Доказать отсутсвие решения в натуральных числах

[AlexanderPlus]

Есть уравнение: $23(3^{x_1}23^{y-1} - 1) = 5(3^{x_2}5^{z-1} - 1)$, где $x_1, x_2, y, z \in N$

Судя по всему, уравнение не имеет решения в натуральных числах, вопрос как это доказать?

$x_1$ и $x_2$ имеют ограничение сверху, так как при $x_1 > 2$ и $x_2 > 2$ не выполняется сравнение по модулю $3^3=27$
Для случая $x_1=x_2=0$ есть хорошо работающий подход: post435750.html#p435750. Можно ли его обобщить на случай дополнительных множителей с переменной в степени ($3^{x_i}$), не перебирая все допустимые комбинации $x_1$ и $x_2$?

[Dmitriy40]

У меня получается $x_1=x_2<3$. Уравнение упрощается до $23^y=5^z+\{2,6,18\}$, всего три варианта.
И нашлось $23(3^0 23^{1-1}-1)=5(3^0 5^{1-1}-1)$.
Или $\mathbb{N}$ не включает 0? Тогда вариантов всего два, 2 и 6. И каждый из них можно проверить по модулям.

[AlexanderPlus]

Dmitriy40 в сообщении #1433092 писал(а):

У меня получается $x_1=x_2<3$. Уравнение упрощается до $23^y=5^z+\{2,6,18\}$, всего три варианта.
И нашлось $23(3^0 23^{1-1}-1)=5(3^0 5^{1-1}-1)$.
Или $\mathbb{N}$ не включает 0? Тогда вариантов всего два, 2 и 6. И каждый из них можно проверить по модулям.

1. N не включает 0, так что все переменные больше 0. Поэтому тривиальное решение с нулевыми степенями не подходит
2. Почему $x_1 = x_2$ ? Куда делись множители $3^{x_1}$ и $3^{x_2}$ в этом случае?
3. Хотелось бы найти общий способ, чтобы не проверять все варианты для $x_1$ и $x_2$ на случай когда вместо 3, 5 и 23 стоят гораздо большие простые числа, что дает верхнюю границу $x_1$ и $x_2$ выше

[Dmitriy40]

AlexanderPlus в сообщении #1433104 писал(а):

Почему $x_1 = x_2$ ?

Я ошибся, $x_1 \ne x_2$ вовсе не исключено.

[Andrey A]

AlexanderPlus в сообщении #1433089 писал(а):

Есть уравнение: $23(3^{x_1}23^{y-1} - 1) = 5(3^{x_2}5^{z-1} - 1)$, где $x_1, x_2, y, z \in N$
Судя по всему, уравнение не имеет решения в натуральных числах, вопрос как это доказать?

$\dfrac{23}{5}=\dfrac{3^{x_2}5^{z-1} - 1}{3^{x_1}23^{y-1}-1}.$ Слева несократимая дробь, значит существует целое $K$ такое, что $23K=3^{x_2}5^{z-1} - 1,\ 5K=3^{x_1}23^{y-1}-1.$
Попробуйте доказать, что исходя из первого уравнения двойка входит в каноническое разложение $K$ в нечетной степени, а исходя из второго — в четной. Уверенности нет, но контрпримеров я не нашел.

P.S. Контрпример есть: $\dfrac{3^8 \cdot 5^4-1}{23}=2^4 \cdot 11 \cdot 1013$, но вроде бы противоречие по $\mod 100$. В первом случае $38,88$, во втором $00,24,52$. Пересечений не было. Думаю, достаточно $\mod 5.$

[Sonic86]

Поскольку нулевые решения ТС не хочет, сделаем замену
$x_1=a+1$
$y=b+1$
$z=c+1$
$x_2=d+1$
В результате подстановки получаем уравнение $23\cdot 3^a \cdot 23^b-5\cdot3^d\cdot 5^c=6$
У него нет решений по модулю $2277$, это можно проверить перебором в лоб или разобрать аналитически (у меня получились оба способа)

[AlexanderPlus]

Sonic86 в сообщении #1433491 писал(а):

В результате подстановки получаем уравнение $23\cdot 3^a \cdot 23^b-5\cdot3^d\cdot 5^c=6$
У него нет решений по модулю $2277$, это можно проверить перебором в лоб или разобрать аналитически (у меня получились оба способа)

Про аналитический способ хотелось бы поподробнее, хотя бы общую идею. В частности, как проверить отсутсвие решения по модулю $2277 = 23 \cdot 11 \cdot 3^2$
Число 11 у меня возникало из исходного уравнения после учета делимости на 23 и 5: $23((3^{u}23^v)^2 - 1) = 5((3^{s}5^t)^{11}- 1)$, но дальше по данному пути продвинуться не удалось

[Sonic86]

AlexanderPlus в сообщении #1434184 писал(а):

Про аналитический способ хотелось бы поподробнее, хотя бы общую идею. В частности, как проверить отсутсвие решения по модулю $2277 = 23 \cdot 11 \cdot 3^2$

Общие идеи изложены в подобных топиках по ссылкам, я специально везде оставлял ссылки.
Могу еще раз:

(ссылки)

-
topic44444.html
topic42767.html
topic42305.html
topic38828.html
https://artofproblemsolving.com/community/c6h48431 (здесь ссылка на статью J. L. Brenner, L. L. Foster "Exponential Diophantine equations". Pacific J. Math. Volume 101, Number 2 (1982), 263-301. http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102724775)
topic16555.html
https://artofproblemsolving.com/community/c6h24692
topic70601.html
topic64538.html
post584875.html#p584875
topic61711.html
topic57736.html
topic80696.html
topic3675.html

Когда ручками считаешь, обычно рассматриваешь модули по одному и из каждого рассмотрения вытаскиваешь какое-то ограничение на какую-то переменную, потом его подставляешь и снова рассматриваешь и так, пока не приходишь к противоречию. Самое сложное, что там бывает - квадратичные невычеты.

AlexanderPlus в сообщении #1434184 писал(а):

Число 11 у меня возникало из исходного уравнения после учета делимости на 23 и 5: $23((3^{u}23^v)^2 - 1) = 5((3^{s}5^t)^{11}- 1)$, но дальше по данному пути продвинуться не удалось

Сначала я рассматривал уравнение по модулю $23$, оттуда следует $c=2c_1$ (тут как раз квадратичность работает). Потом если $a=d=0$, то по модулю $11$ сравнение $5^{2c_1}\equiv -1 \pmod {11}$ не имеет решений (возведем в 5-ю степень).
Значит $a>0$ или $d>0$, сокращаем на $3$, берем по модулю $3$, откуда $a=1$. Снова берем по модулю $11$ - получаем неразрешимое сравнение $Q^2\equiv 2 \pmod {11}$.

[AlexanderPlus]

Спасибо, теперь понятнее!