Задача по теории групп

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1494176 писал(а):

то, что не существует неабелевых групп порядков 9, 15, 25 — это нетривиально

Пусть у вас есть группа порядка $p^2$. Докажите, что её центр нетривиален. После этого посмотрите на фактор по центру (центр нормален, по нему можно брать фактор).
Про группы порядка $pq$ - смотрите теоремы Силова, это уже совсем на пальцах вроде бы не делается.

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1494186 писал(а):

Пусть у вас есть группа порядка $p^2$. Докажите, что её центр нетривиален.

Я так понимаю, для доказательства нужно будет воспользоваться какими-то теоремами? Но я теорией почти не владею, кроме, может, некоторых определений, поэтому не представляю как к этому доказательству вообще подступиться.

Но из общих соображений мне кажется весьма правдоподобным, что у группа порядка $p^2$ должна быть абелевой. Если рассмотреть группу $\mathbb{Z}_p$, то группой всех её автоморфизмов будет $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_p)=\mathbb{Z}_{p-1}$ изоморфизм из $\mathbb{Z}_p$ в $\mathbb{Z}_{p-1}$ может быть только тривиальный, поэтому существует только одно (тривиальное) полупрямое произведение группы $\mathbb{Z}_p$ на $\mathbb{Z}_p$ — прямое произведение. Оно даст абелеву группу. Прореха в этих рассуждениях только в том, что полупрямое произведение — не единственный способ получить новую группу из двух циклических. И какие правила у этих других способов конструирования больших групп из малых групп я не знаю.

Мне, конечно, насоветовали всяких учебников почитать, но руки и глаза всё никак не доберутся: не могу наиграться со своими программами. Вот только на днях сделал классификацию подгрупп по сопряжениям и автоморфизмам. В частности, в рамках прихорашивания моей коллекции групп в группе $Z_3^2\rtimes Z_3$ внёс некоторый порядок в нумерацию элементов. Табличка включения элементов в подгруппы стала теперь красиво выглядеть:

Используется синтаксис Text

                                                       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
  NN Rnk Ord Prpts CjC ImC Gnsts   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
   0   0   1  ANZC   0   0     0   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   1   1   3  ANZC   0   0     2   + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   2   1   3  A---   1   1     2   + - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   3   1   3  A---   1   1     2   + - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   4   1   3  A---   1   1     2   + - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   5   1   3  A---   2   1     2   + - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - -
   6   1   3  A---   2   1     2   + - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - -
   7   1   3  A---   2   1     2   + - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - -
   8   1   3  A---   3   1     2   + - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - -
   9   1   3  A---   3   1     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - -
  10   1   3  A---   3   1     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - -
  11   1   3  A---   4   1     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - -
  12   1   3  A---   4   1     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - -
  13   1   3  A---   4   1     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + +
  14   2   9  AN--   0   2    24   + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  15   2   9  AN--   0   2    24   + + + - - - - - - + + + + + + - - - - - - - - - - - -
  16   2   9  AN--   0   2    24   + + + - - - - - - - - - - - - + + + + + + - - - - - -
  17   2   9  AN--   0   2    24   + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + +
  18   2  27  -N-C   0   0   216   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Number of inner automorphisms: 9
Number of all automorphisms: 432
 

Столбец CjC здесь — номера классов сопряжённости, а ImC — номера классов изоморфности подгрупп, если можно так выразиться. Для нормальной или характеристической подгруппы соответствующее значение класса нулевое. Мне, кстати, на вопрос что-то никто не ответил. Термина нету, видимо?

B@R5uk в сообщении #1494176 писал(а):

Алсо, у меня тут возник такой вопрос. Класс сопряжённых подгрупп — это в некотором смысле антоним к нормальной подгруппе. А что будет в этом смысле антонимом к характеристической подгруппе?

