Колмогоровская реформа, учебники и т.д.

[vpb]

11) Перечислю те доказательства, которые мне, что называется, врезались в память.

6 класс: теорема о пересечении двух прямых; обратное неравенство треугольника (см. выше); неравенство для длины ломаной; теорема Фалеса (само доказательство не врезалось, но хорошо помню, что я его понял, в отличие от многих других (доказательств; а может и одноклассников ?), и потом на основе таких же примерно рассуждений успешно сам решал задачи на доказательство); теорема о средней линии треугольника;

7 класс: центр описанной вокруг треугольника окружности --- точка пересечения срединных перпендикуляров; центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника --- середина гипотенузы; и обратно, вписанный угол, опирающийся на диаметр --- прямой; теорема о величине вписанного угла; теорема Пифагора;

8 класс: теорема косинусов.

Что характерно для всех перечисленных примеров ? Во всех этих случаях изложение было (а) полным, и (б) что самое важное, вполне классическим, без ненужного использования симметрий и параллельных переносов.

С другой стороны, помню случаи, когда я в какие-то доказательства пытался въехать, и не мог. Из них запомнились (1) теоремы о равнобедренном треугольнике, прямая и обратная, и (2) теорема о сумме углов треугольника.
Особенно второе. Помню, как еще в начале 6 класса пытался это доказательство в учебнике прочитать, движим естественной любознательностью, и ничего не понял. Но и впоследствии я не помню, чтоб его понял. (Точнее, я его "понял", так или иначе, считая за очевидное, что при пересечении двух параллельных прямых третьей соответствующие углы равны. А вот почему верно последнее, я узнал менее полугода назад. И не из Колмогорова, конечно, а из Киселева).

Почему я тогда не понял теорему о сумме углов, можно объяснить. Сравним, примерно,
ход рассуждений в Колмогорове (по изданию 1979 г.), и в Киселеве, с самого начала.

В Колмогорове:
поворот является перемещением (принимается без доказательства) -->
центральная симметрия --- перемещение -->
центральная симметрия переводит каждую прямую в параллельную ей -->
центральная симметрия переводит каждый луч в противоположно направленный -->
противоположно направленные лучи симметричны относительно середины
отрезка, соединяющего их вершины, +
отношение сонаправленности лучей --- эквивалентность (принимаем из наглядности) -->
параллельный перенос --- перемещение -->
углы, имеющие соответственно сонаправленные стороны, имеют равные величины -->
сумма углов в треугольнике 180 градусов, наконец-то.

(Тут я кое-что упростил, в реальности еще заковыристей, см. текст. В учебнике для 6 класса, по которому я учился, попроще было, но тоже малопонимабельно. )

В Киселеве:
аксиома подвижности плоскости -->
первый признак равенства треугольников -->
теорема о внешнем угле -->
две прямые параллельны тогда и только тогда, когда соответственные углы при
пересечении их третьей равны -->
теорема о сумме углов треугольника.

Как говорится, почувствуйте разницу. И в длине, и в простоте используемых понятий. Не говоря уже о том, что и сами доказательства в Киселеве гораздо проще и понятнее.

Замечание. Среди запомнившихся доказательств большая часть --- из 6 класса. В 7 и 8 запомнилось меньше не потому конечно, что я их хуже понимал, а наоборот, там всё протекало более гладко и ровно. Но отметим, что материал за 7 и особенно 8 класс --- более классический, там меньше специфических для колмогоровского учебника "новаций".

[Munin]

vpb
А что вы думаете о такой мысли: в школьном учебнике стоит давать для некоторых теорем по 2-3 доказательства.
Школьник выберет, какое ему понятней. Учитель может дать на уроке одно на свой выбор, но любознательный школьник сможет увидеть несколько. На сдачу учителю засчитываться должно любое из учебника, если изложено правильно.

Потому что мы уже видим, что для некоторых теорем учебники дают разные доказательства, и разница иногда становится чисто "вкусовой", или приближается к ней. Более того, может быть так, что в 7 классе школьнику понятней одно доказательство, а в 11 классе при повторении материала - другое.

[vpb]

12) Не так давно я, с целью ответа на вопросы участников форума "какой учебник лучше", читал и сравнивал между собой разные учебники. В частности, в основном прочитал учебник Киселева. Прочитав его, у меня сильно изменились взгляды на то, что такое геометрия, и даже в некотором роде что такое математика вообще (последнее, впрочем,неизъяснимо в словах). Я узнал много нового и интересного чисто в математическом отношении (понятия, утверждения и доказательства). А также я увидел, впервые, что школьная геометрия --- это нечто стройное, последовательное и красивое. Я почувствовал себя обманутым: почему же я не узнал этого раньше ? Сейчас-то, почитав более тщательно учебник Колмогорова, я знаю, почему.

