2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение27.03.2020, 04:25 


26/12/18
155
Распрощаться с нестандартными моделями PA не собираюсь, конечно, может ошибаюсь, но показалось, что можно узнать ту модель, где других натуральных окромя 1, 2, 3, ... $\omega$ не будет.

arseniiv в сообщении #1447593 писал(а):
по идее не должно быть проблем сделать для натуральных.
Удивительно как-то, что ZF(C) можно расширять почти неограниченно большущими множествами/кардиналами и в то же время вроде остаются арифметические предложения типа G/~G или даже диофантовые уравнения, что как-бы неразрешимы в ZF(C).

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение27.03.2020, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8335
Цюрих
Sycamore в сообщении #1447598 писал(а):
можно узнать ту модель, где других натуральных окромя 1, 2, 3, ... $\omega$ не будет
Вопрос - в каком смысле "узнать"? В любом языке первого порядка проходит стандартная конструкция: добавим к теории символ $x$ и скажем $x \in \mathbb N$, $x \neq 0$, $x \neq 1$, $x \neq 2$, ... - получится что в нашей теории бывают нестандартные натуральные числа.
Sycamore в сообщении #1447598 писал(а):
остаются арифметические предложения типа G/~G или даже диофантовые уравнения, что как-бы неразрешимы в ZF(C).
Собственно даже существует конкретный полином, параметризованнный одной константой, такой что для любой конкретной непротиворечивой рекурсивной теории наличие у этого полинома корней не зависит от этой теории (а в качестве значения константы надо выбирать код алгоритма, перечисляющего аксиомы этой теории).

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение27.03.2020, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Sycamore в сообщении #1447588 писал(а):
за $\mathbb N$/$\omega$ не будет других "нестандартных" натуральных
Sycamore в сообщении #1447598 писал(а):
можно узнать ту модель, где других натуральных окромя 1, 2, 3, ... $\omega$ не будет.
$\omega$ — не натуральное число. И $\mathbb N$ — тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение27.03.2020, 17:27 


26/12/18
155
да, я поколебался об этом, но решил оставить первый счётный ординал (первое нестандартное натуральное?) в конце как обозначение множества стандартных натуральных :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение27.03.2020, 18:28 


26/12/18
155
mihaild в сообщении #1447622 писал(а):
даже существует конкретный полином, параметризованнный одной константой, такой что для любой конкретной непротиворечивой рекурсивной теории наличие у этого полинома корней не зависит от этой теории (а в качестве значения константы надо выбирать код алгоритма, перечисляющего аксиомы этой теории).
интересно было бы указать на нестандартные модели собственно ZF(С), о них как-будто не упоминают часто - рассматривают всякие расширения с дополнительными аксиомами больших кардиналов, АD, самой АС и пр.; похоже, что расширяют эти расширения некоторую подразумеваемую/стандартную модель ZF(C)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение27.03.2020, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8335
Цюрих
Sycamore в сообщении #1447703 писал(а):
похоже, что расширяют эти расширения некоторую подразумеваемую/стандартную модель ZF(C)
Эти расширения расширяют теорию ZF - это теории, представляющие объединение ZF и еще каких-то аксиом. Их модели, естественно, будут моделями и самой ZF.
Аналогично прием с добавлением набора аксиом, утверждающего вместе (неформально) "существуют нестандартные натуральные числа", показывает, что и у обычной ZF есть нестандартные модели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение27.03.2020, 19:19 


26/12/18
155
а как насчёт нестандартного анализа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение27.03.2020, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8335
Цюрих
Нестандартный анализ - про другое (использует гипервещественные числа вместо вещественных), он прекрасно формализуется в ZF, и отличим там от стандартного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение27.03.2020, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Sycamore в сообщении #1447688 писал(а):
первый счётный ординал (первое нестандартное натуральное?)
Первый бесконечный ординал никакого отношения к нестандартным натуральным числам не имеет.
Для нестандартной модели арифметики выполняются все аксиомы арифметики Пеано, а из них следует, что для каждого натурального числа, кроме самого первого ($0$ или $1$, в зависимости от варианта аксиоматики), существует непосредственно предшествующее натуральное число. Для $\omega$ такого числа нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение27.03.2020, 20:30 


26/12/18
155
ничего не скажешь, спасибо)

-- 27.03.2020, 13:30 --

mihaild в сообщении #1447716 писал(а):
Нестандартный анализ - про другое (использует гипервещественные числа вместо вещественных), он прекрасно формализуется в ZF, и отличим там от стандартного.
сложности-то какие... )

на неформальном уровне, даже решения любых диофантовых уравнений любых степеней кажутся мне незыблемыми - они давно есть или их давно нет, третьего не было и не будет, наподобие конечных областей...)

а вот континуум (геометрический или действительных чисел), хоть интуитивно/визуально как-бы фиксированный, но плавучая мощность его не удивляет: по сравнению с сугубо минимальным +1 прыжок выглядит довольно неопределённым и "с потолка"/произвольным, так сказать (П.Коэн вроде ожидал, что гипотеза Кантора окажется ложной).

похоже на некую "пропасть" между счётным и всеми высшими кардиналами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение28.03.2020, 00:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sycamore в сообщении #1447598 писал(а):
Удивительно как-то, что ZF(C) можно расширять почти неограниченно большущими множествами/кардиналами
Как раз-таки полна коробушка аксиом больших кардиналов, не выводимых из ZFC. А расширять ровно так же мы можем PA, добавить аксиому существования нестандартного числа (ладно, на самом деле просто так не можем, зато другие независимые от PA утверждения можем добавлять).

