2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела
Сообщение19.03.2020, 14:18 
Аватара пользователя


13/02/18
1070
Україна, село
amon

Точно, сразу и не подумал, чем быстрей вращается тем быстрее котится. Но как получилось что $BC \cdot \omega = 2v\cos{\left(\alpha / 2\right)}$? Ведь линейная скорость вращения вокруг $C$ будет $v_{C} = BC \cdot \omega_{C}$, но нам также нужно чтобы линейная скорость вращения вокруг точки касания к дороге была перпендикулярная к $BC$, только тогда мы сможем записать параллельную ее составляющую через синус половинного угла, но что-то я не могу это представить... Ну ладно, допустим, ми же пока это и рассматриваем, причем даже не направления а только величины. С рисунка видно что $y = BC\cos{\left(\alpha / 2\right)} = OB + OB\cos{\alpha}$, если умножить обе части уравнения на угловую скорость вращения вокруг $O$, то мы наверное увидим формулу$$BC \cdot \omega_{O}\cos{\left(\alpha / 2\right)} = OB \cdot \omega_{O}\left(1 + \cos{\alpha}\right) = v_{O}\left(1 + \cos{\alpha}\right) \negthickspace ,$$ но откудова мы взяли что угловые скорости $\omega_{O}$ и $\omega_{C}$ равны? А это нужно чтобы уровнять параллельные компоненты.

realeugene

Я как всегда напечатал то что думаю, точней те немногие впечатления что запомнились, Вы же меня сами мне напечатали что совсем не понимаю в бесконечно малых и рядах, и в этом корень проблемы (согласен, но отчасти), а это возражение что и не совсем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела
Сообщение19.03.2020, 14:26 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында

(Оффтоп)

А мне нравится бандриканский язык, хоть и не всё понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела
Сообщение19.03.2020, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
frostysh в сообщении #1445620 писал(а):
но откудова мы взяли что угловые скорости $\omega_{O}$ и $\omega_{C}$ равны? А это нужно чтобы уровнять параллельные компоненты.
В голове у Вас некоторая путаница. Попробую начать распутывать. Итак, мы согласились с тем, что $v_\parallel=v(1+\cos \alpha).$ Обращаю Ваше внимание, что для точки касания колеса с дорогой $v_\parallel=v_{\perp} =0,$ что означает, что точка касания колеса с дорогой неподвижна. Теперь проведем через эту точку ось, и будем считать, что наше колесо поворачивается как целое вокруг этой оси с той же угловой скоростью $\omega=\frac{v}{R}.$ В ответ на вопрос: "А почему надо брать такую ось и такую угловую скорость?" пока отвечу: "А по кочану! Моя ось, что хочу, то и делаю!" Посмотрим, какова будет скорость нашей точки $B$ для такого вращения в начальный момент времени, пока колесо еще не повернулось. При вращении, модуль скорости точки, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения, равен $v_r=\omega r.$ Из треугольника $COB$ $r=CB=2R\cos\frac{\alpha}{2}.$ Тогда $\omega r=\omega2R\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{v}{R}2R\cos\frac{\alpha}{2}=2v\cos\frac{\alpha}{2}$ Эта скорость направлена перпендикулярно отрезку $CB.$ Из элементарной геометрии, аналогичной предыдущему случаю, получаем $v_\parallel=v_r\cos\frac{\alpha}{2}=2v\cos^2\frac{\alpha}{2}=v(1+\cos\alpha).$ Убедиться в том, что и вертикальная составляющая совпадет я оставлю Вам в качестве упражнения.

Итак, при вращении вокруг точки $C$ с угловой скоростью $\omega=\frac{v}{R}$ в начальный момент времени скорости всех точек колеса равны "настоящим". В "следующий момент времени" это будет уже не так - колесо повернется и "уйдет под дорогу", поэтому соответствие качения вращению вокруг какой-то оси верно только в один фиксированный момент времени. В другой момент надо выбирать другую ось. Поэтому такая ось называется мгновенной осью вращения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела
Сообщение19.03.2020, 21:38 
Аватара пользователя