13) Возникает вопрос: если учебник Колмогорова плох, почему же многие дети по нему успешно учились ? Ответ не совсем прост.

В элементарной геометрии есть, как и в компьютерной архитектуре, несколько уровней. Причем утверждения предыдущего уровня считаются очевидными на последующем.

(0) Уровень оснований. В школе этого никак не касаются, да и в университете тоже. Немного касаются в пединституте. На этом уровне всё изложение --- строго на теоретико-множественной основе. Типичное утверждение этого уровня --- существование функции длины отрезков с известными свойствами ( $|AB|=|BA|>0$, и $|AB|+|BC|=|AC|$, если $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, $B$ между $A и $C$). А апофеоз ---
существование угловой меры, тоже с известными свойствами. (В число исходных понятий ни длина, ни угловая мера не входят).

(1) Уровень основ. Типичное утверждение --- допустим, третий признак равенства треугольников. Что характерно, утверждения этого уровня, как правило, наглядно очевидны.

(2) Уровень неочевидных утверждений. Типичное утверждение --- теорема Пифагора.

(3) Уровень заковыристых утверждений, олимпиадного типа и выше. Типичное утверждение --- теорема Менелая. Я этого уровня не любитель. Обычному математику он интересен, думаю, разве что потренировать мозги.

(Про тренировку мозгов)

Слышал когда-то, байка или нет, что Соболев каждое утро для зарядки решал две задачи по планиметрии.

В этих терминах можно объяснить, что плохого в Колмогорове в сравнении с Киселевым, и почему школьники тем не менее его проходили. В Колмогорове плохо с уровнем (1), т.е. с базой. То есть, как уже объяснялось выше,
доказательства обычно или опущены, или неоправданно усложнены. А то, что школьники это проходили, объясняется тем, как проходили: понимали наглядно, решали несколько простых задачек на применение наглядно понятого утверждения, получали за это хорошую оценку, и поехали дальше. У учителей эта ситуация с обучением без понимания доказательств, наверняка, вызывала внутренний протест. Но они понимали, что ученики не виноваты, и как-то их учили. В любом случае, где-то с 7-го (тогда) класса доказательств становилось больше, соответственно обучение становилось более нормальным. (Хотя нет: была еще дрянь типа "вектор-перенос").

-- 17.01.2020, 20:57 --

(Munin)

Я думаю, мне лучше не возобновлять с вами общение. На вопрос про отрезок и окружность я ответил затем, что сответствующее утверждение при поверхностном взгляде выглядело нелепым и могло у других читателей вызвать недоверие ко всему тексту в целом.

[Munin]

vpb в сообщении #1435744 писал(а):

Я думаю, мне лучше не возобновлять с вами общение.

Мне жаль. (В том числе и потому, что вы не объяснили причин.)

В таком случае, просто чтобы это не потерялось, напоминаю, что мой вам вопрос (до сих пор неотвеченный) касался не недостатков учебника Колмогорова, а недостатков учебника Погорелова.

С вашей глубиной и обстоятельностью - думаю, многим (не только мне) будет интересно увидеть ваш трактат и на эту тему.

[SomePupil]

А что скажете по поводу учебника Геометрия, 7-9 класс, Смирнова И.М., Смирнов В.А., 2007.?
Вот его краткая аннотация:

Цитата:

Авторы этого учебника следуют традициям отечественной школы геометрического образования, заложенным ещё в учебнике А.П. Киселёва. Сам учебник соответствует современной программе по математике. Его основу составляет аксиоматическое построение геометрии, при котором выделяются основные понятия и некоторые их свойства, принимаемые без доказательства, называемые аксиомами. Предлагаемая система аксиом отличается от аксиом, используемых в известных учебниках по геометрии. Так, в отличие от учебника А.В. Погорелова, при определении равенства отрезков, не используются понятия действительного числа и расстояния. В отличие от учебника Л.С.Атанасяна не используется понятие наложения. В предлагаемом учебнике, по сравнению с вышеназванными, аксиома параллельных вводится не сразу. Сначала излагается абсолютная геометрия, не использующая аксиому параллельных, а только затем геометрия, использующая эту аксиому.

Помимо классических разделов планиметрии в учебник в качестве дополнительного включён научно-популярный материал, отражающий некоторые современные направления развития геометрии и носящий общеобразовательный характер. Больше внимания уделяется кривым. Сначала кривые изучаются как геометрические места точек (парабола, эллипс и др.). В дальнейшем изучаются кривые, получающиеся как траектории движения точек (циклоида, кардиоида и др.). Причём дополнительный материал не носит второстепенный характер, его образовательная и развивающая значимость очень высока. Уровень строгости и подробности изучения этого материала может варьироваться от простого знакомства до решения задач повышенной трудности.

