Ось вращения, мгновенная ось вращения твердого тела

[Утундрий]

Это значит взять и шмякнуть со всей дури о стену. После чего вернуться к привычному размышлению о природе и влиянии на погоду летающих розовых слонов.

[arseniiv]

frostysh в сообщении #1445309 писал(а):

Ну а если принять много чего просто так, и грубо в даном конкретном случае использовать математический анализ, получится вообразить как оно там движется? Что такое бахановы пространства не знаю, первый раз слышу, но для интереса поищу информацию, спасибо.

Да легко, легко вообразить, вы же даже не попытались. Возьмите одну точку $A$ тела и пустите её по какой-то траектории (непрерывной). Возьмите теперь другую точку $B$, у которой остаётся довольно много свободы — в каждый момент времени целая сфера с центром в $A$, пустите её непрерывно двигаться по сфере, и тогда она будет непрерывно двигаться и в пространстве вообще. Теперь возьмите точку $C$ тела, пустите её непрерывно гулять по окружности с осью $AB$. Всё, положения остальных точек твёрдого тела в любой момент уже будут однозначно задаваться их положением в какой-то один момент.

Это в трёхмерии, но наверно стоит начать с двумерия. У точки $C$ свободы уже не будет, но «мгновенный центр вращения» (точка) и мгновенная угловая скорость (со знаком) будут. Вот кстати спирограф видели? Ещё один пример, хотя ничем не новый по сравнению с катящимся колесом.

-- Ср мар 18, 2020 01:32:21 --

Вообще можно взять что-нибудь в руки, карандаш какой-нибудь, и двигать как захочется, вот пожалуйста пример.

[Neloth]

frostysh
рассмотрите, например, стержень, вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг перпендикулярной ему оси, которая с постоянной скоростью перемещается от одного его конца к другому.

Через время $\Delta t$ новые координаты всех его точек должны лежать на одной прямой, а новые расстояния между любыми двумя точками — совпадать со старыми с точностью до величин первого порядка.

[frostysh]

wrest в сообщении #1444993 писал(а):

Ну вот колесо катится по дороге. Можно себе представить, что мгновенная ось проходит через точку контакта колеса и дороги.
Разве в вашей книжке такого примера нет?

Да не будет там никакой мгновенной оси вращения, ну разве что для точки что на другом конце диаметра колеса, то есть самой высшей точки от дороги. Вращательное движение есть движение по окружности, по крайней мере его так принято понимать, с центром где-то там. Ось которая проходить перпендикулярно плоскости колеса, через точку касания с дорогой не будет центром траектории — окружности, для чего либо в колесе (разве что для высшей точки на мгновение, но это не то). И какое же там вращение тогда?

Утундрий

У вас какие-то агрессивно предустроенные мысли: ударить, еще и об стенку, еще и со все дури, видать поэтому у вас такая печальная аватарка... Конечно же нет, речь шла о точности и аккуратности использования механизма математического анализа в данной физической модели (я рисунок там рисовал) с математической точки зрения.

arseniiv

То есть двигаем только одну точку $A$, как нам заблагорассудится, при этом с помощью этой точки можно задать любое движение в пространстве, любой другой точки этого абсолютно твердого тела, неплохо! Хотя и так интуитивно понятно, но когда Вы напечатали мне удалось вообразить все намного лучше. Если точка $C$ должна быть на заданных, расстояниях от $A$ и $B$, значит на плоскости у нее есть свобода, точней два места, ведь от одной точки на отрезке линии можно провести два параллельных отрезка, например вверх и вниз, так чтобы точка $C$ была на одинаковом расстоянии от концов выходного отрезка.
Я игрался спирографом когда-то, но название забыл, вообще еще разок спасиба что напомнили, куплю себе теперь опять, им узоры рисовать четко.

Neloth

Да, с помощью вашего примера и примера о трех точках от учасника форума сообщением выше, я таки начинаю представлять это все. Теперь осталась математика, надо поискать в книгах определение мгновенной оси, или попробовать все таки самому увидеть.

[wrest]

frostysh в сообщении #1445358 писал(а):

Да не будет там никакой мгновенной оси вращения,

Ну ок, я пас тогда

[arseniiv]

frostysh в сообщении #1445358 писал(а):

при этом с помощью этой точки можно задать любое движение в пространстве, любой другой точки этого абсолютно твердого тела, неплохо!

Ну всё же не одной её, а всех трёх $A, B, C$.

