В голове у Вас некоторая путаница. Попробую начать распутывать. Итак, мы согласились с тем, что
Обращаю Ваше внимание, что для точки касания колеса с дорогой
что означает, что точка касания колеса с дорогой неподвижна.
Кстати это очень странно с одной стороны, я бы не додумался, ведь колесо все таки едет относительно дороги, поэтому никакая его точка не должна быть стационарная. Но с другой сторон, колесо, оно то сливается с дорогой вот в этой точки
, то есть эта точка есть дорога а не колесо, а оно не может двигаться относительно себя самого. Как-то так.
Теперь проведем через эту точку ось, и будем считать, что наше колесо поворачивается как целое вокруг этой оси с той же угловой скоростью
В ответ на вопрос: "А почему надо брать такую ось и такую угловую скорость?" пока отвечу: "А по кочану! Моя ось, что хочу, то и делаю!" Посмотрим, какова будет скорость нашей точки
для такого вращения
в начальный момент времени, пока колесо еще не повернулось.
А, я понял, у нас было некое движение, и мы выдумали некоторое второе движение, отличное от первого, а теперь с помощью механизма математики смотрим соответствуют ли эти движения один одному.
При вращении, модуль скорости точки, находящейся на расстоянии
от оси вращения, равен
Из треугольника
Ага, это потому-что любой угол лежащий на диаметре будет девяносто градусов.
Тогда
Эта скорость направлена перпендикулярно отрезку
Из элементарной геометрии, аналогичной предыдущему случаю, получаем
Убедиться в том, что и вертикальная составляющая совпадет я оставлю Вам в качестве упражнения.
Да, мы тут использовали тригонометрическую тотожность суммы углов когда эти углы равные для косинуса, соответственно
, мне там говорили и вообще интересно что мы одно и то же движение можем представить разными способами, разными векторами и составляющими, например вектор линейной скорости перпендикулярен к
и такой же вектор перпендикулярен к
разные на вид, но в итоге выходит одно и то же движение. Вертикальная составляющая будет в первом случае
потому что движение колеса относительно дороги перпендикулярно к вертикальной составляющей и потому-что угол между радиусом
и скоростью составляет девяносто градусов. Теми же рассуждениями перпендикулярности, видим сразу что во втором случае будет
, поскольку мы решили что
то можно увидеть что
, отсюда
и соответственно скорость
видя что
мы можем переписать выражение для скорости следующим образом
Теперь судоржно вспоминая тригонометрию и листая соответствующие книги мы обнаруживаем что это на самом деле есть синус двойного угла
таким образом получили обе составляющие эквивалентны, но только в какой-то конкретный миг, случаю вращения вокруг центра
и кочению по дороге.
Итак, при вращении вокруг точки
с угловой скоростью
в начальный момент времени скорости всех точек колеса равны "настоящим". В "следующий момент времени" это будет уже не так - колесо повернется и "уйдет под дорогу", поэтому соответствие качения вращению вокруг какой-то оси верно только в один фиксированный момент времени. В другой момент надо выбирать другую ось. Поэтому такая ось называется мгновенной осью вращения.
Спасибо еще раз! Вроде теперь представляю.
(eugensk)
А мне нравится бандриканский язык, хоть и не всё понимаю.
Что это и к чему это?
П. С. Кстати умножение координаты по оси ординат на угловую скорость тоже работает нормально, только как представить второе движение с такой угловой скоростью, сразу видно что горизонтальные компоненты уравниваются, только вот с координатой по оси абсцисс так наверное не выйдет.