Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела

[frostysh]

amon

Точно, сразу и не подумал, чем быстрей вращается тем быстрее котится. Но как получилось что $BC \cdot \omega = 2v\cos{\left(\alpha / 2\right)}$? Ведь линейная скорость вращения вокруг $C$ будет $v_{C} = BC \cdot \omega_{C}$, но нам также нужно чтобы линейная скорость вращения вокруг точки касания к дороге была перпендикулярная к $BC$, только тогда мы сможем записать параллельную ее составляющую через синус половинного угла, но что-то я не могу это представить... Ну ладно, допустим, ми же пока это и рассматриваем, причем даже не направления а только величины. С рисунка видно что $y = BC\cos{\left(\alpha / 2\right)} = OB + OB\cos{\alpha}$, если умножить обе части уравнения на угловую скорость вращения вокруг $O$, то мы наверное увидим формулу

$$BC \cdot \omega_{O}\cos{\left(\alpha / 2\right)} = OB \cdot \omega_{O}\left(1 + \cos{\alpha}\right) = v_{O}\left(1 + \cos{\alpha}\right) \negthickspace ,$$

но откудова мы взяли что угловые скорости $\omega_{O}$ и $\omega_{C}$ равны? А это нужно чтобы уровнять параллельные компоненты.

realeugene

Я как всегда напечатал то что думаю, точней те немногие впечатления что запомнились, Вы же меня сами мне напечатали что совсем не понимаю в бесконечно малых и рядах, и в этом корень проблемы (согласен, но отчасти), а это возражение что и не совсем.

[eugensk]

(Оффтоп)

А мне нравится бандриканский язык, хоть и не всё понимаю.

[amon]

frostysh в сообщении #1445620 писал(а):

но откудова мы взяли что угловые скорости $\omega_{O}$ и $\omega_{C}$ равны? А это нужно чтобы уровнять параллельные компоненты.

В голове у Вас некоторая путаница. Попробую начать распутывать. Итак, мы согласились с тем, что $v_\parallel=v(1+\cos \alpha).$ Обращаю Ваше внимание, что для точки касания колеса с дорогой $v_\parallel=v_{\perp} =0,$ что означает, что точка касания колеса с дорогой неподвижна. Теперь проведем через эту точку ось, и будем считать, что наше колесо поворачивается как целое вокруг этой оси с той же угловой скоростью $\omega=\frac{v}{R}.$ В ответ на вопрос: "А почему надо брать такую ось и такую угловую скорость?" пока отвечу: "А по кочану! Моя ось, что хочу, то и делаю!" Посмотрим, какова будет скорость нашей точки $B$ для такого вращения в начальный момент времени, пока колесо еще не повернулось. При вращении, модуль скорости точки, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения, равен $v_r=\omega r.$ Из треугольника $COB$ $r=CB=2R\cos\frac{\alpha}{2}.$ Тогда $\omega r=\omega2R\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{v}{R}2R\cos\frac{\alpha}{2}=2v\cos\frac{\alpha}{2}$ Эта скорость направлена перпендикулярно отрезку $CB.$ Из элементарной геометрии, аналогичной предыдущему случаю, получаем $v_\parallel=v_r\cos\frac{\alpha}{2}=2v\cos^2\frac{\alpha}{2}=v(1+\cos\alpha).$ Убедиться в том, что и вертикальная составляющая совпадет я оставлю Вам в качестве упражнения.

Итак, при вращении вокруг точки $C$ с угловой скоростью $\omega=\frac{v}{R}$ в начальный момент времени скорости всех точек колеса равны "настоящим". В "следующий момент времени" это будет уже не так - колесо повернется и "уйдет под дорогу", поэтому соответствие качения вращению вокруг какой-то оси верно только в один фиксированный момент времени. В другой момент надо выбирать другую ось. Поэтому такая ось называется мгновенной осью вращения.

[frostysh]

amon в сообщении #1445628 писал(а):

В голове у Вас некоторая путаница. Попробую начать распутывать. Итак, мы согласились с тем, что $v_\parallel=v(1+\cos \alpha).$ Обращаю Ваше внимание, что для точки касания колеса с дорогой $v_\parallel=v_{\perp} =0,$ что означает, что точка касания колеса с дорогой неподвижна.

Кстати это очень странно с одной стороны, я бы не додумался, ведь колесо все таки едет относительно дороги, поэтому никакая его точка не должна быть стационарная. Но с другой сторон, колесо, оно то сливается с дорогой вот в этой точки $C$, то есть эта точка есть дорога а не колесо, а оно не может двигаться относительно себя самого. Как-то так.

amon в сообщении #1445628 писал(а):

Теперь проведем через эту точку ось, и будем считать, что наше колесо поворачивается как целое вокруг этой оси с той же угловой скоростью $\omega=\frac{v}{R}.$ В ответ на вопрос: "А почему надо брать такую ось и такую угловую скорость?" пока отвечу: "А по кочану! Моя ось, что хочу, то и делаю!" Посмотрим, какова будет скорость нашей точки $B$ для такого вращения в начальный момент времени, пока колесо еще не повернулось.