[amon]

frostysh в сообщении #1445358 писал(а):

Да не будет там никакой мгновенной оси вращения

У Вас там что-то было про математическую точку зрения. Вот с нее, с родимой, и посмотрим на катящееся колесо.

Вложение:

rotationAxis.png [ 13.86 Кб | Просмотров: 0 ]

За рисунок извиняюсь - рисовал штукой для этого не очень предназначенной, посему поясняю. Колесо катится так, что центр его движется со скоростью $v$. При этом оно вращается с угловой скоростью $\omega=\frac{v}{R}$ вокруг точки $O$. Возмем на колесе точку $b$. Ее положение зададим углом $A$. Из элементарной геометрии следует, что горизонтальная составляющая скорости будет $v_\parallel=v(1+\cos A),$ а вертикальная - $v_\perp=v\sin A.$ С другой стороны, представим себе, что колесо поворачивается как целое вокруг точки $c$ с той же угловой скоростью $\omega.$ Элементарный подсчет дает $cb=2\cos\frac{A}{2}$ и $v_\parallel=2v\cos^2\frac{A}{2},\; v_\perp=2v\cos\frac{A}{2}\sin\frac{A}{2}.$ Получилось, что скорости те же, а значит я могу представить движение колеса в данный момент времени как поворот вокруг оси $c.$ В другой момент это будет поворот вокруг другой аналогичной оси. Терзают сомнения, что Вам это поможет, но вдруг...

[realeugene]

frostysh в сообщении #1445358 писал(а):

Вращательное движение есть движение по окружности, по крайней мере его так принято понимать, с центром где-то там.

Похоже, что ваше непонимание своей задачи лежит в плоскости именно незнания вами основ матанализа, который вы пытаетесь грубо шмякнуть о стену. Вы не знаете, что такое бесконечно малые величины и что такое разложение функции в ряд Тейлора. А это - важнейшие вещи. Как следствие этого незнания, ваша интуиция делает совершенно детские ошибки. В общем, лучше, займитесь математикой. Без твёрдого владения матаном уже в общей физике делать нечего.

[frostysh]

arseniiv

А, все, представил. Правильно вроде. Однозначно задать движение абсолютно твердого тела можно ток тремя точками. Довольно абстрактно вообще-то, вся суть как мне кажется в связях, ведь чтобы задать движение точки, достаточно точки, чтобы задать движение, всевозможные, бесконечно тонкого отрезка, достаточно двух точек и их движений, а для твердого тела которое складывается с множества точек, достаточно трех.

amon

На счет рисунка, не проблема, я могу нарисовать детально если показать мне как. В любом случае это лично мне надо разбираться со всем этим чтобы понять вращение.



Поскольку треугольник на рисунке равнобедренный, стороны как радиусы, можно напечатать что $\alpha^{\circ} / 2 = \left(180^{\circ} - \left(180^{\circ} - \alpha^{\circ}\right)\right) / 2$, используя радианы запишем всем известную формулу для угловой скорости $\omega = \vartriangle \negthickspace \alpha / \negthickspace \vartriangle \negthickspace t = \stackrel{\smile}{\vartriangle \negthickspace s} / \left(R \negthickspace \vartriangle \negthickspace t\right) = v / R$. Теперь запишем вертикальную составляющую скорости точки $B$, а именно я не совсем понял откуда оно взялось, ведь скорость то не просто кручение а еще движение вперед, то есть относительно неподвижной системы отсчета будет $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_{O}} + \left[\overrightarrow{\omega}, \overrightarrow{R}\right]$. А не, решил не удалять ход своих мыслей, все правильно, скорость центра колеса не влияет никак на вертикальную скорость ибо оно горизонтальное, хотя все ровно не понял почему когда колесо движется у нас тоже уравнение что и для неподвижного... Ладно, разберусь.

realeugene

Я что-то неприпомню чтобы говорил тут за интуицию, ну ладно, оно действительно у меня своеобразное...
На счет бесконечно малых, как-раз недавно прошел эту тему сразу после гипербол и парабол с эллипсами по книге для техникумов, пару месяцев назад. Поэтому пока еще не забыл, и без подглядываний сразу скажу что бесконечно малые это переменные величины, такие что, какое бы мы не выбрали постоянное число, то его абсолютная величина будет больше чем такое же в бесконечно малой. На счет рядов, вот тут то плохо, еще не изучал заново, но буду по книге для техникумов! А потом по Фихтенгольцу закреплю.
Когда-то давно-давно был у меня спецкурс, на который я естественно не ходил почти, называлось асимптотические методы в математической физике, вроде так. Так вот в теории эти Тейлоры, Маклорены и Фурье хороши, и позволяют складывая некие кусочки в которые не входят функции в явном виде, а лишь аргумент в той точке и производные там же, получить бесконечно точное приближение значения функции там или сям, но на деле, походу все достаточно плохо, и функции должны быть такие-эдакие чтобы эти ряды работали, и не сложные особо ибо и компьютер зависнет, и еще что-то, в общем не помню...