[Mihr]

SomePupil в сообщении #1435775 писал(а):

Вот его краткая аннотация:

SomePupil, где Вы взяли этот текст? В самом учебнике его нет. В издании 2007 года аннотация такая:

Цитата:

Учебник соответствует программе по математике для общеобразовательных учреждений. Помимо классической геометрии на плоскости в качестве дополнительного материала включены также вопросы геометрии пространства, научно-популярной и современной геометрии, топологии и др.

[SomePupil]

Mihr, аннотация не из учебника, а из материалов конференции какой-то, образовательной. Ссылку смогу отправить, когда до компа доберусь.

[angor6]

Mihr
Это описание есть здесь.

[Mihr]

Ага, понятно. На мой взгляд, к этой книге, если её рассматривать как учебник, претензий должно быть куда больше, чем к любому из упоминавшихся выше учебников: Колмогорова, Погорелова или Атанасяна. Впрочем, намного интереснее, что скажут о ней математики.

[angor6]

Mihr
Интереснее было бы узнать мнение учителей математики.

[arseniiv]

Не делите шкуру неубитого медведя. Может, никто не захочет высказываться вообще. Я бы вот решил, что пользу могут принести любые компетентные мнения, не важно чьи и по части чего.

[vpb]

Про Смирновых. Я про этот учебник ничего не знал (его в либрусеке нет). С некоторым трудом нашел. Первая глава в нем какая-то очень нетрадиционная, довольно странная и мутная. Я понял ее концепцию в общем, но вижу, что там очень много логических и педагогических дыр в изложении. Если её семиклассник будет читать самостоятельно, у него голова опухнет. Дальше в основном хорошо написано. Но про векторы очень плохо, считай почти никак.

Mihr
А какие у Вас к ней претензии ? Выкатывайте, не стесняйтесь.

Вернемся, однако, к Колмогорову.

-----------------------------------------------

14)

А.Д.Александров писал(а):

Да мудрено ль ? Коль вам твердят,
что вектор --- это перенос,
то в самом деле хватит вас понос !

Итак, рассмотрим, как в учебнике Колмогорова излагаются векторы, а заодно и подобие (т.к. эти темы между собой связаны).

Прежде всего, определение вектора как параллельного переноса выглядит диковатым. На физике ученики видели, что вектор --- это отрезок со стрелочкой. А тут им предлагают считать, что вектор --- это параллельный перенос. Явный разрыв шаблона. Кроме того, преобразование (параллельный перенос) --- это более сложная сущность, чем отрезок. На самом деле, вектор --- это как бы и не отрезок, и тем более не параллельный перенос, а то, что имеет величину и направление. Например, сила. То есть, говоря абстрактно, и "параллельный перенос", и "класс эквивалентности направленных отрезков" --- это, оба, понятия, замещающие "истинное" понятие вектора, которое вообще неизъяснимо. (Не знаю, понятна ли эта мысль ?). Причин считать, что сила --- это параллельный перенос, чего-либо куда-либо, еще меньше, чем причин считать, что сила --- класс направленных отрезков. Так почему в качестве "представляющего понятия" для "вектора" выбрано более сложное ?

Когда определяют, что такое сумма векторов, то в одном случае говорят о композиции отображений, а в другом просто приставляют друг к другу два отрезка со стрелочками. Так что проще (это вопрос риторический) ? И ведь в любом случае, когда доказывают свойства сложения, приходится рисовать отрезки. Так в чем смысл введения вектора как переноса ?

(Правда, когда вводят сложение векторов через приставление отрезков, надо еще доказывать корректность определения, т.е. то, что результат не зависит от того, с какой точки начинается построение. Ну да это рассуждение на десять (от силы) строчек, через свойства параллелограмма.)

Композиция отображений --- важная идея, но в связи с векторами ее вводить незачем было. Ее имеет смысл вводить, когда речь идет о поворотах, что в 8 классе (по тем временам) делалось. И тогда она и "зашла" успешно. А правило сложения векторов ее бы и иллюстрировало. А Колмогоров с ног на голову поставил (в этом месте, как и в стопятиста других).

(Повороты)

Кстати, а была ли большая нужда во введении композиции поворотов на тот момент (в 8 классе) ? Непосредственно не видно. Вполне вероятно, это было полезно для физики. Во всяком случае, концепция важная, и лучше рассказать лишнего, чем дыры оставить.

Учительница, которая учила нас в 7 классе, была, по моим воспоминаниям, женщина, расположенная к новому и прогрессивному. Она говорила слова, что вектор --- это перенос, но, похоже, и сама в них не верила и рисовала на доске отрезки со стрелочками.