Вот ещё до кучи группа Паули:

Используется синтаксис Text

                                                       1 1 1 1 1 1
  NN Rnk Ord Prpts CjC ImC Gnsts   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
   0   0   1  ANZC   0   0     0   + - - - - - - - - - - - - - - -
   1   1   2  ANZC   0   0     1   + + - - - - - - - - - - - - - -
   2   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - + - - - - -
   3   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - + - - - -
   4   1   2  A---   2   1     1   + - - - - - - - - - - - + - - -
   5   1   2  A---   2   1     1   + - - - - - - - - - - - - + - -
   6   1   2  A---   3   1     1   + - - - - - - - - - - - - - + -
   7   1   2  A---   3   1     1   + - - - - - - - - - - - - - - +
   8   1   4  AN--   0   2     2   + + + + - - - - - - - - - - - -
   9   1   4  AN--   0   2     2   + + - - + + - - - - - - - - - -
  10   1   4  AN--   0   2     2   + + - - - - + + - - - - - - - -
  11   1   4  ANZC   0   0     2   + + - - - - - - + + - - - - - -
  12   2   4  AN--   0   3     3   + + - - - - - - - - + + - - - -
  13   2   4  AN--   0   3     3   + + - - - - - - - - - - + + - -
  14   2   4  AN--   0   3     3   + + - - - - - - - - - - - - + +
  15   2   8  -N-C   0   0    12   + + + + + + + + - - - - - - - -
  16   2   8  AN--   0   4    12   + + + + - - - - + + + + - - - -
  17   2   8  -N--   0   5    12   + + + + - - - - - - - - + + + +
  18   2   8  AN--   0   4    12   + + - - + + - - + + - - + + - -
  19   2   8  -N--   0   5    12   + + - - + + - - - - + + - - + +
  20   2   8  AN--   0   4    12   + + - - - - + + + + - - - - + +
  21   2   8  -N--   0   5    12   + + - - - - + + - - + + + + - -
  22   3  16  -N-C   0   0   224   + + + + + + + + + + + + + + + +

Number of inner automorphisms: 4
Number of all automorphisms: 48
 

Группа $Z_3^2\rtimes Z_2$:

Используется синтаксис Text

                                                       1 1 1 1 1 1 1 1
  NN Rnk Ord Prpts CjC ImC Gnsts   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7
   0   0   1  ANZC   0   0     0   + - - - - - - - - - - - - - - - - -
   1   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - + - - - - - - - -
   2   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - + - - - - - - -
   3   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - + - - - - - -
   4   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - - + - - - - -
   5   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - - - + - - - -
   6   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - - - - + - - -
   7   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - - - - - + - -
   8   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - - - - - - + -
   9   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - - - - - - - +
  10   1   3  AN--   0   2     2   + + + - - - - - - - - - - - - - - -
  11   1   3  AN--   0   2     2   + - - + + - - - - - - - - - - - - -
  12   1   3  AN--   0   2     2   + - - - - + + - - - - - - - - - - -
  13   1   3  AN--   0   2     2   + - - - - - - + + - - - - - - - - -
  14   2   6  ----   2   3     9   + + + - - - - - - + + + - - - - - -
  15   2   6  ----   2   3     9   + + + - - - - - - - - - + + + - - -
  16   2   6  ----   2   3     9   + + + - - - - - - - - - - - - + + +
  17   2   6  ----   3   3     9   + - - + + - - - - + - - + - - + - -
  18   2   6  ----   3   3     9   + - - + + - - - - - + - - + - - + -
  19   2   6  ----   3   3     9   + - - + + - - - - - - + - - + - - +
  20   2   6  ----   4   3     9   + - - - - + + - - + - - - + - - - +
  21   2   6  ----   4   3     9   + - - - - + + - - - + - - - + + - -
  22   2   6  ----   4   3     9   + - - - - + + - - - - + + - - - + -
  23   2   6  ----   5   3     9   + - - - - - - + + + - - - - + - + -
  24   2   6  ----   5   3     9   + - - - - - - + + - + - + - - - - +
  25   2   6  ----   5   3     9   + - - - - - - + + - - + - + - + - -
  26   2   9  AN-C   0   0    24   + + + + + + + + + - - - - - - - - -
  27   3  18  -N-C   0   0   504   + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Number of inner automorphisms: 18
Number of all automorphisms: 432
 

И группа $S_4$:

