Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?

[Sycamore]

Someone в сообщении #1449108 писал(а):

А зачем мне было гадать? Я об этом просто знал.

покорно прошу прощения - не стукнуло, что могло прозвучать неуважительно)

и действительно,

Someone в сообщении #1447892 писал(а):

функция $\aleph_{\alpha}\to 2^{\aleph_{\alpha}}$, насколько мне известно, имеет весьма слабые ограничения. Хотя предельные алефы, конечно, имеют свои особенности.

вполне перекликается с Баумгартнером:

Цитата:

One approach to the theory is by way of cardinal exponentiation. Cohen showed by forcing that $2^{\aleph_{0}}$ could be any of a vast class of cardinals, and this was extended by Easton to show that the same is true with ${\aleph_{0}}$ replaced by any regular cardinal.

But singular cardinals, like ${\aleph_{\omega}}$ , are different. For a long time it was expected that new forcing techniques would be developed to show that $2^{\aleph_{\omega}}$ could be large in exactly the same way as ${\aleph_{0}}$ , but Silver and Shelah showed otherwise. Silver showed that the Generalized Continuum Hypothesis cannot fail for the first time at a singular cardinal like $\aleph_{\omega_{1}}$ , and Shelah showed that the same sorts of restrictions apply to cardinals of countable cofinality (like ${\aleph_{\omega}}$) as well.

Someone в сообщении #1449108 писал(а):

Нет там никакого "прыжка". $\omega_1$ есть точная верхняя грань множества всех счётных ординалов. Нет никакого промежутка между множеством счётных ординалов и $\omega_1$.
А причём тут континуум-гипотеза, вообще непонятно. "Величина" $\omega_1$ никак от континуум-гипотезы не зависит.

всё так, конечно, но ... представим, что ничего не знали об $\omega_1$ и мощностях выше счётной ${\aleph_{0}}$ - придёт ли легко в голову, что за всеми ординалами типа $\omega^{\omega^{\omega^{...}}}+\omega^{127}+...$ можем определить новый отличающийся (чем?) от всех их? При всей своей строгости, первый несчётный ординал как точная верхняя грань предыдущих счётных таковых оставляет у меня некоторое впечатление выхолощенности и как-бы надуманности: дающее новые ординалы минимальное +1 надоело и потому вводим "руками" ближайшую бОльшую мощность как включающую все предыдущие ординалы; слава Богу, что не все кардиналы приходится определять таким тавтологическим, что ли, образом :)

Someone в сообщении #1449108 писал(а):

Вы берётесь наглядно описать структуру написанного Вами ординала в терминах, доступных школьникам?
Да, где-то там есть наименьший ординал, невыразимый средствами арифметики Пеано. Всё ещё счётный.

не знаю, ординалы никогда не привлекали, может из-за той же унылой тавтологии их генерации; незаменимы как средство трансфинитных нумерации и индексирования, однако.

правда, без них и Аксиомы Выбора теория кардиналов погрязнет в жутком хаосе частичного упорядочення, если не изменяет память насчёт вердикта Т.Йеха

[Someone]

Sycamore в сообщении #1449152 писал(а):

представим, что ничего не знали об $\omega_1$ и мощностях выше счётной ${\aleph_{0}}$ - придёт ли легко в голову, что за всеми ординалами типа $\omega^{\omega^{\omega^{...}}}+\omega^{127}+...$ можем определить новый отличающийся (чем?) от всех их?

Придёт. Причём, задолго до того, как мы начнём определять для них сумму, произведение, степень и тому подобное. Достаточно того, что мы догадались определить $\omega$ как супремум всех уже имеющихся и продолжать "прибавлять единицу" после этого. Дальше всё идёт автоматически. Последующие ваши рассуждения в этом абзаце после этого становятся бессмысленными, потому что дальше уже ни до чего нового догадываться не надо.

Sycamore в сообщении #1449152 писал(а):

незаменимы как средство трансфинитных нумерации и индексирования

Индексировать в каждом конкретном случае можно элементами любого достаточно большого множества. Ординалы играют более важную роль: это инструмент для индуктивных определений и доказательств, обобщающий на теорию множеств известный из арифметики метод полной математической индукции (так он назывался в школе, когда я был школьником).

Sycamore в сообщении #1449152 писал(а):

без них и Аксиомы Выбора

Ординалы и алефы вполне себе определяются и без аксиомы выбора. Хотя законы арифметики алефов, распространённые на все кардиналы, влекут аксиому выбора.

Sycamore в сообщении #1449152 писал(а):

без них и Аксиомы Выбора теория кардиналов погрязнет в жутком хаосе частичного упорядочення

Да, совсем без аксиомы выбора в теории кардиналов воцаряется хаос.

[Sycamore]

очень впечатляет скрупулёзная строгость Ваших изложений: приструнивают за любую мало-мальскую оплошность или пургу :), особо понравилось напоминание об ординалах как методе полной трансфинитной математической индукции.

Someone в сообщении #1449231 писал(а):

Достаточно того, что мы догадались определить $\omega$ как супремум всех уже имеющихся и продолжать "прибавлять единицу" после этого. Дальше всё идёт автоматически.

... именно: у ординалов пробелов нет по определению, для того и выдумали ("прыжок" за счётным я связывал с $2^{\aleph_{0}}$, а не с $\aleph_{1}$).

давно уже, как не возвращался к кардинальной арифметике, но вроде помню, что было алефов совпадающих со своим индексом/ординалом (поскольку алеф это наименьший/первый ординал мощности своей).

в связи с этим и принципиальным отсутствием пробелов на ординальной шкале, можно предположить о ближайших верстовых столбах вдоль дороги этой, когда наряду с очередной бОльшей мощностью впервые воспрянут и другие атрибуты больших алефов, о которых нелегко (мне и щас) прикинуть наперёд :)