2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение26.04.2020, 13:18 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
maravan в сообщении #1458012 писал(а):
$$
\lim_{s\to s_0 }\left(\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{\eta (s) 2 (2 n)^s}\right)\right)=1,\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(8)
$$

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение26.04.2020, 13:43 


08/07/07
96
Otta

Исхожу из определения функции.

Допустим, дана непрерывная функция $f(s)\in \mathbb{R},s\in \mathbb{R}$ на некотором интервале $s\in \left(a_0,a_1\right)$, на этом интервале функция имеет нули.
Тогда, если $s_0$-нуль функции, то

$$
\lim_{s\to s_0}\frac{f(s)}{f(s)}=1,s\in \left(a_0,a_1\right)
$$

Неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение26.04.2020, 13:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
maravan
Вы что-то другое хотели написать? под пределом тождественная единица.

-- 26.04.2020, 16:33 --

Так что резюме: верно, но информации не принесет никакой.
Продолжу еще:
Считаем (8) явно. Внутренний предел, по $n$ равен нулю для любых $s$ из достаточно малой проколотой окрестности $s_0$, тогда внешний тоже равен нулю. Единице он не равен.

Продолжу
maravan в сообщении #1457756 писал(а):
Тогда, если $s$ - нуль дзета-функции, то будет верно
$$
\eta (s)=\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{2 (2 n)^s}\right),\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(7)
$$

То есть если $s$ ноль дзета-функции, с тем же успехом можно было написать, что
$$
\eta (s)=\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{2 (2 n!)^s}\right),\operatorname{Re}(s)>0 
$$
тоже было бы правдой, но почему то Вы не написали. Ладно, не отвлекаюсь. Хотя интересно, почему. И почему понадобилось так много выкладок, чтобы по сути, сказать, что в нуле дзета функции $\eta =0$. Бог с ним (хотя почему?), не буду отвлекаться.

Но в выражении
maravan в сообщении #1458012 писал(а):
$$
\lim_{s\to s_0 }\left(\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{\eta (s) 2 (2 n)^s}\right)\right)=1,\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(8)
$$
под знаком предела в малой проколотой окрестности $s_0$ число $s$ не является нулем. На каком основании для $\eta(s)$ Вы используете (7)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение26.04.2020, 20:25 


08/07/07
96
Otta
Спасибо, вы правы, поспешил.

Основная идея рассмотреть предел отношения (5)
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty }\left(\frac{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}}{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}}\right)\right) =k,k\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)\in(0,1)
$$

И показать, что он в нулях равен
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\frac{\eta (s) }{\eta (1-s)}\right)=k,k\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)\in(0,1)
$$

А дальше, показать, что, если брать общий предел (используя (7)) и принимать во внимание, что дзета-функция раскладывается в произведение (используя произведение Адамара), то, в нуле $s_0$ формально нули сократятся (парой).

И тогда в нулях
$$
\lim_{s\to s_0} \left(\lim_{n\to \infty }\frac{2 (2 n)^{1-s}}{2 (2 n)^s}\right)=k,k\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)\in(0,1)
$$

Буду думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 01:45 


08/07/07
96
Вернусь к теме.

Немного порассуждал, мне явно не хватает знаний в теории пределов, попробую донести свой ход рассуждений.

Далее по тексту $s_0$ - нуль дзета-функции. И рассуждения ведутся для $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$.

Используя рассуждения (3) и (7), можем записать
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1,\forall s
$$

Также будет верно, что
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\left(-2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)=\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}-\frac{(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)}{1-s}=1
$$

Тогда
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\left(-2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)=1  \qquad\qquad\qquad(11)
$$

И
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\left(-2 (2 n)^{1-s} \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad(12)
$$
Поскольку существуют отличные от нуля пределы (11) и (12), поделим (12) на (11), получим

$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\frac{2 (2 n)^{1-s} \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}\right)}{2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)}=1
$$

Тогда
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\left((2 n)^{1-2 s}\frac{\left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}\right)}{\left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)}\right)=1 \qquad\qquad\qquad(13)
$$

Используем (4), заметим, что
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}\frac{\left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}\right)}{\left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)}=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi  {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k, k\in \mathbb{C} \qquad\qquad\qquad(14)
$$
так как нули в правой части не совпадают с нулями дзета-функции.