13/02/18
1070
Україна, село
amon в сообщении #1445628 писал(а):
В голове у Вас некоторая путаница. Попробую начать распутывать. Итак, мы согласились с тем, что $v_\parallel=v(1+\cos \alpha).$ Обращаю Ваше внимание, что для точки касания колеса с дорогой $v_\parallel=v_{\perp} =0,$ что означает, что точка касания колеса с дорогой неподвижна.
Кстати это очень странно с одной стороны, я бы не додумался, ведь колесо все таки едет относительно дороги, поэтому никакая его точка не должна быть стационарная. Но с другой сторон, колесо, оно то сливается с дорогой вот в этой точки $C$, то есть эта точка есть дорога а не колесо, а оно не может двигаться относительно себя самого. Как-то так.
amon в сообщении #1445628 писал(а):
Теперь проведем через эту точку ось, и будем считать, что наше колесо поворачивается как целое вокруг этой оси с той же угловой скоростью $\omega=\frac{v}{R}.$ В ответ на вопрос: "А почему надо брать такую ось и такую угловую скорость?" пока отвечу: "А по кочану! Моя ось, что хочу, то и делаю!" Посмотрим, какова будет скорость нашей точки $B$ для такого вращения в начальный момент времени, пока колесо еще не повернулось.
А, я понял, у нас было некое движение, и мы выдумали некоторое второе движение, отличное от первого, а теперь с помощью механизма математики смотрим соответствуют ли эти движения один одному.
amon в сообщении #1445628 писал(а):
При вращении, модуль скорости точки, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения, равен $v_r=\omega r.$ Из треугольника $COB$ $r=CB=2R\cos\frac{\alpha}{2}.$
Ага, это потому-что любой угол лежащий на диаметре будет девяносто градусов.
amon в сообщении #1445628 писал(а):
Тогда $\omega r=\omega2R\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{v}{R}2R\cos\frac{\alpha}{2}=2v\cos\frac{\alpha}{2}$ Эта скорость направлена перпендикулярно отрезку $CB.$ Из элементарной геометрии, аналогичной предыдущему случаю, получаем $v_\parallel=v_r\cos\frac{\alpha}{2}=2v\cos^2\frac{\alpha}{2}=v(1+\cos\alpha).$ Убедиться в том, что и вертикальная составляющая совпадет я оставлю Вам в качестве упражнения.
Да, мы тут использовали тригонометрическую тотожность суммы углов когда эти углы равные для косинуса, соответственно $\cos{\alpha} = 2\cos^{2}{\mkern -4mu \left(\alpha / 2\right)} - 1$, мне там говорили и вообще интересно что мы одно и то же движение можем представить разными способами, разными векторами и составляющими, например вектор линейной скорости перпендикулярен к $OB$ и такой же вектор перпендикулярен к $CB$ разные на вид, но в итоге выходит одно и то же движение. Вертикальная составляющая будет в первом случае $v_{\perp} = v\sin{\alpha}$ потому что движение колеса относительно дороги перпендикулярно к вертикальной составляющей и потому-что угол между радиусом $OB$ и скоростью составляет девяносто градусов. Теми же рассуждениями перпендикулярности, видим сразу что во втором случае будет $v_{\perp} = v_{C} \cdot \sin{\left(\alpha / 2\right)}$, поскольку мы решили что $\omega_{C} = \omega_{O} = \omega$ то можно увидеть что $v_{O} / OB = v_{C} / CB$, отсюда $v_{C} = \left(v_{O} \cdot CB\right) / OB$ и соответственно скорость$$v_{\perp} = \dfrac{v_{O} \cdot CB}{OB}\sin{\dfrac{\alpha}{2}},$$видя что $CB = 2OB \cdot \cos{\left(\alpha / 2\right)}$ мы можем переписать выражение для скорости следующим образом$$v_{\perp} = 2v_{O} \cdot \sin{\dfrac{\alpha}{2}}\cos{\dfrac{\alpha}{2}}.$$Теперь судоржно вспоминая тригонометрию и листая соответствующие книги мы обнаруживаем что это на самом деле есть синус двойного угла$$v_{\perp} = v_{O} \cdot \sin{\alpha},$$таким образом получили обе составляющие эквивалентны, но только в какой-то конкретный миг, случаю вращения вокруг центра $O$ и кочению по дороге.
amon в сообщении #1445628 писал(а):
Итак, при вращении вокруг точки $C$ с угловой скоростью $\omega=\frac{v}{R}$ в начальный момент времени скорости всех точек колеса равны "настоящим". В "следующий момент времени" это будет уже не так - колесо повернется и "уйдет под дорогу", поэтому соответствие качения вращению вокруг какой-то оси верно только в один фиксированный момент времени. В другой момент надо выбирать другую ось. Поэтому такая ось называется мгновенной осью вращения.
Спасибо еще раз! Вроде теперь представляю.

(eugensk)

eugensk в сообщении #1445621 писал(а):
А мне нравится бандриканский язык, хоть и не всё понимаю.
Что это и к чему это?

П. С. Кстати умножение координаты по оси ординат на угловую скорость тоже работает нормально, только как представить второе движение с такой угловой скоростью, сразу видно что горизонтальные компоненты уравниваются, только вот с координатой по оси абсцисс так наверное не выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела
Сообщение19.03.2020, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб

(Скептикам)

frostysh в сообщении #1445739 писал(а):
$$v_{\perp} = v_{O} \cdot \sin{\alpha},$$
Я же чувствовал, что не так все безнадежно, а то - "гири", "несем", "в пургаторий!".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела
Сообщение21.03.2020, 19:39 
Аватара пользователя


13/02/18
1070
Україна, село
Вот, лучший рисунок удалось нашкрябать чем мой предыдущий.

Изображение

Видно что суммарная векторная скорость в некоторый момент времени в точке $B$ не может быть ниже касательной линейной скорости $\overrightarrow{v_{\ell_{O}}}$ вращения по окружности вокруг $O$, потому-что проскальзывания нету и чем быстрее вращения тем больше $\overrightarrow{v_{O}}$ которое и подымает суммарный вектор вгору. Вообще гениально представить такое вот движение колеса по дороге вращением вокруг $C$, по окружности с той же угловой скоростью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела
Сообщение21.03.2020, 21:54 


05/09/16
11467
frostysh в сообщении #1446092 писал(а):
Вообще гениально представить такое вот движение колеса по дороге вращением вокруг $C$, по окружности с той же угловой скоростью.

Это элементарное соображение используется в куче задач по общей физике, в основном связанных с моментом инерции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела
Сообщение22.03.2020, 02:31 
Аватара пользователя


13/02/18
1070
Україна, село
wrest

Я обязательно учту это когда буду решать те задачи! К тому же гениальному ничто не запрещает быть элементарным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела
Сообщение22.03.2020, 08:15 


26/04/11
90

(Оффтоп)

2 amon с уважением за терпение

"наш институт - это место, где ты можешь в любое время получить благожелательный ответ практически на любой вопрос в области физики твёрдого тела." (c) М.Левинштейн. Проверка на дорогах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group