Асимптотика сумматорных функций простого аргумента

[vicvolf]

Добрый день, уважаемые участники форума.
Одной из проблем теории простых чисел является определение сумм с простыми числами. Доказательство теорем на данную тему является достаточно трудоемким. В этом можно убедиться, изучая известные монографии Прахара, Бухштаба и.т.д.
У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,
но я не уверен в ее справедливости. Буду благодарен за замечания и предложения.
Приведу некоторое ее обоснование.
Пусть $f$- последовательность простых чисел. Обозначим $P_{a,b}$ - дискретную равномерную меру на интервале$[a,b)$. Известно, что эта мера является вероятностной мерой и для последовательности простых чисел равна плотности последовательности $f$ на данном интервале - $d(f,a,b)$. Тогда справедливо утверждение.
Утверждение
Вероятность натурального числа из интервала $[2,x)$ быть простым равна:
$P_{2,x}(f)=d(f,2,x)=1/\log(x)(1+o(1))$. (1)
Доказательство
На основании асимптотического закона простых чисел количество простых чисел, не превосходящих $x$ равно:
$\pi(x)=x/\log(x)(1+o(1))$ (2)
при $x \to \infty$.
Учитывая (2) получаем значение плотности простых чисел на интервале $[2,x)$:
$d(f,2,x)=\pi(x)/x=1/\log(x)(1+o(1))$ (3)
На основании того, что найденная в (3) плотность является вероятностной мерой, получим (1).
Сумматорной функцией простого аргумента является арифметическая функция вида:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)$, (4)
где $p$- простое число.
Обратим внимание, что последовательность значений $f(p):f(2),f(3),f(5),…$ получается просеиванием последовательности значений $f(n):f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),…$.
Таким образом, арифметическая функция $f(p)=f(n)$, если $n$ равно $p$, и $f(p)=0$, если $n$ не равно $p$.
Учитывая сказанное и доказанное выше утверждение:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)} (1+o(1))}$. (5)
Рассмотрим примеры определения асимптотики сумматорных функций простого аргумента с использованием (5).
Используя (5) и формулу Маклерона получим:
$\sum_{p \leq n} {1/p} = \sum_{k=2}^n {\frac {1} {k \log(k)} (1+o(1))}}=\log\log(n)(1+o(1))$. (6)
$\sum_{p \leq n} {\log(p)} = \sum_{k=2}^n \frac {\log(k)} {\log(k)}(1+o(1))}=n(1+o(1))$. (7)
$\sum_{p \leq n}{\frac {log(p)} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {\log(k)} {k\log(k)}(1+o(1))}=\log(n)(1+o(1))$. (8)
Результаты (6), (7) и (8) соответствуют формулам монографий Прахара и Бухштаба.
На основании (5) можно также получить другие асимптотические оценки.
Например, используя (5) и формулу Маклерона, можно легко получить обобщение формулы (7):
$\sum_{p \leq n} {p^l \log(p)} =\sum_{k=2}^n {\frac {k^llog(k)} {\log(k)}}= \frac {n^{l+1}} {l+1}(1+o(1))$, (9)
где $l \geq 0$.

[vicvolf]

Если замечаний нет, то наверно формула (5) верна. Это приятно, так как значительно упрощает доказательство теорем на данную тему и сводит определение асимптотик сумм с простыми числами к использованию формулы Маклерона.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1463341 писал(а):

Если замечаний нет

Не обольщайтесь на этот счет, просто читать Ваши неряшливо написанные тексты немного желающих. Это тяжелая и неблагодарная работа.

[vicvolf]

Все таки надеюсь, что кто-то прочитал или прочитает. Я старался изложить текст по-возможности подробно и с примерами. При необходимости готов пояснить.

[Brukvalub]

nnosipov в сообщении #1463347 писал(а):

Не обольщайтесь на этот счет, просто читать Ваши неряшливо написанные тексты немного желающих. Это тяжелая и неблагодарная работа.

Именно так! Например:

vicvolf в сообщении #1462270 писал(а):

У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,

У меня при чтении этой формулы не вызывает сомнений факт, что символом $f$ обозначена некоторая функция натурального аргумента. Но, чуть ниже, написано:

vicvolf в сообщении #1462270 писал(а):

Пусть $f$- последовательность простых чисел.

