Анализ Дзета-функции Римана

[Otta]

maravan в сообщении #1458012 писал(а):

$$ \lim_{s\to s_0 }\left(\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{\eta (s) 2 (2 n)^s}\right)\right)=1,\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(8) $$

Почему?

[maravan]

Otta

Исхожу из определения функции.

Допустим, дана непрерывная функция $f(s)\in \mathbb{R},s\in \mathbb{R}$ на некотором интервале $s\in \left(a_0,a_1\right)$, на этом интервале функция имеет нули.
Тогда, если $s_0$-нуль функции, то

$$ \lim_{s\to s_0}\frac{f(s)}{f(s)}=1,s\in \left(a_0,a_1\right) $$

Неверно?

[Otta]

maravan
Вы что-то другое хотели написать? под пределом тождественная единица.

-- 26.04.2020, 16:33 --

Так что резюме: верно, но информации не принесет никакой.
Продолжу еще:
Считаем (8) явно. Внутренний предел, по $n$ равен нулю для любых $s$ из достаточно малой проколотой окрестности $s_0$, тогда внешний тоже равен нулю. Единице он не равен.

Продолжу

maravan в сообщении #1457756 писал(а):

Тогда, если $s$ - нуль дзета-функции, то будет верно

$$ \eta (s)=\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{2 (2 n)^s}\right),\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(7) $$

То есть если $s$ ноль дзета-функции, с тем же успехом можно было написать, что

$$ \eta (s)=\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{2 (2 n!)^s}\right),\operatorname{Re}(s)>0 $$

тоже было бы правдой, но почему то Вы не написали. Ладно, не отвлекаюсь. Хотя интересно, почему. И почему понадобилось так много выкладок, чтобы по сути, сказать, что в нуле дзета функции $\eta =0$. Бог с ним (хотя почему?), не буду отвлекаться.

Но в выражении

maravan в сообщении #1458012 писал(а):

$$ \lim_{s\to s_0 }\left(\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{\eta (s) 2 (2 n)^s}\right)\right)=1,\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(8) $$

под знаком предела в малой проколотой окрестности $s_0$ число $s$ не является нулем. На каком основании для $\eta(s)$ Вы используете (7)?

[maravan]

Otta
Спасибо, вы правы, поспешил.

Основная идея рассмотреть предел отношения (5)

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty }\left(\frac{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}}{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}}\right)\right) =k,k\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)\in(0,1) $$

И показать, что он в нулях равен

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\frac{\eta (s) }{\eta (1-s)}\right)=k,k\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)\in(0,1) $$

А дальше, показать, что, если брать общий предел (используя (7)) и принимать во внимание, что дзета-функция раскладывается в произведение (используя произведение Адамара), то, в нуле $s_0$ формально нули сократятся (парой).

И тогда в нулях

$$ \lim_{s\to s_0} \left(\lim_{n\to \infty }\frac{2 (2 n)^{1-s}}{2 (2 n)^s}\right)=k,k\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)\in(0,1) $$

Буду думать.

[maravan]

Вернусь к теме.

Немного порассуждал, мне явно не хватает знаний в теории пределов, попробую донести свой ход рассуждений.

Далее по тексту $s_0$ - нуль дзета-функции. И рассуждения ведутся для $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$.

Используя рассуждения (3) и (7), можем записать

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1,\forall s $$

Также будет верно, что

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\left(-2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)=\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}-\frac{(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)}{1-s}=1 $$

Тогда

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\left(-2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad(11) $$

И

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\left(-2 (2 n)^{1-s} \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad(12) $$

Поскольку существуют отличные от нуля пределы (11) и (12), поделим (12) на (11), получим

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\frac{2 (2 n)^{1-s} \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}\right)}{2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)}=1 $$

Тогда

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\left((2 n)^{1-2 s}\frac{\left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}\right)}{\left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)}\right)=1 \qquad\qquad\qquad(13) $$

Используем (4), заметим, что

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\frac{\left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}\right)}{\left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)}=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k, k\in \mathbb{C} \qquad\qquad\qquad(14) $$

так как нули в правой части не совпадают с нулями дзета-функции.


Поскольку существуют пределы (13) и (14) отличные от нуля, тогда запишем отношение (13) и (14), получим

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}(2 n)^{2 s-1}=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k, k\in \mathbb{C} $$

Иными словами при $s\to s_0$ предел

$$\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}(2 n)^{2 s-1}=k, k\in \mathbb{C}$$

С такой записью все согласны?

