Задача по теории групп

[Munin]

B@R5uk в сообщении #1443782 писал(а):

Munin, у меня этот сайт не открывается ни в каком виде.

Ох, бывает. Щас. https://dropmefiles.com/1BX29
(Я думал, если у человека торренты открываются, то и это откроется.)

-- 08.03.2020 18:58:50 --

mihaild в сообщении #1443791 писал(а):

Просто если для некоторой фиксированной группы проблема равенства (или любая другая проблема, решающаяся по таблице умножения) неразрешима...

А узнать заранее мы это никак не можем :-)

[mihaild]

Munin в сообщении #1443792 писал(а):

А узнать заранее мы это никак не можем

Ну естественно, конечность группы по порождающим соотношениям проверить заранее нельзя.
Впрочем есть конкретные группы, для которых проблема равенства разрешима (это очевидно и неинтересно), и известны конкретные примеры групп, для которых проблема равенства неразрешима - например (232 страница) хватит 10 генераторов и 27 соотношений.

[B@R5uk]

Если в группе $G$ взять некоторое множество элементов $S$ и замкнуть его относительно групповой операции, то получится некая подгруппа $H$ группы $G$. Для этой процедуры и для получающейся подгруппы есть какое-нибудь специальное название?

[mihaild]

Подгруппа, порожденная данным множеством.

[ИСН]

$\langle S\rangle$

[Munin]

А у меня другой вопрос. Если взять группу $G,$ добавить некоторый элемент или некоторое множество элементов, не накладывать никаких (новых) соотношений, и замкнуть относительно групповой операции. Для этой процедуры и для получающейся надгруппы есть какое-нибудь специальное название?
(Обобщение понятия "свободная группа", в каком-то смысле.)

[Sender]

Munin в сообщении #1443856 писал(а):

не накладывать никаких (новых) соотношений

Тогда как узнать, как будет вести себя групповая операция применительно к новым элементам?

[arseniiv]

Munin
Свободное произведение $G * \langle S\rangle$? $S$ — множество дополнительных элементов, $\langle S\rangle$ — свободная группа на нём.

-- Пн мар 09, 2020 15:32:13 --

Но если вы предполагаете, что и дополнительные элементы, и исходная группа лежат в какой-то большой группе $H$, это будет просто $\langle G\cup S\rangle_H$.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1443859 писал(а):

Свободное произведение $G * \langle S\rangle$?

Да, точно, оно. Спасибо! (Хотя я бы обозначил не $\langle S\rangle,$ а $S^*.$)

[B@R5uk]

Внимательно перечитывал предыдущие ответы.

Someone в сообщении #1440300 писал(а):

B@R5uk в сообщении #1440290 писал(а):

Теперь я понимаю, почему при построении группы по системе образующих с определяющими соотношениями используется такой, на первый взгляд, мутный алгоритм:

Ситуация ещё хуже: это вообще не алгоритм. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=1180&option_lang=rus.

Извиняюсь, что сразу не понял, что вы имели в виду. Мне почему-то показалось, что вы раскритиковали мой способ нахождения минимального множества образующих по таблице умножения. А что определение группы через классы эквивалентности строк не является конструктивным — это и так понятно. Сейчас мне, правда, это более понятно, чем было раньше. Поэтому слово "алгоритм" применительно к этому определению я должен был взять в кавычки.

Munin в сообщении #1437249 писал(а):

См. ещё дициклические группы.

Спасибо за наводку! Очень интересная разновидность групп. У них есть замечательная особенность, с которой я раньше не сталкивался: циклические подгруппы, порождаемые различными элементами, могут иметь пересечения, отличные от единичного элемента, и не входить при этом одна в другую. Вот, например, дициклическая группа $\operatorname{Dic}_3$ размера 12 и абелева группа "по мотивам" того же размера:



Видно, что в левой группе порождаемые образующими a и x подгруппы имеют общим кроме единичного элемента, ещё и элемент $a^3$. В правой группе всё ещё интереснее. Можно рассмотреть циклические подгруппы, порождаемые элементами b, c и bc:

$$C\left(b\right)\;=\;\left\{I,\;b,\;b^2,\;b^3,\;b^4,\;b^5\right\}$$

$$C\left(c\right)\;=\;\left\{I,\;c,\;b^2,\;b^2c,\;b^4,\;b^4c\right\}$$

$$C\left(bc\right)\;=\;\left\{I,\;bc,\;b^4,\;b^5c,\;b^2,\;b^3c\right\}$$

Все эти подгруппы разные, но имеют в качестве подгруппы $C\left(b^2\right)\;=\;\left\{I,\;b^2,\;b^4\right\}$. В группах, получаемых произведением циклических групп, ничего подобного не встречал. Возможно, надо взять больше групповых сомножителей, а возможно, это является правилом. На самом деле просто был невнимателен. Для сравнения графы группы диэдра $\operatorname{Dih}_{12}$ и прямого произведения $C_6\times C_2$:


И всё-таки хорошую я программку написал для построения групп. Вот, сходу так и не догадаешься, что группа, задаваемая соотношениями $\langle b,c\;|\;b^6=I,\;b^2=c^2,\;bcb=c\rangle$, на самом деле вырождается в группу Клейна $V_4\,=\,\langle b,c\;|\;b^2=c^2=I,\;cb=bc\rangle$ и имеет не 12 элементов, а всего 4. У кого глаз намётан, возможно догадается, что $b^2=c^2=\left(bcb\right)^2=bcb^2cb=bc^4b=b^6=I$. Но я был невнимателен, и только программа (при попытке построить таблицу умножения) указала мне на эту мою невнимательность. Наличие программы, конечно, не заменяет необходимость думать самому, но присутствие удобного инструмента для подстраховки — всегда радость.

[Munin]

Я себе дициклические группы представляю как 4 окружности (а группы диэдра - как 2, ну это и у вас так).

А картинки ваши очень хорошие. Хоть бери их всех как наглядные пособия для студентов 1 курса.

[B@R5uk]

Я тут сообразил, что обе группы справа на картинках выше — это на самом деле одна и та же группа. Причём даже элементы расположены на одних и тех же местах. Если в верхней сделать замену $b^5c\;\rightarrow\;c$, то, поскольку группа абелева, как раз получится группа снизу. Это и логично, если верить вики, абелевых групп порядка 12 всего две: циклическая $C_{12}$ и прямое произведение $C_6\times C_2$.

[B@R5uk]

А есть какой-нибудь специальный термин для минимального числа образующих, необходимых для задания группы? Типа "внутренняя размерность" или что-нибудь типа того. В списке терминов что-то не ищется ничего подобного.

[Sonic86]

Ранг группы
https://ru-wiki.ru/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0 ... 0%BF%D1%8B

[B@R5uk]

Sonic86, спасибо.