На этом месте я понимаю, что ничего не понимаю в этих обозначениях, вопрошаю себя "а не пошла бы эта ахинея лесом?" и бросаю читать.
А бегать за аффтаром многочисленных путаных опусов и выяснять все эти путаницы нет никакого желания, есть дела и поинтереснее.

[vicvolf]

Спасибо, действительно неточность в обозначении. Исправлю.

У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,
но я не уверен в ее справедливости. Буду благодарен за замечания и предложения.

Приведу некоторое ее обоснование.

Пусть $g$- последовательность простых чисел. Обозначим $P_{a,b}$ - дискретную равномерную меру на интервале$[a,b)$. Известно, что эта мера является вероятностной мерой и для последовательности простых чисел равна плотности последовательности $g$ на данном интервале - $d(g,a,b)$. Тогда справедливо утверждение.

Утверждение

Вероятность натурального числа из интервала $[2,n)$ быть простым равна:
$P_{2,n}(g)=d(g,2,n)=1/\log(n)(1+o(1))$. (1)

Доказательство

На основании асимптотического закона простых чисел количество простых чисел, не превосходящих $n$ равно:
$\pi(n)=n/\log(n)(1+o(1))$. (2)

Учитывая (2) получаем значение плотности простых чисел на интервале $[2,n)$:
$d(g,2,n)=\pi(n)/n=1/\log(n)(1+o(1))$ (3)

На основании того, что найденная в (3) плотность является вероятностной мерой, получим (1).

Сумматорной функцией простого аргумента является арифметическая функция вида:

$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)$, (4)
где $p$- простое число.

Обратим внимание, что последовательность значений $f(p):f(2),f(3),f(5),…$ получается просеиванием последовательности значений $f(n):f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),…$.

Таким образом, арифметическая функция $f(p)=f(n)$, если $n$ равно $p$, и $f(p)=0$, если $n$ не равно $p$.

Учитывая сказанное и доказанное выше утверждение:

$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)} (1+o(1))}$. (5)

Рассмотрим примеры определения асимптотики сумматорных функций простого аргумента с использованием (5).
Используя (5) и формулу Маклерона получим:

$\sum_{p \leq n} {1/p} = \sum_{k=2}^n {\frac {1} {k \log(k)} (1+o(1))}}=\log\log(n)(1+o(1))$. (6)

$\sum_{p \leq n} {\log(p)} = \sum_{k=2}^n \frac {\log(k)} {\log(k)}(1+o(1))}=n(1+o(1))$. (7)

$\sum_{p \leq n}{\frac {log(p)} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {\log(k)} {k\log(k)}(1+o(1))}=\log(n)(1+o(1))$. (8)

Результаты (6), (7) и (8) соответствуют формулам монографий Прахара и Бухштаба.

На основании (5) можно также получить другие асимптотические оценки.

Например, используя (5) и формулу Маклерона, можно легко получить обобщение формулы (7):

$\sum_{p \leq n} {p^l \log(p)} =\sum_{k=2}^n {\frac {k^llog(k)} {\log(k)}}= \frac {n^{l+1}} {l+1}(1+o(1))$, (9)

где $l \geq 0$.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #1463379 писал(а):

У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,

Пусть $f(n)=0$ для всех составных $n$. Исходя из этого постройте контрпример.

[vicvolf]

Sonic86 Спасибо за контрпример. В нем функция $f$ не является элементарной. Очевидно, надо добавить требование элементарности этой функции. Кроме того, для того чтобы далее использовать формулу Эйлера-Маклорена необходима также достаточная гладкость этой функции https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%BD%D0%B0

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #1463405 писал(а):

vicvolf в сообщении #1463379 писал(а):

У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,

Пусть $f(n)=0$ для всех составных $n$. Исходя из этого постройте контрпример.

Пусть $f(k)=0$ для всех составных $k$ и $f(k)=1$ для всех простых $k$, тогда на основании (5) и формулы Эйлера-Маклорена получаем асимптотический закон простых чисел:
$\pi (n)= \sum_{p \leq n} {1}= \sum_{k=2}^n {\frac {1} {log(k)} (1+o(1))}=\int_{k=2}^n {\frac {dk} {log(k)} (1+o(1))}$ или $\pi(n) \sim \int_{k=2}^n {\frac {dk} {log(k)}$.