[Otta]

maravan в сообщении #1459726 писал(а):

Используя рассуждения (3) и (7), можем записать

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1,\forall s $$

Стоп. Что значит для любого $s$? Если этот предел существует, от $s$ он не зависит. Только от $s_0$. А оно совсем не любое.
Это раз.
Обосновывать существование двойного предела - отдельное удовольствие. Почему Вы уверены, что он есть?

[maravan]

Otta в сообщении #1459727 писал(а):

maravan в сообщении #1459726 писал(а):

Используя рассуждения (3) и (7), можем записать

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1,\forall s $$

Стоп. Что значит для любого $s$? Если этот предел существует, от $s$ он не зависит. Только от $s_0$. А оно совсем не любое.
Это раз.
Обосновывать существование двойного предела - отдельное удовольствие. Почему Вы уверены, что он есть?

Ранее я доказывал, что

$$ \lim_{n\to \infty}\left((2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)=-(1-s) $$

Следовательно

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1 $$

В том смысле, что этот предел равен 1 для любого $s$, $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$, $s\neq1$, следовательно это будет верно и для $s\tos_0$, так как нас интересует ограниченный интервал и у функции нет особых точек на этом интервале.

[g______d]

Не ясно, что вообще это означает:

maravan в сообщении #1459730 писал(а):

$\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}$

Если это обозначает обычный двойной предел, то он скорее всего не существует. В любом случае, я не буду делать презумпций, но доказать существование -- Ваша обязанность. Возможно, стоит начать с определения. Если предел не двойной, а повторный, нужно так и писать и следить за тем, в каком порядке вычисляются пределы.

[Someone]

maravan в сообщении #1459730 писал(а):

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1 $$

В том смысле, что этот предел равен 1 для любого $s$

Извините, но я тоже не понимаю, что означают здесь слова "этот предел равен $1$ для любого $s$". В этом пределе $s$ — связанная переменная. Также, как, например, переменная $k$ в равенстве

$$\sum_{k=1}^{10}k=55.$$

Здесь совершенно невозможно сказать, что "эта сумма равна $55$ для любого $k$". Это бессмыслица. И у Вас точно такая же бессмыслица.

[maravan]

g______d в сообщении #1459731 писал(а):

Не ясно, что вообще это означает:

maravan в сообщении #1459730 писал(а):

$\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}$

Если это обозначает обычный двойной предел, то он скорее всего не существует. В любом случае, я не буду делать презумпций, но доказать существование -- Ваша обязанность. Возможно, стоит начать с определения. Если предел не двойной, а повторный, нужно так и писать и следить за тем, в каком порядке вычисляются пределы.

g______d
Почитал теорию, понял, что из-за своих пробелов, ввел в заблуждение участников.
С двойным пределом, к сожалению, не сталкивался (почитал литературу, понял, что есть очень много нюансов).

Предел нужно рассматривать, как повторный, который сначала берется для $n\to\infty$, затем $s\to s_0$.

Перепишу полученные выражения, в правильной, с моей точки зрения форме.

Все нижеприведенные формулы справедливы для $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$, $s_0$ - любой, произвольный нуль дзета-функции

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(-2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad (11) $$

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(-2 (2 n)^{1-s} \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}\right)\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad (12) $$

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left( (2 n)^{1-2 s} \frac{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}}{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}}\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad (13) $$

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^{2 s-1}\right)\right)=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k, k\in \mathbb{C} $$

-- Вс май 03, 2020 14:40:57 --

Someone в сообщении #1459732 писал(а):

maravan в сообщении #1459730 писал(а):

$$ \lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1 $$

В том смысле, что этот предел равен 1 для любого $s$

Извините, но я тоже не понимаю, что означают здесь слова "этот предел равен $1$ для любого $s$". В этом пределе $s$ — связанная переменная. Также, как, например, переменная $k$ в равенстве

$$\sum_{k=1}^{10}k=55.$$

Здесь совершенно невозможно сказать, что "эта сумма равна $55$ для любого $k$". Это бессмыслица. И у Вас точно такая же бессмыслица.

Someone, спасибо за уточняющий момент, вероятно, что не знаю, как правильно сформулировать.
Для меня, предел, который я привел рассматривается следующим образом:

1. Взяли сначала предел для $n\to \infty$
2. Далее, к какому бы $s$ ни стремилось полученное выражение, при $s\neq 1$, $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$ предел будет равен 1.