Поскольку существуют пределы (13) и (14) отличные от нуля, тогда запишем отношение (13) и (14), получим
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}(2 n)^{2 s-1}=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi  {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k, k\in \mathbb{C}
$$

Иными словами при $s\to s_0$ предел
$$\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}(2 n)^{2 s-1}=k, k\in \mathbb{C}$$

С такой записью все согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 01:56 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
maravan в сообщении #1459726 писал(а):
Используя рассуждения (3) и (7), можем записать
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1,\forall s
$$

Стоп. Что значит для любого $s$? Если этот предел существует, от $s$ он не зависит. Только от $s_0$. А оно совсем не любое.
Это раз.
Обосновывать существование двойного предела - отдельное удовольствие. Почему Вы уверены, что он есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 02:56 


08/07/07
96
Otta в сообщении #1459727 писал(а):
maravan в сообщении #1459726 писал(а):
Используя рассуждения (3) и (7), можем записать
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1,\forall s
$$

Стоп. Что значит для любого $s$? Если этот предел существует, от $s$ он не зависит. Только от $s_0$. А оно совсем не любое.
Это раз.
Обосновывать существование двойного предела - отдельное удовольствие. Почему Вы уверены, что он есть?


Ранее я доказывал, что
$$
\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)=-(1-s)
$$

Следовательно
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1
$$


В том смысле, что этот предел равен 1 для любого $s$, $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$, $s\neq1$, следовательно это будет верно и для $s\tos_0$, так как нас интересует ограниченный интервал и у функции нет особых точек на этом интервале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 03:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Не ясно, что вообще это означает:

maravan в сообщении #1459730 писал(а):
$\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}$


Если это обозначает обычный двойной предел, то он скорее всего не существует. В любом случае, я не буду делать презумпций, но доказать существование -- Ваша обязанность. Возможно, стоит начать с определения. Если предел не двойной, а повторный, нужно так и писать и следить за тем, в каком порядке вычисляются пределы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 03:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
maravan в сообщении #1459730 писал(а):
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1
$$


В том смысле, что этот предел равен 1 для любого $s$
Извините, но я тоже не понимаю, что означают здесь слова "этот предел равен $1$ для любого $s$". В этом пределе $s$ — связанная переменная. Также, как, например, переменная $k$ в равенстве $$\sum_{k=1}^{10}k=55.$$ Здесь совершенно невозможно сказать, что "эта сумма равна $55$ для любого $k$". Это бессмыслица. И у Вас точно такая же бессмыслица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 13:29 


08/07/07
96
g______d в сообщении #1459731 писал(а):
Не ясно, что вообще это означает:

maravan в сообщении #1459730 писал(а):
$\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )}$


Если это обозначает обычный двойной предел, то он скорее всего не существует. В любом случае, я не буду делать презумпций, но доказать существование -- Ваша обязанность. Возможно, стоит начать с определения. Если предел не двойной, а повторный, нужно так и писать и следить за тем, в каком порядке вычисляются пределы.


g______d
Почитал теорию, понял, что из-за своих пробелов, ввел в заблуждение участников.
С двойным пределом, к сожалению, не сталкивался :facepalm: (почитал литературу, понял, что есть очень много нюансов).

Предел нужно рассматривать, как повторный, который сначала берется для $n\to\infty$, затем $s\to s_0$.

Перепишу полученные выражения, в правильной, с моей точки зрения форме.

Все нижеприведенные формулы справедливы для $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$, $s_0$ - любой, произвольный нуль дзета-функции
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(-2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad (11)
$$
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(-2 (2 n)^{1-s} \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}\right)\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad (12)
$$
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left( (2 n)^{1-2 s} \frac{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}}{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}}\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad (13)
$$
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^{2 s-1}\right)\right)=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi  {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k, k\in \mathbb{C}
$$

-- Вс май 03, 2020 14:40:57 --

Someone в сообщении #1459732 писал(а):
maravan в сообщении #1459730 писал(а):
$$
\lim_{\left(s\to s_0\right) (n\to \infty )} \frac{\left(-(2 n)^s \left((2 n-1)^{1-s}-(2 n)^{1-s}\right)\right)}{1-s}=1
$$


В том смысле, что этот предел равен 1 для любого $s$
Извините, но я тоже не понимаю, что означают здесь слова "этот предел равен $1$ для любого $s$". В этом пределе $s$ — связанная переменная. Также, как, например, переменная $k$ в равенстве $$\sum_{k=1}^{10}k=55.$$ Здесь совершенно невозможно сказать, что "эта сумма равна $55$ для любого $k$". Это бессмыслица. И у Вас точно такая же бессмыслица.


Someone, спасибо за уточняющий момент, вероятно, что не знаю, как правильно сформулировать.
Для меня, предел, который я привел рассматривается следующим образом:
  1. Взяли сначала предел для $n\to \infty$
  2. Далее, к какому бы $s$ ни стремилось полученное выражение, при $s\neq 1$, $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$ предел будет равен 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 14:07 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
maravan в сообщении #1459769 писал(а):
спасибо за уточняющий момент, вероятно, что не знаю, как правильно сформулировать.
Для меня, предел, который я привел рассматривается следующим образом:
Взяли сначала предел для $n\to \infty$

Так и пишут, как в Ваших формулах (11)-(13) выше.
Не буду вдаваться в их правильность.
maravan в сообщении #1459769 писал(а):
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^{2 s-1}\right)\right)=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi  {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k, k\in \mathbb{C}
$$