Используется синтаксис Text

                                                       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
  NN Rnk Ord Prpts CjC ImC Gnsts   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
   0   0   1  ANZC   0   0     0   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   1   1   2  A---   1   1     1   + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   2   1   2  A---   1   1     1   + - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   3   1   2  A---   1   1     1   + - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   4   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - + - - - - -
   5   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + - - - -
   6   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + - - -
   7   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + - -
   8   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + -
   9   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - +
  10   1   3  A---   3   3     2   + - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  11   1   3  A---   3   3     2   + - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - -
  12   1   3  A---   3   3     2   + - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - -
  13   1   3  A---   3   3     2   + - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - -
  14   2   4  AN-C   0   0     3   + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  15   1   4  A---   4   4     2   + + - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - -
  16   2   4  A---   5   5     3   + + - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - -
  17   1   4  A---   4   4     2   + - + - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - -
  18   2   4  A---   5   5     3   + - + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - -
  19   1   4  A---   4   4     2   + - - + - - - - - - - - - - - - + + - - - - - -
  20   2   4  A---   5   5     3   + - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + +
  21   2   6  ----   6   6     9   + - - - + + - - - - - - - - - - - - - + - + - +
  22   2   6  ----   6   6     9   + - - - - - + + - - - - - - - - - - + - + - - +
  23   2   6  ----   6   6     9   + - - - - - - - + + - - - - - - - - - + + - + -
  24   2   6  ----   6   6     9   + - - - - - - - - - + + - - - - - - + - - + + -
  25   2   8  ----   7   7    12   + + + + - - - - - - - - + + - - - - + + - - - -
  26   2   8  ----   7   7    12   + + + + - - - - - - - - - - + + - - - - + + - -
  27   2   8  ----   7   7    12   + + + + - - - - - - - - - - - - + + - - - - + +
  28   2  12  -N-C   0   0    48   + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - -
  29   2  24  -N-C   0   0   108   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Number of inner automorphisms: 24
Number of all automorphisms: 24
 

Последняя — самая запутанная. У неё каждый элемент участвует как минимум в двух подгруппах: одна 1-го ранга, другая — 2-го. Некоторые вообще и в 5-ти и в 8-ми подгруппах успевают отметится.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1494360 писал(а):

Я так понимаю, для доказательства нужно будет воспользоваться какими-то теоремами?

Тут нужно понимать, что такое действие группы сопряжением, что такое орбиты и стабилизаторы, и как они связаны.

[B@R5uk]

Вот забавная группа: $\mathbb{Z}_3\rtimes\mathbb{Z}_8$. При косом произведении двух циклических групп появляется циклическая подгруппа с рангом, большим чем каждая из групп в произведении. Такое наблюдал только в вырожденных прямых произведениях циклических групп. Здесь же вырождения нету.

Используется синтаксис Text

                                                       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
  NN Rnk Ord Prpts CjC ImC Gnsts   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
   0   0   1  ANZC   0   0     0   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   1   1   2  ANZC   0   0     1   + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   2   1   3  AN-C   0   0     2   + - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   3   1   4  ANZC   0   0     2   + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
   4   1   6  AN-C   0   0     2   + + - - + + + + - - - - - - - - - - - - - - - -
   5   1   8  A---   1   1     4   + + + + - - - - - - - - + + + + - - - - - - - -
   6   1   8  A---   1   1     4   + + + + - - - - - - - - - - - - + + + + - - - -
   7   1   8  A---   1   1     4   + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +
   8   1  12  AN-C   0   0     4   + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - -
   9   2  24  -N-C   0   0   144   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Number of inner automorphisms: 6
Number of all automorphisms: 24
 

Граф циклов весьма интересный получается:


С другой стороны, наличие нормальной группы 12-го порядка намекает, что эту группу, возможно, если удастся правильно подобрать действие, получится представить как $\mathbb{Z}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2$. Вопрос, удастся ли?

[B@R5uk]

B@R5uk в сообщении #1494525 писал(а):

наличие нормальной группы 12-го порядка намекает, что эту группу, возможно, если удастся правильно подобрать действие, получится представить как $\mathbb{Z}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2$.

Не получится. У $\mathbb{Z}_3\rtimes\mathbb{Z}_8$ даже нет такого набора образующих, чтобы одна была порядка 2, а другая — порядка 12:

Используется синтаксис Text

Generating sets:
  Type 3-8 (24):
      [4, 12]   [4, 13]   [4, 14]   [4, 15]   [4, 16]   [4, 17]
      [4, 18]   [4, 19]   [4, 20]   [4, 21]   [4, 22]   [4, 23]
      [5, 12]   [5, 13]   [5, 14]   [5, 15]   [5, 16]   [5, 17]
      [5, 18]   [5, 19]   [5, 20]   [5, 21]   [5, 22]   [5, 23]
  Type 6-8 (24):
      [6, 12]   [6, 13]   [6, 14]   [6, 15]   [6, 16]   [6, 17]
      [6, 18]   [6, 19]   [6, 20]   [6, 21]   [6, 22]   [6, 23]
      [7, 12]   [7, 13]   [7, 14]   [7, 15]   [7, 16]   [7, 17]
      [7, 18]   [7, 19]   [7, 20]   [7, 21]   [7, 22]   [7, 23]
  Type 8-8 (12):
      [12, 16]   [12, 20]   [13, 17]   [13, 21]   [14, 18]   [14, 22]
      [15, 19]   [15, 23]   [16, 20]   [17, 21]   [18, 22]   [19, 23]
  Type 8-8 (12):
      [12, 17]   [12, 21]   [13, 16]   [13, 20]   [14, 19]   [14, 23]
      [15, 18]   [15, 22]   [16, 21]   [17, 20]   [18, 23]   [19, 22]
  Type 8-8 (12):
      [12, 18]   [12, 22]   [13, 19]   [13, 23]   [14, 16]   [14, 20]
      [15, 17]   [15, 21]   [16, 22]   [17, 23]   [18, 20]   [19, 21]
  Type 8-8 (12):
      [12, 19]   [12, 23]   [13, 18]   [13, 22]   [14, 17]   [14, 21]
      [15, 16]   [15, 20]   [16, 23]   [17, 22]   [18, 21]   [19, 20]
  Type 8-12 (24):
      [8, 12]   [8, 14]   [8, 16]   [8, 18]   [8, 20]   [8, 22]
      [9, 13]   [9, 15]   [9, 17]   [9, 19]   [9, 21]   [9, 23]
      [10, 13]   [10, 15]   [10, 17]   [10, 19]   [10, 21]   [10, 23]
      [11, 12]   [11, 14]   [11, 16]   [11, 18]   [11, 20]   [11, 22]
  Type 8-12 (24):
      [8, 13]   [8, 15]   [8, 17]   [8, 19]   [8, 21]   [8, 23]
      [9, 12]   [9, 14]   [9, 16]   [9, 18]   [9, 20]   [9, 22]
      [10, 12]   [10, 14]   [10, 16]   [10, 18]   [10, 20]   [10, 22]
      [11, 13]   [11, 15]   [11, 17]   [11, 19]   [11, 21]   [11, 23]
 

У групп вида $\mathbb{Z}_{12}\rtimes\mathbb{Z}_2$ всегда такие образующие будут.

Вообще, выписка выше утверждает, что для этой группы можно нарисовать целых 8 различных графов Кэли. Приличное количество для группы с порядком всего 24.

[B@R5uk]

Сделал примитивную распознавалку групп:

Используется синтаксис Java

        public String getName () {
            int k, elementOrder, maxOrder, maxOrderElemet;
            int [] orderCount;
            
            if (0 == subgroupRank) {
                return "I";
            }
            
            maxOrder = 0;
            maxOrderElemet = 0;
            orderCount = new int [groupOrder + 1];
            for (k = 0; subgroupOrder > k; ++k) {
                elementOrder = elementsOrders [elements [k]];
                if (maxOrder < elementOrder) {
                    maxOrder = elementOrder;
                    maxOrderElemet = elements [k];
                }
                ++orderCount [elementOrder];
            }
            
            if (commutativityFlag) {
                if (1 == subgroupRank) {
                    return "Z_" + subgroupOrder;
                }
                if (2 == subgroupRank) {
                    if (4 == subgroupOrder) {
                        return "K_4";
                    }
                    elementOrder = subgroupOrder / maxOrder;
                    if (maxOrder == elementOrder) {
                        return "Z_" + maxOrder +" ^ 2";
                    }
                    return "Z_" + elementOrder + " x Z_" + maxOrder;
                }
            } else {
                if (2 == subgroupRank) {
                    if (24 == subgroupOrder && 9 == orderCount [2] && 8 == orderCount [3] && 6 == orderCount [4]) {
                        return "S_4";
                    }
                    for (k = 0; maxOrder > k; ++k) {
                        --orderCount [elementsOrders [cycleByElement [maxOrderElemet] .elements [k]]];
                    }
                    if (subgroupOrder == 2 * maxOrder && subgroupOrder == 2 * orderCount [2]) {
                        return "Dih_" + maxOrder;
                    }
                    if (subgroupOrder == 2 * maxOrder && subgroupOrder == 2 * orderCount [4]) {
                        if (8 == subgroupOrder) {
                            return "Q_8";
                        }
                        return "Dic_" + (maxOrder / 2);
                    }
                    if (12 == subgroupOrder) {
                        return "A_4";
                    }
                }
            }
            return "";
        }
    }
 

