2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение26.08.2012, 22:57 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Мне почему-то упорно казалось, что эта задача уже была. Однако поиск по формулам ничего не дал. На всякий случай, публикую:

Решить в целых числах уравнение $$5^n+3=2^m$$

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение27.08.2012, 04:36 
Заслуженный участник


20/12/10
7678
Конкретно эта, возможно, и не была. Но подобные штуки мы обсуждали неоднократно. Вкратце: не решить такого вида уравнение очень трудно, поскольку всегда почему-то находится волшебный модуль (или ещё проще бывает, если повезёт). Если не полениться, можно даже программу написать, которая этот модуль предоставлять будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение27.08.2012, 07:22 
Заслуженный участник


08/04/08
8510
$m=0;1;2$ перебираем, далее $m\geqslant 3$
Берем по модулю $8$ - получаем $n=2k+1$. Подставляем.
Берем по модулю $3$ - получаем $m=2l$. Подставляем.
Берем по модулю $5$, получаем невозможное $3\equiv\pm 1\pmod 5$.

Наиболее веселый вариант этой задачи здесь есть в этом разделе за авторством СОКАКУ.
Еще:
topic44444.html
topic42767.html
и там по ссылкам. Там почти все есть, в т.ч. и на AOPS. Уря!

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение27.08.2012, 07:53 
Заслуженный участник


20/12/10
7678
Sonic86, в этой задаче нужно немного поглубже покопать, поскольку есть решение $(m,n)=(7,3)$.

-- Пн авг 27, 2012 11:56:50 --

Sonic86 в сообщении #611007 писал(а):
topic44444.html
Вот здесь мы это как раз и обсуждали (однако какой интересный номер у топика :-))

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение27.08.2012, 17:43 
Заслуженный участник


20/12/10
7678
А вообще примерчик интересный. Этот волшебный модуль получается здесь очень нехилым. Возможно, я что-то просмотрел. В любом случае интересно было бы увидеть относительно короткое решение.

Ktina, Вы этот шедевр сами придумали или где-то нашли?

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение28.08.2012, 12:55 


26/08/11
1925
По модулю 3 m и n одинаковой четности. С четными все понятно, для нечетных среди решений уравнения Пелля $2x^2-5y^2=3$ можно поискать степени двойки и пятерки.
$\\x_n=19x_{n-1}+30y_{n-1}\\
y_n=12x_{n-1}+19y_{n-1}$

Две начальные решения: $x_1=2,y_1=1;x_1=8,y_1=5$
В первом случае по модулю 12 годятся только решения с нечетными индексами.
$\\x_{2k+1}=2, y_{2k+1}=1 \pmod {12}\\
x_{2k}=8, y_{2k}=7 \pmod {12}$

Но $5^n \ne 7 \pmod {12}$
Но они не годятся по модулю 4: $x_{2k+1}=2 \pmod 4$
Аналогично второй случай: по модулю 56 годятся толко решения с индексами $8k+1$, которые не проходят по модулю 16.
Это все, конечно проверял на компютере.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение28.08.2012, 15:12 
Заслуженный участник


08/04/08
8510
Sonic86 в сообщении #611007 писал(а):
Берем по модулю $3$ - получаем $m=2l$.
Тут ошибка: $m=2l+1$.

nnosipov в сообщении #611274 писал(а):
Этот волшебный модуль получается здесь очень нехилым.
Я вчера дошел до $125\cdot 5^{12s}+3=128\cdot  2^{12t}$ - модули брал - $2,3,5,7,13$.

nnosipov в сообщении #610993 писал(а):
Вкратце: не решить такого вида уравнение очень трудно, поскольку всегда почему-то находится волшебный модуль (или ещё проще бывает, если повезёт).
Вот где-то maxal явно писал, почему число решений конечно. А я не помню. Только если по ссылкам есть. По памяти боюсь какую-нибудь ерунду воспроизведу:
Если переменные две - $m,n$, то можно сделать подстановки $m=3m_1+r_m, n=3n_1+r_n, a^{m_1}=x, b^{n_1}=y$. Получим конечное число уравнений вида $Ax^3+By^3=C$. Эти уравнение по теореме Туэ-Зигеля-Рота имеют конечное число решений.
Но это - только для двух переменных.
Хотя это ничего не дает для понимания того, почему неразрешимо по модулю :roll: Уже столько этих уравнений было. Пора бы уже в общем виде алгоритм решения написать + теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение28.08.2012, 15:39 
Заслуженный участник