[Otta]

maravan в сообщении #1459769 писал(а):

спасибо за уточняющий момент, вероятно, что не знаю, как правильно сформулировать.
Для меня, предел, который я привел рассматривается следующим образом:
Взяли сначала предел для $n\to \infty$

Так и пишут, как в Ваших формулах (11)-(13) выше.
Не буду вдаваться в их правильность.

maravan в сообщении #1459769 писал(а):

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^{2 s-1}\right)\right)=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k, k\in \mathbb{C} $$

А здесь внутренний предел в левой части либо равен нулю, либо бесконечности, либо не существует. Стало быть, то же касается внешнего. Откуда взяться правой части? (и кто такой $k$?)

[Someone]

maravan в сообщении #1459769 писал(а):

к какому бы $s$ ни стремилось

В вашем пределе к $s$ ничто не стремится.

[maravan]

Otta в сообщении #1459780 писал(а):

maravan в сообщении #1459769 писал(а):

спасибо за уточняющий момент, вероятно, что не знаю, как правильно сформулировать.
Для меня, предел, который я привел рассматривается следующим образом:
Взяли сначала предел для $n\to \infty$

Так и пишут, как в Ваших формулах (11)-(13) выше.
Не буду вдаваться в их правильность.

maravan в сообщении #1459769 писал(а):

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^{2 s-1}\right)\right)=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k, k\in \mathbb{C} $$

А здесь внутренний предел в левой части либо равен нулю, либо бесконечности, либо не существует. Стало быть, то же касается внешнего. Откуда взяться правой части? (и кто такой $k$?)

Otta, $k$ - взялось из (4), из него можно найти отношение $\frac{\eta(1-s)}{\eta(s)}$. Используя (4) можно записать

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}}{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}}\right)\right)=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k,k\in \mathbb{C} $$

поскольку в правой части ни один из сомножителей не обращается в нуль, также нет особых точек, когда $s_0$ - нуль дзета-функции.


Да, вы верно заметили, что предел

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^{2 s-1}\right)\right) $$

либо равен нулю, либо бесконечности, либо не существует. Но есть нюанс, и заключается он в том, что есть такие значения $s$, при которых существует конечный предел от модуля

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(|(2 n)^{2 s-1}|\right)\right)=|k| $$

То есть, перефразирую, нужно найти такое множество значений $s$, при которых этот предел равен константе. И если окажется так, что константе этот предел равен только в случае единственного $\operatorname{Re}(s)$, то все нули могут иметь только это значение $\operatorname{Re}(s)$. Я придерживался именно такой логики.

Мне достаточно тяжело оперировать пределами и изначально я всё рассматривал без них, далее, когда почитал комментарии участников дискуссии на другом ресурсе, понял, что, чтобы всем было понятно о чём я пишу, нужно давать строгие математические аргументации, а с этим у меня как раз есть проблемы. Поэтому я заранее извиняюсь за некоторое невежество в строгих формулировках .

[g______d]

maravan в сообщении #1459924 писал(а):

Но есть нюанс, и заключается он в том, что есть такие значения $s$, при которых существует конечный предел от модуля

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(|(2 n)^{2 s-1}|\right)\right)=|k| $$

Во-первых, нельзя говорить "есть такие значения $s$". $s$ -- немая переменная, и левая часть не зависит от $s$. Если Вы имели в "есть такие значения $s_0$", то утверждение неверно: даже с модулями этот повторный предел либо не существует, либо равен нулю, либо бесконечности.

Если читать по порядку, то первое, что вызывает сомнения, -- это эта формула:

maravan в сообщении #1459769 писал(а):

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(-2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad (11) $$

Напишите доказательство. Я подозреваю, что Вы где-то делите ноль на ноль и считаете, что это равно единице.

maravan в сообщении #1459924 писал(а):

Мне достаточно тяжело оперировать пределами и изначально я всё рассматривал без них, далее, когда почитал комментарии участников дискуссии на другом ресурсе, понял, что, чтобы всем было понятно о чём я пишу, нужно давать строгие математические аргументации, а с этим у меня как раз есть проблемы. Поэтому я заранее извиняюсь за некоторое невежество в строгих формулировках .

Этот абзац можно прочитать следующим образом: "Используя запрещённые и не обоснованные строго операции с пределами, я доказал гипотезу Римана". Ценность этого результата очень низкая. Используя запрещённые операции, можно доказать любою гипотезу, даже неверную.

[Otta]

maravan в сообщении #1459924 писал(а):

либо равен нулю, либо бесконечности, либо не существует. Но есть нюанс, и заключается он в том, что есть такие значения $s$, при которых существует конечный предел от модуля

$$ \lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(|(2 n)^{2 s-1}|\right)\right)=|k| $$

Переведите. Сперва подчеркнутое, а потом - Вам в который раз пытаются внушить, что это вот от $s$ не зависит.
Что из этого непонятно?