К сожалению, распознаются группы только 1-го и 2-го рангов. Первый ранг — это циклические группы, плёвое дело. Абелевы группы второго ранга — чутка хитрее: нужно найти элемент максимального порядка, который будет одной из образующих. Порядок второй образующей находится как частное порядков группы и этого элемента. С группами абелевыми 3-го ранга и выше всё будет гораздо сложнее. Там придётся честно искать фактор-группу по максимальному циклу, порождаемому элементом с максимальным порядком, и уже её снова распознавать. Хотя, группы вида $K_4\times\mathbb{Z}_n$, пожалуй, можно будет распознать с тем, что уже есть, то есть проверив, что группа абелева, её ранг равен 3, а порядок — учетверённому порядку элемента максимального порядка.

Группы диэдра и дициклические, с другой стороны, ищутся просто: в первых много элементов 2-го порядка, а во вторых — 4-го. Под словом "много" понимаются все элементы, отличные от максимального цикла группы.

Ещё добавил автоматическое упорядочивание элементов группы. Работает это следующим образом. Каждой подгруппе группы назначается вес, равный её индексу в группе. Если подгруппа нормальная или центральная, то ей добавляется дополнительный вес (порядок группы и удвоенный порядок группы, соответственно). Затем каждый элемент группы получает вес, равный сумме весов подгрупп, в которые он входит. Элементы сортируются в порядке убывания веса. Нейтральный при этом автоматически оказывается на первом месте, так как входит во все подгруппы, в том числе в тривиальную из одного элемента. Прямой и обратный элементы (когда порядок прямого больше 2) располагаются один за другим.

Это, конечно, не самое интеллектуальное упорядочивание, так как иногда стоит переставить местами группы элементов разного веса (не в порядке его убывания). Или как правило дополнительно отсортировать элементы с одинаковым весом. Но уже это даёт красивые таблички для подгрупп группы автоморфизмов, которая рассчитывается по заданной группе. Например, такой вот код:

Используется синтаксис Java

    public static void main(String[] args) {
        int [] [] seedLines;
        GroupClass group;
        
        seedLines = GroupsCollection .getSeedLines ("Q8");
        group = new GroupClass (seedLines);
        group .displaySubgoups ();
        group = group .getAutomorphismsGroup();
        group .arrangeElements ();
        group .displaySubgoups ();
        
        seedLines = GroupsCollection .getSeedLines ("Z7 # Z3");
        group = new GroupClass (seedLines);
        group .displaySubgoups ();
        group = group .getAutomorphismsGroup();
        group .arrangeElements ();
        group .displaySubgoups ();
    }
 

даст такой красивый вывод:

Используется синтаксис Text

  NN Rnk Ord Prpts CjC ImC Gnsts   0 1 2 3 4 5 6 7
   0   0   1  ANZC   -   -     0   + - - - - - - -    I
   1   1   2  ANZC   -   -     1   + + - - - - - -    Z_2
   2   1   4  AN--   -   1     2   + + + + - - - -    Z_4
   3   1   4  AN--   -   1     2   + + - - + + - -    Z_4
   4   1   4  AN--   -   1     2   + + - - - - + +    Z_4
   5   2   8  -N-C   -   -    12   + + + + + + + +    Q_8