А, я понял, у нас было некое движение, и мы выдумали некоторое второе движение, отличное от первого, а теперь с помощью механизма математики смотрим соответствуют ли эти движения один одному.

amon в сообщении #1445628 писал(а):

При вращении, модуль скорости точки, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения, равен $v_r=\omega r.$ Из треугольника $COB$ $r=CB=2R\cos\frac{\alpha}{2}.$

Ага, это потому-что любой угол лежащий на диаметре будет девяносто градусов.

amon в сообщении #1445628 писал(а):

Тогда $\omega r=\omega2R\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{v}{R}2R\cos\frac{\alpha}{2}=2v\cos\frac{\alpha}{2}$ Эта скорость направлена перпендикулярно отрезку $CB.$ Из элементарной геометрии, аналогичной предыдущему случаю, получаем $v_\parallel=v_r\cos\frac{\alpha}{2}=2v\cos^2\frac{\alpha}{2}=v(1+\cos\alpha).$ Убедиться в том, что и вертикальная составляющая совпадет я оставлю Вам в качестве упражнения.

Да, мы тут использовали тригонометрическую тотожность суммы углов когда эти углы равные для косинуса, соответственно $\cos{\alpha} = 2\cos^{2}{\mkern -4mu \left(\alpha / 2\right)} - 1$, мне там говорили и вообще интересно что мы одно и то же движение можем представить разными способами, разными векторами и составляющими, например вектор линейной скорости перпендикулярен к $OB$ и такой же вектор перпендикулярен к $CB$ разные на вид, но в итоге выходит одно и то же движение. Вертикальная составляющая будет в первом случае $v_{\perp} = v\sin{\alpha}$ потому что движение колеса относительно дороги перпендикулярно к вертикальной составляющей и потому-что угол между радиусом $OB$ и скоростью составляет девяносто градусов. Теми же рассуждениями перпендикулярности, видим сразу что во втором случае будет $v_{\perp} = v_{C} \cdot \sin{\left(\alpha / 2\right)}$, поскольку мы решили что $\omega_{C} = \omega_{O} = \omega$ то можно увидеть что $v_{O} / OB = v_{C} / CB$, отсюда $v_{C} = \left(v_{O} \cdot CB\right) / OB$ и соответственно скорость

$$v_{\perp} = \dfrac{v_{O} \cdot CB}{OB}\sin{\dfrac{\alpha}{2}},$$

видя что $CB = 2OB \cdot \cos{\left(\alpha / 2\right)}$ мы можем переписать выражение для скорости следующим образом

$$v_{\perp} = 2v_{O} \cdot \sin{\dfrac{\alpha}{2}}\cos{\dfrac{\alpha}{2}}.$$

Теперь судоржно вспоминая тригонометрию и листая соответствующие книги мы обнаруживаем что это на самом деле есть синус двойного угла

$$v_{\perp} = v_{O} \cdot \sin{\alpha},$$

таким образом получили обе составляющие эквивалентны, но только в какой-то конкретный миг, случаю вращения вокруг центра $O$ и кочению по дороге.

amon в сообщении #1445628 писал(а):

Итак, при вращении вокруг точки $C$ с угловой скоростью $\omega=\frac{v}{R}$ в начальный момент времени скорости всех точек колеса равны "настоящим". В "следующий момент времени" это будет уже не так - колесо повернется и "уйдет под дорогу", поэтому соответствие качения вращению вокруг какой-то оси верно только в один фиксированный момент времени. В другой момент надо выбирать другую ось. Поэтому такая ось называется мгновенной осью вращения.

Спасибо еще раз! Вроде теперь представляю.

(eugensk)

eugensk в сообщении #1445621 писал(а):

А мне нравится бандриканский язык, хоть и не всё понимаю.

Что это и к чему это?

П. С. Кстати умножение координаты по оси ординат на угловую скорость тоже работает нормально, только как представить второе движение с такой угловой скоростью, сразу видно что горизонтальные компоненты уравниваются, только вот с координатой по оси абсцисс так наверное не выйдет.

[amon]

(Скептикам)

frostysh в сообщении #1445739 писал(а):

$$v_{\perp} = v_{O} \cdot \sin{\alpha},$$

Я же чувствовал, что не так все безнадежно, а то - "гири", "несем", "в пургаторий!".

[frostysh]

Вот, лучший рисунок удалось нашкрябать чем мой предыдущий.



Видно что суммарная векторная скорость в некоторый момент времени в точке $B$ не может быть ниже касательной линейной скорости $\overrightarrow{v_{\ell_{O}}}$ вращения по окружности вокруг $O$, потому-что проскальзывания нету и чем быстрее вращения тем больше $\overrightarrow{v_{O}}$ которое и подымает суммарный вектор вгору. Вообще гениально представить такое вот движение колеса по дороге вращением вокруг $C$, по окружности с той же угловой скоростью.

[wrest]

frostysh в сообщении #1446092 писал(а):

Вообще гениально представить такое вот движение колеса по дороге вращением вокруг $C$, по окружности с той же угловой скоростью.

Это элементарное соображение используется в куче задач по общей физике, в основном связанных с моментом инерции.

[frostysh]

wrest

Я обязательно учту это когда буду решать те задачи! К тому же гениальному ничто не запрещает быть элементарным.

[Farest2]

(Оффтоп)

2 amon с уважением за терпение

"наш институт - это место, где ты можешь в любое время получить благожелательный ответ практически на любой вопрос в области физики твёрдого тела." (c) М.Левинштейн. Проверка на дорогах.