --- определяется дзета-функция при $s$ с реальной частью $>1$).

-- Пн июн 08, 2020 23:38:31 --

Я хочу сказать, что вот этой формулой:

maravan в сообщении #1467627 писал(а):

$$ \zeta (s)=\sum _{1}^n n^{-s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-\frac{1}{2} n^{-s}+\frac{s}{1\times2}B_1 n^{-s-1}-\frac{s (s+1) (s+2)}{1\times2\times3\times4}B_3 n^{-s-3}+... $$

надо правильно пользоваться. Вот поясняющая цитата:

Цитата:

Cette formule est generalement semiconvergente, et donne pour $s$ reelle une exactitude d'autant plus grande que $n$ est suppose plus grand. Par exemple $n=20$ donne $\zeta(1/2)$ correctement avec plus de $30$ decimales.

Вообще, устаревшая терминология (semiconvergente) может ввести в заблуждение. Читать статьи начала 20 века не так-то просто даже профессионалу. В данном случае лучше заглянуть в википедию https://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Maclaurin_formula#Examples

[maravan]

g______d
nnosipov

Спасибо за пояснение и наводящие вопросы, понял.