[Brukvalub]

Sonic86 в сообщении #1463405 писал(а):

vicvolf в сообщении #1463379 писал(а):

У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,

Пусть $f(n)=0$ для всех составных $n$. Исходя из этого постройте контрпример.

vicvolf в сообщении #1463560 писал(а):

Sonic86 Спасибо за контрпример. В нем функция $f$ не является элементарной. Очевидно, надо добавить требование элементарности этой функции. Кроме того, для того чтобы далее использовать формулу Эйлера-Маклорена необходима также достаточная гладкость этой функции

vicvolf в сообщении #1465132 писал(а):

Пусть $f(k)=0$ для всех составных $k$ и $f(k)=1$ для всех простых $k$, тогда на основании (5) и формулы Эйлера-Маклорена получаем асимптотический закон простых чисел:

Впрочем, что это я засуетился?
ТС - любитель, а любителя бить нельзя. Любителю все можно, он себе разрешил.

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1465138 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1463405 писал(а):

vicvolf в сообщении #1463379 писал(а):

У меня родилась гипотеза о справедливости следующей формулы:
$S(n)=\sum_{p \leq n} {f(p)}= \sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {log(k)} (1+o(1))}$,

Пусть $f(n)=0$ для всех составных $n$. Исходя из этого постройте контрпример.

vicvolf в сообщении #1463560 писал(а):

Sonic86 Спасибо за контрпример. В нем функция $f$ не является элементарной. Очевидно, надо добавить требование элементарности этой функции. Кроме того, для того чтобы далее использовать формулу Эйлера-Маклорена необходима также достаточная гладкость этой функции

vicvolf в сообщении #1465132 писал(а):

Пусть $f(k)=0$ для всех составных $k$ и $f(k)=1$ для всех простых $k$, тогда на основании (5) и формулы Эйлера-Маклорена получаем асимптотический закон простых чисел:

Впрочем, что это я засуетился?

Вот именно:) Я просто показал, что в этом частном случае, даже не элементарной $f$, формула справедлива. Наверно есть другие случаи, при которых формула не справедлива даже для элементарных $f$. Это же только гипотеза. Буду благодарен за другие контрпримеры.

[Null]

Для многочленов ваше утверждение верно, а вот на $f(x)=2^x$ обламывается. Или $f(x)=\frac{1}{x}$

[vicvolf]

Null Спасибо!

Null в сообщении #1465165 писал(а):

$f(x)=\frac{1}{x}$

vicvolf в сообщении #1463379 писал(а):

$\sum_{p \leq n} {1/p} = \sum_{k=2}^n {\frac {1} {k \log(k)} (1+o(1))}}=\log\log(n)(1+o(1))$.

Null в сообщении #1465165 писал(а):

а вот на $f(x)=2^x$ обламывается.

Можете доказать или дать ссылку на формулу $\sum_{p \leq x} {2^p}$ ?

Null в сообщении #1465165 писал(а):

Для многочленов ваше утверждение верно

Это не многочлены:

$\sum_{p \leq n} {1/p} = \sum_{k=2}^n {\frac {1} {k \log(k)} (1+o(1))}}=\log\log(n)(1+o(1))$. (6)

$\sum_{p \leq n} {\log(p)} = \sum_{k=2}^n \frac {\log(k)} {\log(k)}(1+o(1))}=n(1+o(1))$. (7)

$\sum_{p \leq n}{\frac {log(p)} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {\log(k)} {k\log(k)}(1+o(1))}=\log(n)(1+o(1))$. (8)

Результаты (6), (7) и (8) соответствуют формулам монографий Прахара и Бухштаба.

На основании (5) можно также получить другие асимптотические оценки.

Например, используя (5) и формулу Маклерона, можно легко получить обобщение формулы (7):

$\sum_{p \leq n} {p^l \log(p)} =\sum_{k=2}^n {\frac {k^llog(k)} {\log(k)}}= \frac {n^{l+1}} {l+1}(1+o(1))$, (9)

где $l \geq 0$.

[Null]

$f(x)=\frac{1}{x}$ ну да сумма расходиться, я имел в виду $f(x)=\frac{1}{x^2}$
Если я правильно понимаю чтоб ваше утверждение было верно надо чтобы:
1.Сумма расходиться.
2.$\forall C \lim_{x \to \infty}\frac{f(x-c\ln{x})}{f(x)}=1$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»