Распределение потенциала в плазме

[wRunner]

Здравствуйте. Возник вопрос с задачей из учебного пособия "Лекции по физике плазмы" (И. А. Котельников, Г. В. Ступаков): Плотность ионов в плазме как функция времени имеет вид ступеньки: она равна $n_0$ при $x < 0$ и $n_0+ n$ при $ x > 0 $, причем $n_0 \gg n $. Найти распределение потенциала и плотности электронов, если электронная температура равна $T$.
Расскажу ход своих мыслей. Записываем 2 уравнения Пуассона: для области $x > 0$ и $x < 0$, концентрацию ионов в обеих областях задана, а концентрацию электронов можно получить из распределения Больцмана (или можно попробовать получить концентрацию электронов из условия квазинейтральности). Вот такое у меня получилось уравнение, определяющее потенциал, в общем виде:
$\dfrac{d^2 \varphi}{dx^2}=-4\pi e(n_0+n h(x)-n_e(x))$
$n_e(x)=n_{e_0}\exp(\dfrac{e \varphi}{T}) \approx n_{e_0}(1+\dfrac{e \varphi}{T} )$
$n_{e_0}=n_0+n/2$ (условие квазинейтральности)
Но у меня не получается задать граничные условия, чтобы определить константы. Можно попробовать сшить потенциалы на границе, наложив непрерывность, но этого недостаточно. Я также не до конца уверен в определении концентрации электронов. Если кто-то имел дело с этой задачей или знает как правильно задать граничные условия и определить концентрацию электронов, подскажите пожалуйста.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите условие задачи в виде текста и наберите все формулы правильно (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[AnatolyBa]

Задача довольно странная. Но, по-моему, записывать условие квазинейтральности как вы нельзя. Надо записать условие на минус и плюс бесконечности. Тогда и уравнение Пуассона решать не понадобится.

[druggist]

AnatolyBa в сообщении #1452762 писал(а):

Тогда и уравнение Пуассона решать не понадобится

Почему не понадобится?

[AnatolyBa]

Ну мне как-то не понадобилось. Хотя, возможно, я чего-то не понимаю.

[wRunner]

AnatolyBa в сообщении #1452762 писал(а):

Надо записать условие на минус и плюс бесконечности. Тогда и уравнение Пуассона решать не понадобится.

Про какое условие вы говорите ? Я думал про условие на обращение в ноль потенциала на плюс и минус бесконечности, но здесь получается 2 уравнения второго порядка: для $x > 0 $ и $x < 0$, а значит нужно 4 условия. И для концентрации электронов нужно определить ее среднее значение $n_e_0$, иначе будет еще одно неизвестное. Для нее я и подумал об условии квазинейтральности на средние концентрации.

[druggist]

wRunner в сообщении #1452392 писал(а):

как правильно задать граничные условия

Концентрация электронов в плюс бесконечности равна $n_0+n$ , в минус бесконечности, соответственно, $n_0$ (предельное значение концентрации при $x$ стремящемся к минус, плюс бесконечности). Как может быть по другому? Квазинейтральность, однако)

[wRunner]

druggist в сообщении #1452869 писал(а):

Концентрация электронов в плюс бесконечности равна $n_0+n$ , в минус бесконечности, соответственно, $n_0$ (предельное значение концентрации при $x$ стремящемся к минус, плюс бесконечности).

Но что дает, то что мы знаем концентрацию на границах ? Если решать уравнение Пуассона, то нужны граничные значения потенциалов, а не концентраций электронов. И опять же для решения этого уравнения, нужно знать распределение концентрации по оси икс. Или вы предлагаете выразить среднюю концентрацию электронов как среднее от ее граничных значений?

[druggist]

Ну я бы положил в т $x=0$ концентрация электронов $n_e(0)=n_0+n/2$ но не из условия квазинейтральности (в т $x=0$ ее нет), а из симметрии задачи, скорее.

[wRunner]

А какие тогда граничные условие на потенциал для уравнения Пуассона вы предлагаете задать ? В этом по существу и заключается мой первый вопрос, ведь в задаче просят еще и распределение потенциала посчитать.

[amon]

wRunner в сообщении #1452900 писал(а):

А какие тогда граничные условие на потенциал для уравнения Пуассона вы предлагаете задать ?

$\nabla\varphi(\infty)=0$ и непрерывность в нуле.

[druggist]

wRunner в сообщении #1452900 писал(а):

ведь в задаче просят еще и распределение потенциала посчитать.

Ну, у вас же во всей области, т.е., для всех $x$ концентрация пропорциональна потенциалу (вы же привели уравнения)

[AnatolyBa]

druggist в сообщении #1452799 писал(а):

Почему не понадобится?

Да, конечно надо. Это я как-то не посмотрел, прошу прощения. Показалось, что нужно найти не распределение потенциала а только разность на плюс и минус бесконечности.

[druggist]

(Оффтоп)

AnatolyBa в сообщении #1452919 писал(а):

Показалось, что нужно найти не распределение потенциала

А я подумал, что раз уравнение простенькое, то и интегрировать нечего, все и так понятно)