несколько заданий

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #144184 писал(а):

Меня в школе учили, что значение $w^\alpha$ при $\alpha \not\in \mathbb{Z}$ определено только в случае $w \geqslant 0$. Может, сейчас уже учат по другому?

Да, по-другому. И раньше, и сейчас нестрогое неравенство заменяют строгим . Иначе Вам придется придать смысл выражению $0^{ - \frac{1}{2}} $, что вряд ли возможно.

[Профессор Снэйп]

bubu gaga писал(а):

Как можно избежать болезненного решения в лоб?

Рассмотрите по отдельности три случая: $3x > 4$, $3x < -1$ и $-1 < 3x < 4$.

bubu gaga писал(а):

Разве не возможна такая криминальная интерпретация?

$$ \ln(-2) - \ln(-3) = \ln(-1) + \ln(2) - \ln(-1) - \ln(3) $$

Уж не знаю, интерпретацией чего является это "криминальное" равенство, но оно верно. Слева и справа от знака "$=$" стоят неопределённые значения.

Добавлено спустя 5 минут 8 секунд:

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #144184 писал(а):

Меня в школе учили, что значение $w^\alpha$ при $\alpha \not\in \mathbb{Z}$ определено только в случае $w \geqslant 0$. Может, сейчас уже учат по другому?

Да, по-другому. И раньше, и сейчас нестрогое неравенство заменяют строгим . Иначе Вам придется придать смысл выражению $0^{ - \frac{1}{2}} $, что вряд ли возможно.

Да, конечно, неравенство должно быть строгим. Но по сути я прав: значение $\sqrt[3]{w^4}$ определено при отрицательном $w$, а значение $w^{4/3}$ не определено.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Меня в школе учили, что значение $w^\alpha$ при $\alpha \not\in \mathbb{Z}$ определено только в случае $w \geqslant 0$. Может, сейчас уже учат по другому?

Вас в школе не учили, что кубический корень из отрицательного числа определён? Это странно.

Рациональная степень по определению равна корню из степени (ну или степени корня). Ведь как-то её надо определить, да? Ну вот именно так она и определяется.

Проблемы с основанием возникают позже -- когда степень доопределяется на иррациональные показатели. Поскольку такое доопределение требует предельного перехода.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #144187 писал(а):

Рациональная степень по определению равна корню из степени (ну или степени корня).

В этом определении заранее оговаривается, что число под степенью - положительное, чтобы сразу избежать неизбежных иначе бесконечночисленных оговорок. Советую попросить на время у школьника старших классов его учебник по алгебре и внимательно его изучить.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Вас в школе не учили, что кубический корень из отрицательного числа определён?

Кубический корень определён. А степень $1/3$ не определена. Я Вам про что и толкую!

ewert писал(а):

Рациональная степень по определению равна корню из степени (ну или степени корня). Ведь как-то её надо определить, да? Ну вот именно так она и определяется.

Чему равно $(-1)^{1/3}$? А $(-1)^{2/6}$? Как видите, проблемы уже с рациональными показателями возникают.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Чему равно $(-1)^{1/3}$? А $(-1)^{2/6}$? Как видите, проблемы уже с рациональными показателями возникают.

Только в одну сторону. Степень 2/6 не есть корень шестой степени из квадрата -- она совпадает со степенью 1/3. Просто потому, что 2/6=1/3.

А вот степень 1/3 -- это уже в точности кубический корень. Не больше и не меньше. Вы можете предложить альтернативное определение?

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Вы можете предложить альтернативное определение?

Могу.

ewert писал(а):

Степень 2/6 не есть корень шестой степени из квадрата -- она совпадает со степенью 1/3. Просто потому, что 2/6=1/3.

А вот степень 1/3 -- это уже в точности кубический корень. Не больше и не меньше.

Степень $1/3$ не есть кубический корень из первой степени --- она совпадает со степенью $2/6$. Просто потому, что $1/3=2/6$.

А вот степень $2/6$ --- это уже, в точности, корень шестой степени из квадрата. Не больше и не меньше.

И чем моё рассуждение хуже Вашего?

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

А вот степень $2/6$ --- это уже, в точности, корень шестой степени из квадрата. Не больше и не меньше.

И чем моё рассуждение хуже Вашего?

Легко. Тем, что степень 2/6 вообще не имеет точного смысла -- не указан порядок следования операций.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Провокационный вопрос. Вы действительно считаете, что рациональные числа -- это все возможные дроби с целыми числителями и натуральными знаменателями?

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

А вот степень $2/6$ --- это уже, в точности, корень шестой степени из квадрата. Не больше и не меньше.

И чем моё рассуждение хуже Вашего?

Легко. Тем, что степень 2/6 вообще не имеет точного смысла -- не указан порядок следования операций.

А степень $2/3$ имеет точный смысл?

ewert писал(а):

Провокационный вопрос. Вы действительно считаете, что рациональные числа --- это все возможные дроби с целыми числителями и натуральными знаменателями?

Я считаю, что рациональные числа --- это элементы фактор-множества множества $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{ 0 \})$ по отношению эквивалентности

$$ \langle a,b \rangle \sim \langle c,d \rangle \Leftrightarrow ad = bc $$

А ещё рациональные числа образуют минимальное поле характеристики $0$, единственное с точностью до изоморфизма, и могут быть заданы аксиоматически через это свойство. Хотя, конечно, представители технических ВУЗов таких полей не признают