Sycamore в сообщении #1447688 писал(а):
да, я поколебался об этом, но решил оставить первый счётный ординал (первое нестандартное натуральное?)
Именно что важно, что ординалы в одной тарелке, а нестандартные натуральные в другой. Кроме того, что уже сказал Someone, для каждого нестандартного натурального $N$ например существует и такое нестандартное $M < N$, что $N-M$ не стандартно. И вообще если доопределить порядок с чисел на классы вида $\{N+n\mid n\in\mathbb Z\}$ для нестандартных $N$, порядок будет плотным без границ (между двумя любыми различными классами всегда сидит ещё третий, и не существует ни наименьшего, ни наибольшего); для самых простых нестандартных моделей порядок изоморфен порядку на $\mathbb Q$.

Sycamore в сообщении #1447739 писал(а):
похоже на некую "пропасть" между счётным и всеми высшими кардиналами.
Счётный кардинал тоже не лыком шит. Отправляясь от некоторого множества конструктивных объектов, можно настроить полно счётных множеств, которые рекурсивно не перечислимы. Или например счётных ординалов громада невероятная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение28.03.2020, 09:14 


26/12/18
155
arseniiv в сообщении #1447772 писал(а):
полна коробушка аксиом больших кардиналов, не выводимых из ZFC.
недавно где-то встретилось, что выдумают наконец самый большой, хотя такое идёт как-бы в пику "множеству всех множеств" Рассела и показалось забавным)

зато продуктивный Шелах (S.Shelah) набрел в самой ZFC (!) на совершенно с дуба рухнувшее $2^{\aleph_{\omega}}<\;\aleph_{\omega_{4}}$ , где $\aleph_{\omega}$ силно предельный кардинал, $2^{\aleph_{n}}<\;\aleph_{\omega}$ для всех $n$.

arseniiv в сообщении #1447772 писал(а):
Счётный кардинал тоже не лыком шит... счётных ординалов громада невероятная.
тем не менее громаду эту можно легко переупорядочить, дабы пришла в соответствие с простым исходным 1, 2, 3, ... Первый несчётный ординал $\omega_{1}$ будет бОльше всей этой громады, а индекс $\omega_{4}$ выше в теореме Шелаха и подавно); вообще думаю, что как концепция кардиналы намного значимее ординалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение28.03.2020, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Sycamore в сообщении #1447815 писал(а):
зато продуктивный Шелах (S.Shelah) набрел в самой ZFC (!) на совершенно с дуба рухнувшее $2^{\aleph_{\omega}}<\;\aleph_{\omega_{4}}$ , где $\aleph_{\omega}$ силно предельный кардинал, $2^{\aleph_{n}}<\;\aleph_{\omega}$ для всех $n$.
Нельзя ли ссылку на статью? Мне было бы интересно. Потому что функция $\aleph_{\alpha}\to 2^{\aleph_{\alpha}}$, насколько мне известно, имеет весьма слабые ограничения. Хотя предельные алефы, конечно, имеют свои особенности.

Sycamore в сообщении #1447815 писал(а):
тем не менее громаду эту можно легко переупорядочить, дабы пришла в соответствие с простым исходным 1, 2, 3, ...
Нельзя. Ни легко, ни тяжело. По определению, каждый ординал есть множество всех меньших ординалов. Соответственно, первый несчётный ординал $\omega_1$ есть множество всех конечных и счётных ординалов. Опять же по определению иерархии алефов, мощность $\omega_1$ равна $\aleph_1>\aleph_0$. Поэтому множество конечных и счётных ординалов никак нельзя занумеровать натуральными числами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение28.03.2020, 18:59 


26/12/18
155
о да, разумеется) - я как-то поимел в виду те уходящие в бесконечность суммы многоступенчатых степеней, скажем $\omega^{\omega^{\omega^{...}}}+\omega^{127}+...$ , что всё ещё остаются счётными, но и довольно тривиальными, к сожалению.

эту скуку приходится опрокинуть (мутным и критическим, надо признать, по части континуум-гипотезы) прыжком к первому несчётному ординалу $\omega_{1}$, все элементы которого не более, чем счётные.

насчёт предельных алефов Вы угадали): вот обзор книги Шелаха в Bulletin of the American Mathematical Society, https://www.ams.org/journals/bull/1996-33-03/S0273-0979-96-00673-8/S0273-0979-96-00673-8.pdf: "Why the HELL Is It Four?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Существуют ли неразрешимые множества натуральных чисел?
Сообщение28.03.2020, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Sycamore в сообщении #1449000 писал(а):
я как-то поимел в виду те уходящие в бесконечность суммы многоступенчатых степеней, скажем $\omega^{\omega^{\omega^{...}}}+\omega^{127}+...$ , что всё ещё остаются счётными, но и довольно тривиальными, к сожалению.
Да? Вы берётесь наглядно описать структуру написанного Вами ординала в терминах, доступных школьникам?
Да, где-то там есть наименьший ординал, невыразимый средствами арифметики Пеано. Всё ещё счётный.

Sycamore в сообщении #1449000 писал(а):
эту скуку приходится опрокинуть (мутным и критическим, надо признать, по части континуум-гипотезы) прыжком к первому несчётному ординалу $\omega_{1}$
Нет там никакого "прыжка". $\omega_1$ есть точная верхняя грань множества всех счётных ординалов. Нет никакого промежутка между множеством счётных ординалов и $\omega_1$.

А причём тут континуум-гипотеза, вообще непонятно. "Величина" $\omega_1$ никак от континуум-гипотезы не зависит.

Sycamore в сообщении #1449000 писал(а):
насчёт предельных алефов Вы угадали
А зачем мне было гадать? Я об этом просто знал. Давно уже. Из учебников.

За ссылку спасибо. Взглянув на обзор, я нашёл и книгу в свободном доступе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 138 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group