При определении суммы векторов через композицию надо доказать, что композиция переносов --- перенос. Используется рассуждение такое:
(а) при параллельном переносе каждый луч переходит в сонаправленный луч;
(б) и наоборот, любое перемещение, переводящее каждый луч в сонаправленный --- это перенос; (оба этих утверждения --- каждое отдельная теорема)
(в) композиция двух перемещений --- перемещение; и композиция двух отображений, переводящих каждый луч в сонаправленный --- такова же; значит, композиция двух переносов --- это перемещение, переводящее каждый луч в сонаправленный, а потому является переносом.

Иногда в математике, когда надо доказать, что некоторая совокупность преобразований --- группа, а доказать это совсем впрямую не видится как, используется именно такой ход рассуждений.
(Более точно. Пусть $E$ --- некоторое множество, $G$ --- некоторая совокупность преобразований множества $E$, $\mathcal S$ -- некоторая структура на множестве $E$. Допустим, нам удалось показать, что (а) любое преобразование из $G$ сохраняет
${\mathcal S}$, (б) и обратно, любое преобразование, сохраняющее ${\mathcal S}$, лежит в $G$, (в) и к тому же произведение двух преобразований, сохраняющих ${\mathcal S}$, тоже сохраняет ${\mathcal S}$, априорным образом (т.е. без использования в доказательстве явного вида этих преобразований), и то же про обратные. Тогда отсюда можно сделать вывод, что $G$ --- группа.)

Но такой ход рассуждений, надо сказать, весьма недецкий. Да и долго получается. Тут ожидать, что юный читатель легко въедет, да еще по пути и не потеряет нить мысли --- трудно.

Дальше в главе про векторы написано про умножение вектора на число и свойства этой операции. В издании 1979 г. вообще без доказательств, а в предыдущем с доказательствами. Правда, доказательство второго закона дистибутивности ($\lambda(\vec a +\vec b)= \lambda\vec a +\lambda\vec b$) довольно сложное и долгое, там опять недецкий ход мысли, и школьник его с трудом мог бы понять. По-научному этот ход мысли звучит как "делимая абелева группа без кручения является векторным пространством над ${\mathbb Q}$". И хотя в книжке этот ход мысли описан в школьных словах, но заходит всё равно плохо. У меня, во всяком случае, в голове не отложилось. В конце концов там всё сводится к тому, что учительница рисует на доске два подобных треугольника, на сторонах которых нарисованы стрелочки. Т.е. опять получается, что стремились к большой научности, а поскольку эта научность школьникам не доступна, то прибегаем к наглядности. (Много хотели, мало получили, из-за того, что много хотели.)

В следующей главе рассматривается подобие. Оно рассматривается с помощью векторов, при этом главную роль играет тот самый второй дистрибутивный закон. Но если мы его уже раньше приняли наглядно, то получается, что самые главные сведения про подобие мы уже тоже приняли наглядно, (когда рисовали два подобных треугольника со стрелочками), и тогда выходит, что большая часть главы про подобие --- это просто эмпирические рассуждения, причем довольно
беспорядочные, вокруг того, что мы и так уже согласились считать верным ! Как-то так.

При традиционном изложении, как я понимаю, сначала теорема Фалеса, из нее --- о пропорциональных отрезках, оттуда --- признаки подобия треугольников, а уже оттуда --- второй дистрибутивный закон для векторов. (См. Атанасян, например. Впрочем, в (современном) Атанасяне не совсем так, там площади используются). И ведь так гораздо проще и полнее получается, чем по-колмогоровски ! А посмотрите, в какой попе середине главы находится теорема о пропорциональных отрезках у Колмогорова, и как до нее пилить сто верст лесом ! (Короче, как и во многих других местах учебника, опять с ног на голову, и объясняется более простое (подобие) через более сложное (векторы).)

[Munin]

Возможно, подход Колмогорова к векторам задумывался, как подготовка к введению комплексных чисел. (Которые, кажется, тогда входили в школьную программу.)
Комплексные числа можно интерпретировать как операции по отношению к комплексной плоскости:
- сложение с комплексным числом - параллельный перенос плоскости:
- умножение на комплексное число - поворотная гомотетия.
Впрочем, эта интерпретация тоже далеко не самая очевидная, и неудачным представлялось бы выставлять её в начало по порядку изложения.
Ну и надо сказать, это у меня ни на чём не основанный домысел.

[Mihr]

vpb,
хорошо, попробую. Пока возьму небольшую паузу, чтобы собраться с мыслями.

Munin в сообщении #1435896 писал(а):

Возможно, подход Колмогорова к векторам задумывался, как подготовка к введению комплексных чисел. (Которые, кажется, тогда входили в школьную программу.)

Нет, комплексные числа входили в школьную программу намного раньше. А именно тогда, в пору колмогоровской реформы - уже не входили.

[Munin]

А! Значит, я выстрелил "в молоко" :-)