Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.

[dick]

Ну конечно. Отписал Вам и тут же понял, о чем речь.
Если бы наш разговор состоялся в октябре или ноябре, я бы,пожалуй, попросил Вас рассмотреть условия целочисленности (10).
И Вы убедились бы, что эта целочисленность соблюдается только если $a_1/3=x-1$.
Но сейчас есть вариант попроще:
Вы, как я понимаю, согласны с тем что $a_1/3=6n$.
Тогда: $x_1=a_1/3+(x_1-a_1/3)=6n+p^2$ , где $p$-нечетное натуральное.
Но $6n+p^2$ это форма, и потому, $p^2$ меньше 6. Значит $p=1$.
Разумеется, можно взять $p>1$ и оставив единицу, в качестве постоянной части формы, включить остальное в $6n$.
Но в состав $6n$ может войти только квадрат, а это "остальное" квадратом не будет. Значит $p$ не может быть ничем кроме единицы.

[kotenok gav]

dick в сообщении #1449290 писал(а):

Но в состав 6n может войти только квадрат, а это "остальное" квадратом не будет.

Нет. Скажем, $6\times1+13^2=6\times21+7^2$.

[dick]

Что то я тут не то написал. Скажем так:
Для любого $a_1/3$ есть $x_1$ такое, что $x_1=a_1/3+1$.
И что значит Ваш пример?

[kotenok gav]

Мой пример значит, что $p^2$ может быть больше 6.

[dick]

Может, только в этом нет нужды. Что Вы скажете по поводу второй строки предыдущего сообщения?

[kotenok gav]

Так $x_1$ и $a_1$ у нас фиксированны.

[dick]

Что значит фиксированы? Мы положили, что эти числа- часть решения уравнения (1). Но мы же не знаем какие именно это числа?
Вот мы и занимаемся сокращением неограниченного множества кандидатур на решение, в надежде сократить его до нуля. Или нет?

[kotenok gav]

Нет, конечно. Мы не можем сокращать это множество. Вдруг существует решения для $x_1\ne a_1/3+1$ и не существует для $x_1=a_1/3+1$?

[dick]

Говоря о сокращении я имел ввиду суть доказательства в целом. И разумеется, любые сокращения должны быть обоснованы.
Вы согласны по поводу "фиксированности"?

[kotenok gav]

Тогда да. Но вы же не обосновываете это сокращение.

[dick]

Обосновываю. Из того что $x_1=6n+1$, следует, что каким бы ни было $x_1-a_1/3$ при некоем фиксированном $a_1/3$, всегда найдется такое $a_1/3$, что $x_1=a_1/3+1$. Или иначе: $x_1$ и $a_1/3$ принадлежащие одному шагу ряда отличаются на 1. Случаи когда $x_1-a_1/3 >1$ говорят лишь о том, что слагаемые относятся к разным шагам своих рядов. Поэтому, исключая из рассмотрения все $x_1-a_1/3 >1$, мы в действительности не исключаем ни одной пары.

[kotenok gav]

Какого еще ряда?

[dick]

Ряд $a_1/3$: $6,12,18,....$
Ряд $x_1$: $7,13,19....$
Можно совместить, будут пары: $6,7;12,13;18,19;24,25;30,31;....$

[kotenok gav]

И почему же мы можем оставить лишь одну пару? Пары неэквивалентны.

[dick]

Не понял вопрос.