[amon]

frostysh в сообщении #1445495 писал(а):

а именно я не совсем понял откуда оно взялось,

Выражение $v_\parallel=v(1+\cos A),$ взялось из следующего. Точка $B$ участвует в двух движениях: горизонтальном движении с постоянной скоростью $v_\parallel_1=v$ и вращательном $v_\parallel_2=\omega R\cos\alpha=v\cos\alpha.$ Складывая одно с другим получим $v_\parallel=v(1+\cos \alpha).$ Выражение для $v_\perp$ в первом случае получается аналогично.

Для вращения вокруг точки $C$ модуль скорости точки $B$ равен $BC\cdot\omega.$ Тогда $v_\parallel=BC\cdot\omega\cos\frac{\alpha}{2}=2v\cos^2\frac{\alpha}{2}=v(1+\cos \alpha),$ т.е. значения совпадают. Можете сами убедиться, что такое совпадение будет для любой точки колеса.

[frostysh]

amon

А, так Вы просто сложили компоненты линейной скорости вращения (без учета движения колеса относительно системы отсчета) и общей скорости? Ага, я понял, треугольник прямоугольный потому-что радиус-вектор перпендикулярный к касательной линейной скорости, поэтому угол между осью абсцисс и вектором этой скорости будет $\alpha$, (у ваших обозначениях $A$), теперь складываем компоненты, подмечая что скорость прямолинейного движения центра колеса $O$ будет $v_{O}$, а линейная скорость вращения без учета кочения будет $v_{\ell} = wR$, при этому $v_{\parallel} = v_{O} + v_{\ell}\cos{\alpha}$, но тогда ведь

$$v_{\parallel} = v_{O}\left(1 + \dfrac{v_{\ell}}{v_{O}}\cos{\alpha}\right) \negthickspace ,$$

но никак не $v_{\parallel} = v_{O}\left(1 + \cos{\alpha}\right)$, или у ваших обозначениях $v_{\parallel} = v\left(1 + \cos{\alpha}\right)$, или я опять что-то недопонял?
Величина вертикальной составляющей скорости не будет изменяться после того как крутящееся колесо свдинется с места потому-что скорость центра колеса перпендикулярна к вертикальной составляющей, поэтому $v_{\perp} = v_{\ell}\sin{\alpha}$.
Непонятно откуда взялся $\cos^{2}{\negthickspace \left(\alpha / 2\right)}$, если посмотреть на это странное вращение вокруг $C$.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

amon
пилите Шура, пилите

[amon]

(pogulyat_vyshel)

Случай тяжелый, но, IMHO, не безнадежный. Пока продолжаем реанимационные мероприятия

frostysh в сообщении #1445516 писал(а):

а линейная скорость вращения без учета кочения будет $v_{\ell} = wR$, при этому $v_{\parallel} = v_{O} + v_{\ell}\cos{\alpha}$,

Замечательно. Золотой ключик почти в кармане. Осталось узнать чему равен $v_{\ell}.$ Колесо катится без проскальзывания, значит за время полного оборота $T$ колесо проедет расстояние $L=2\pi R.$ Тогда скорость центра колеса $v=\frac{L}{T}.$ Теперь надо вспомнить, что $T=\frac{2\pi}{\omega}$ и получится, что $v=\frac{2\pi R\omega}{2\pi} =R\omega,$ то есть, получается, что $v_O=v_{\ell}=v$ - скорости центра колеса. Все это - в системе отсчета дороги, по которой все это хозяйство катается. После этих сложнейших выкладок оказывается, что Ваше $v_{\parallel} = v_{O}\left(1 + \dfrac{v_{\ell}}{v_{O}}\cos{\alpha}\right)$ совпадает с моим $v_\parallel=v(1+\cos \alpha).$

[Утундрий]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1445531 писал(а):

не безнадежный

Три "ха".

[realeugene]

frostysh в сообщении #1445495 писал(а):

Так вот в теории эти Тейлоры, Маклорены и Фурье хороши,

Тема медленно, но неизбежно приблизилась к Пургаторию.