Number of inner automorphisms: 4
Number of all automorphisms: 24


                                                       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
  NN Rnk Ord Prpts CjC ImC Gnsts   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
   0   0   1  ANZC   -   -     0   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    I
   1   1   2  A---   1   1     1   + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_2
   2   1   2  A---   1   1     1   + - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_2
   3   1   2  A---   1   1     1   + - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_2
   4   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - -    Z_2
   5   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - -    Z_2
   6   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - -    Z_2
   7   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - -    Z_2
   8   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - - - - + - - - - - - -    Z_2
   9   1   2  A---   2   2     1   + - - - - - - - - - - - - - - - - + - - - - - -    Z_2
  10   1   3  A---   3   3     2   + - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_3
  11   1   3  A---   3   3     2   + - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_3
  12   1   3  A---   3   3     2   + - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - -    Z_3
  13   1   3  A---   3   3     2   + - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - -    Z_3
  14   2   4  AN-C   -   -     3   + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    K_4
  15   2   4  A---   4   4     3   + + - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - -    K_4
  16   1   4  A---   5   5     2   + + - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - -    Z_4
  17   2   4  A---   4   4     3   + - + - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - -    K_4
  18   1   4  A---   5   5     2   + - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + +    Z_4
  19   2   4  A---   4   4     3   + - - + - - - - - - - - - - + + - - - - - - - -    K_4
  20   1   4  A---   5   5     2   + - - + - - - - - - - - - - - - - - - - + + - -    Z_4
  21   2   6  ----   6   6     9   + - - - + + - - - - - - - + - + - + - - - - - -    Dih_3
  22   2   6  ----   6   6     9   + - - - - - + + - - - - + - - + + - - - - - - -    Dih_3
  23   2   6  ----   6   6     9   + - - - - - - - + + - - - + + - + - - - - - - -    Dih_3
  24   2   6  ----   6   6     9   + - - - - - - - - - + + + - + - - + - - - - - -    Dih_3
  25   2   8  ----   7   7    12   + + + + - - - - - - - - + + - - - - + + - - - -    Dih_4
  26   2   8  ----   7   7    12   + + + + - - - - - - - - - - + + - - - - + + - -    Dih_4
  27   2   8  ----   7   7    12   + + + + - - - - - - - - - - - - + + - - - - + +    Dih_4
  28   2  12  -N-C   -   -    48   + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - -    A_4
  29   2  24  -N-C   -   -   108   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +    S_4

Number of inner automorphisms: 24
Number of all automorphisms: 24


                                                       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
  NN Rnk Ord Prpts CjC ImC Gnsts   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
   0   0   1  ANZC   -   -     0   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    I
   1   1   3  A---   1   1     2   + - - - - - - + + - - - - - - - - - - - -    Z_3
   2   1   3  A---   1   1     2   + - - - - - - - - + + - - - - - - - - - -    Z_3
   3   1   3  A---   1   1     2   + - - - - - - - - - - + + - - - - - - - -    Z_3
   4   1   3  A---   1   1     2   + - - - - - - - - - - - - + + - - - - - -    Z_3
   5   1   3  A---   1   1     2   + - - - - - - - - - - - - - - + + - - - -    Z_3
   6   1   3  A---   1   1     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - + + - -    Z_3
   7   1   3  A---   1   1     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + +    Z_3
   8   1   7  AN-C   -   -     6   + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - -    Z_7
   9   2  21  -N-C   -   -   168   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +    

Number of inner automorphisms: 21
Number of all automorphisms: 42


                                                       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4
  NN Rnk Ord Prpts CjC ImC Gnsts   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
   0   0   1  ANZC   -   -     0   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    I
   1   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_2
   2   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_2
   3   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_2
   4   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_2
   5   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_2
   6   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_2
   7   1   2  A---   1   1     1   + - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_2
   8   1   3  A---   2   2     2   + - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_3
   9   1   3  A---   2   2     2   + - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_3
  10   1   3  A---   2   2     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_3
  11   1   3  A---   2   2     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_3
  12   1   3  A---   2   2     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_3
  13   1   3  A---   2   2     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_3
  14   1   3  A---   2   2     2   + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - -    Z_3
  15   1   6  A---   3   3     2   + - - - - - - + - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - -    Z_6
  16   1   6  A---   3   3     2   + - - - - - - - + - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - + + - -    Z_6
  17   1   6  A---   3   3     2   + - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - + + - - - - - -    Z_6
  18   1   6  A---   3   3     2   + - - - - - - - - - + - - - - - - - + + - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - -    Z_6
  19   1   6  A---   3   3     2   + - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - - + + - - - - - - - - - - - - - - + +    Z_6
  20   1   6  A---   3   3     2   + - - - - - - - - - - - + - - - + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - - - -    Z_6
  21   1   6  A---   3   3     2   + - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - + + - - - - - - - - + + - - - - - - - -    Z_6
  22   1   7  AN-C   -   -     6   + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Z_7
  23   2  14  -N-C   -   -    63   + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    Dih_7
  24   2  21  -N-C   -   -   168   + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - -    
  25   2  42  -N-C   -   -   504   + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +    

Number of inner automorphisms: 42
Number of all automorphisms: 42

 

Хотя, веса, наверное, придётся ещё подрихтовать. Хотелось бы, чтобы центральные элементы группы шли первыми, даже когда они входят в небольшое число подгрупп.