А здесь внутренний предел в левой части либо равен нулю, либо бесконечности, либо не существует. Стало быть, то же касается внешнего. Откуда взяться правой части? (и кто такой $k$?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
maravan в сообщении #1459769 писал(а):
к какому бы $s$ ни стремилось
В вашем пределе к $s$ ничто не стремится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 22:06 


08/07/07
96
Otta в сообщении #1459780 писал(а):
maravan в сообщении #1459769 писал(а):
спасибо за уточняющий момент, вероятно, что не знаю, как правильно сформулировать.
Для меня, предел, который я привел рассматривается следующим образом:
Взяли сначала предел для $n\to \infty$

Так и пишут, как в Ваших формулах (11)-(13) выше.
Не буду вдаваться в их правильность.
maravan в сообщении #1459769 писал(а):
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^{2 s-1}\right)\right)=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi  {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k, k\in \mathbb{C}
$$

А здесь внутренний предел в левой части либо равен нулю, либо бесконечности, либо не существует. Стало быть, то же касается внешнего. Откуда взяться правой части? (и кто такой $k$?)


Otta, $k$ - взялось из (4), из него можно найти отношение $\frac{\eta(1-s)}{\eta(s)}$. Используя (4) можно записать
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^{1-s}}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^{1-s}}}{\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}}\right)\right)=-\frac{2 \left(2^{s_0}-1\right) \pi ^{-{s_0}} \cos \left(\frac{\pi  {s_0}}{2}\right) \Gamma ({s_0})}{2^{s_0}-2}=k,k\in \mathbb{C}
$$
поскольку в правой части ни один из сомножителей не обращается в нуль, также нет особых точек, когда $s_0$ - нуль дзета-функции.


Да, вы верно заметили, что предел
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left((2 n)^{2 s-1}\right)\right)
$$
либо равен нулю, либо бесконечности, либо не существует. Но есть нюанс, и заключается он в том, что есть такие значения $s$, при которых существует конечный предел от модуля
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(|(2 n)^{2 s-1}|\right)\right)=|k|
$$
То есть, перефразирую, нужно найти такое множество значений $s$, при которых этот предел равен константе. И если окажется так, что константе этот предел равен только в случае единственного $\operatorname{Re}(s)$, то все нули могут иметь только это значение $\operatorname{Re}(s)$. Я придерживался именно такой логики.

Мне достаточно тяжело оперировать пределами и изначально я всё рассматривал без них, далее, когда почитал комментарии участников дискуссии на другом ресурсе, понял, что, чтобы всем было понятно о чём я пишу, нужно давать строгие математические аргументации, а с этим у меня как раз есть проблемы. Поэтому я заранее извиняюсь за некоторое невежество в строгих формулировках :-(.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
maravan в сообщении #1459924 писал(а):
Но есть нюанс, и заключается он в том, что есть такие значения $s$, при которых существует конечный предел от модуля
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(|(2 n)^{2 s-1}|\right)\right)=|k|
$$


Во-первых, нельзя говорить "есть такие значения $s$". $s$ -- немая переменная, и левая часть не зависит от $s$. Если Вы имели в "есть такие значения $s_0$", то утверждение неверно: даже с модулями этот повторный предел либо не существует, либо равен нулю, либо бесконечности.

Если читать по порядку, то первое, что вызывает сомнения, -- это эта формула:

maravan в сообщении #1459769 писал(а):
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(-2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)\right)=1 \qquad\qquad\qquad (11)
$$


Напишите доказательство. Я подозреваю, что Вы где-то делите ноль на ноль и считаете, что это равно единице.

maravan в сообщении #1459924 писал(а):
Мне достаточно тяжело оперировать пределами и изначально я всё рассматривал без них, далее, когда почитал комментарии участников дискуссии на другом ресурсе, понял, что, чтобы всем было понятно о чём я пишу, нужно давать строгие математические аргументации, а с этим у меня как раз есть проблемы. Поэтому я заранее извиняюсь за некоторое невежество в строгих формулировках :-(.


Этот абзац можно прочитать следующим образом: "Используя запрещённые и не обоснованные строго операции с пределами, я доказал гипотезу Римана". Ценность этого результата очень низкая. Используя запрещённые операции, можно доказать любою гипотезу, даже неверную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ Дзета-функции Римана
Сообщение03.05.2020, 23:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
maravan в сообщении #1459924 писал(а):
либо равен нулю, либо бесконечности, либо не существует. Но есть нюанс, и заключается он в том, что есть такие значения $s$, при которых существует конечный предел от модуля
$$
\lim_{s\to s_0}\left(\lim_{n\to \infty}\left(|(2 n)^{2 s-1}|\right)\right)=|k|
$$

Переведите. Сперва подчеркнутое, а потом - Вам в который раз пытаются внушить, что это вот от $s$ не зависит.
Что из этого непонятно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 82 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group