20/12/10
7678
Sonic86 в сообщении #611748 писал(а):
Эти уравнение по теореме Туэ-Зигеля-Рота имеют конечное число решений.
Да, есть такое дело.
Sonic86 в сообщении #611748 писал(а):
Хотя это ничего не дает для понимания того, почему неразрешимо по модулю :roll: Уже столько этих уравнений было. Пора бы уже в общем виде алгоритм решения написать + теоремы.
Очень хотелось, чтобы кто-нибудь это проделал. Думается, что это вполне тянет на публикацию в подходящем журнале (в зависимости от сложности получения результата).

Shadow, спасибо, что не поленились проверить, как здесь Пелль сработает. Меня вчера на это не хватило --- поиски волшебного модуля несколько затянулись :-) Вот что получилось в сухом остатке.

Докажем, что равенство
$$
5^3(5^a-1)=2^7(2^b-1)
$$
невозможно в натуральных числах $a$ и $b$. Сначала запишем, что $a=32a_1$, $b=100b_1$ ($32$ --- порядок $5$ по модулю $2^7$, а $100$ --- порядок $2$ по модулю $5^3$). Теперь заметим, что $5^{32}-1$ делится на $2593$. Значит, $100b_1$ делится на $81$ --- порядок $2$ по модулю $2593$. Снова заметим, что $2^{81}-1$ делится на $262657$, а тогда $32a_1$ делится на порядок $5$ по модулю $262657$. А этот порядок (ура!) делится на $2^6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение28.08.2012, 15:57 


26/08/11
1925
Мда. Чтобы обобщить решения уравнения Пелля $x_n=38x_{n-1}-x_{n-2}$ по модулю 112 дают остатки
$2,68,6,48,26,44,78,8$, а степени двойки (больше 8), $16, 32,64$
Действительно, Ktina, откуда задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение28.08.2012, 16:02 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
nnosipov в сообщении #611274 писал(а):
Ktina, Вы этот шедевр сами придумали или где-то нашли?

Честно? Нашла: http://www.imocompendium.com/othercomp/Spa/SpaMO86.pdf (задача №3).

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение28.08.2012, 16:06 
Заслуженный участник


20/12/10
7678
Ktina в сообщении #611761 писал(а):
Честно? Нашла: http://www.imocompendium.com/othercomp/Spa/SpaMO86.pdf (задача №3).
Тогда здесь мог подразумеваться только Пелль.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение28.08.2012, 16:52 
Заслуженный участник


09/02/06
4361
Москва
Годится проверка по модулю $p=641$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение28.08.2012, 17:09 
Заслуженный участник


20/12/10
7678
Руст в сообщении #611784 писал(а):
Годится проверка по модулю $p=641$.
Что Вы имеете в виду? Равенство $5^3(5^a-1)=2^7(2^b-1) $ по модулю $641$ имеет место для многих пар $(a,b)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение28.08.2012, 17:48 
Заслуженный участник


09/02/06
4361
Москва
nnosipov в сообщении #611797 писал(а):
Руст в сообщении #611784 писал(а):
Годится проверка по модулю $p=641$.
Что Вы имеете в виду? Равенство $5^3(5^a-1)=2^7(2^b-1) $ по модулю $641$ имеет место для многих пар $(a,b)$.

Если $n>7$, то $n=35\mod 64$ для делимости на 256 числа $5^n+3$. Число $641|2^{32}+1$, $5=-2^7\mod 641$, значит $5^{35}=-125\mod 641\to 5^{35}+3=-122\mod 641$. Последнее не квадратичный вычет по модулю 641, в то время как 2 и его степени квадратичный вычет. Следовательно нет решений $n>7$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 5^n+3=2^m в целых числах (надеюсь, что не повторяюсь)
Сообщение28.08.2012, 18:55 
Заслуженный участник


20/12/10
7678
А, квадратичные вычеты, ясно. Тоже интересно было бы понять, насколько это типично.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group